φ1 = · · · = φl = 1 l X i=1 φ0i= 1 (3.43)
e esse modelo terá apenas 3
l
+ 2 parâmetros independentes para serem estimados.3.4.1
Estacionariedade
Le, Martin e Raftery (1996) mostram a estacionariedade do modelo através do Teo- rema(3.3) e do Teorema(3.4).
Teorema 3.3 Uma condição necessária e suficiente para que o processo Xt seja estacionário
na média é que as raízes z1, · · · , zl da equação,
1 −
l
X
i=1
(λ0φ0i+ λiφi)z−1 = 0 (3.44)
se encontrem dentro do círculo unitário.
As condições declaradas a seguir determinam a região em que o modelo GMTD é estrita- mente estacionário, ou seja, estacionário de primeira ordem, essas são definidas para o GMTD de segunda ordem e que não possui o componente autorregressivo, isto é,
l
= 2 e λ0 = 0respectivamente,
λ1φ1+ λ2φ2 < 1
−λ1φ1+ λ2φ2 < 1 (3.45)
Apesar dessas condições provirem de um processo com média zero, Le, Martin e Raftery
(1996) dizem que existem várias maneiras de alterar o modelo GMTD a fim de que as condições de estacionariedade permaneçam as mesmas e a média continue sendo igual a zero. Uma delas é mostrada em seu artigo quando na equação (3.41) é adicionada a constante δ do modelo autorregressivo padrão de ordem p, AR(p),
F (xt|xt−1) = l X i=1 λiΦ xt− φixt−i σi + λ0Φ xt− δ − Pl i=1φ0ixt−i σ0 ! (3.46)
Ao contrário do modelo AR(2), o modelo GMTD requer mais uma condição para ser estacionário de segunda ordem. Essas condições são enunciadas por Le, Martin e Raftery
(1996) no Teorema 3.4. Para esse teorema eles supõem que o processo Xt é estacionário na
média e que λ0 = 0, uma vez que se λ0 6= 0 as condições de segunda ordem e estacionariedade
estrita são muito difíceis de demonstrar.
Teorema 3.4 Suponha que o processo Xt é definido por (3.36) e (3.40) com λ0 = 0 é es-
tacionário de primeira ordem, uma condição necessária e suficiente para que o processo seja estacionário de segunda ordem é que as raízes z1, · · · , zl da equação,
1 −
l
X
i=1
λiφ2iz−i = 0 (3.47)
se encontrem dentro do círculo unitário.
A região que define as condições de estacionariedade quando o processo é de segunda ordem é dado por
λ1φ21+ λ2φ22 < 1 (3.48)
A Figura 3.2 mostra graficamente as regiões em que o modelo GMTD de primeira e de segunda ordem são estacionários, se comparada com as regiões de um modelo AR(2) essas são bastante semelhantes.
Figura 3.2: Regiões de estacionariedade para o modelo GMTD de segunda ordem. Fonte: Le, Martin e Raftery (1996)
3.4.2
Estruturas de Autocorrelação
Como o GMTD tem origem no modelo MTD, as autocorrelações desse modelo também não irão satisfazer um sitema de equações de Yule-Walker, porém irão satisfazer um sistema de equações semelhantes às de Yule-Walker. Le, Martin e Raftery (1996) calculam essas autocorrelações quando λ0 = 0 e o modelo GMTD é de segunda ordem. Além disso, eles
comparam a gama de possibilidades com as de um processo autoregressivo de segunda ordem, AR(2). Sendo Xtum processo de segunda ordem e estacionário e, sem perda de generalidade,
com média igual a zero. Se ρk denota a k-ésima autocorrelação, então,
E[XtXt−k] = E[E[XtXt−k|Xt−1]] = E(Xt−k l X i=1 (λ0φ0i+ λiφi)Xt−i) = X i (λ0φ0i+ λiφi)E[Xt−kXt−i] (3.49)
desde que o processo seja estacionário e de segunda ordem segue que as autocorrelações do modelo GMTD satisfazem um sistema de equações semelhantes às equações de Yule-Walker, da seguinte forma,
ρk=
X
i
para k = 1, · · · ,
l
.Ao substituir o coeficiente λ0φ0i+ λiφi pelo i-ésimo coeficiente de um processo autoregres-
sivo na equação (3.50), nota-se que ficará semelhante às equações de Yule-Walker para um processo autoregressivo de p-ésima ordem.
Para λ0 = 0 e
l
= 2, a equação (3.50) será expressa da seguinte maneiraρ1 = λ1φ1+ λ2φ2ρ1 (3.51)
quando k = 1,
ρ2 = λ1φ1ρ1+ λ2φ2 (3.52)
quando k = 2,
Seguindo Le, Martin e Raftery (1996), a região admissível para as correlações ρ1 e ρ2
definidas pelas equações (3.51) e (3.52), pode ser expressa da seguinte maneira,
λ21ρ41+ (−2λ21+ λ1+ 1)ρ21− 2ρ2ρ21+ (1 − λ1)ρ22ρ21+ λ1ρ22− λ1(1 − λ1) < 0 (3.53)
e o limite dessa região satisfaz a seguinte equação, ρ2 = ρ2 1± p λ2 1(1 − λ1)(1 − ρ21)3 (1 − λ1)ρ21+ λ1 (3.54) A Figura (3.3) apresenta a região admissível das autocorrelações para o modelo GMTD e de um processo autorregressivo de segunda ordem.
Figura 3.3: Regiões admissíveis das autocorrelações para o modelo GMTD de segunda ordem e para o Modelo AR(2). A linha contínua indica o limite da gama de autocorrelações para o AR(2). Fonte: Le, Martin e Raftery(1996)
Percebe-se que mesmo quando λ0 = 0, em outras palavras, quando o componente autor-
regressivo não está incluso no modelo GMTD, ainda há um conjunto vasto de possibilidades para ρ1 e ρ2, que é quase tão grande quanto para o modelo AR(2).
3.4.3
Esperança do Modelo GMTD
Desde que {Xt: t ∈ N} seja uma sequência de variáveis aleatórias de uma série temporal
estacionária, pode-se verificar que a esperança do modelo GMTD é igual a zero. Uma forma de verificar este enunciado é desenvolvida em Le, Martin e Raftery(1996) e será apresentada a seguir (outra forma é exibida no Apêndice A).
Sendo µ a média do processo Xt descrito pelo modelo (3.41), então
µt = E(Xt) = E(E(Xt|Xt−1, · · · , Xt−l)) = E l X i=1 (λ0φ0i+ λiφi)Xt−i ! (3.55)
Como o processo é dito ser estacionário a equação (3.55) decorre da seguinte maneira E(Xt) = l X i=1 (λ0φ0i+ λiφi)E(Xt−i) = l X i=1 (λ0φ0i+ λiφi)E(Xt) (3.56)
Isolando o termo E(Xt) em (3.56) E(Xt) − l X i=1 (λ0φ0i+ λiφi)E(Xt) = 0 E(Xt) 1 − l X i=1 (λ0φ0i+ λiφi) ! = 0 E(Xt) = 0. (3.57)
Portanto, seguindo as conjecturas descritas acima, a E(Xt) = 0. Le, Martin e Raftery
(1996) baseando-se na distribuição marginal do modelo e nos conceitos de distribuição de posição e escala, desenvolve a E(X2
t), chegando na seguinte expressão (para detalhes ver
Apêndice B), E(Xt2) = l X i=1 λiφ2E(Xt−12 ) | {z } estacionário + l X i=1 λiσi2, (3.58)
como é assegurada a estacionariedade do processo, tem-se que E(X2
t−1) = E(Xt2), em con-
sequência disso nesse trabalho foi expandido um pouco mais a expressão (3.58), e chegou-se a seguinte equação (que seu desenvolvimento pode ser vista na integra no Apêndice B).
E(Xt2) =
Pl
i=1λiσi2
1 −Pli=1λiφ2
METODOLOGIA
Para que seja possível o uso dos gráficos modificados, e concomitantemente alcançar os objetivos apresentados, é indispensável ter em mãos uma sentença fechada da variância do processo, pelo fato dela ser a essência no desenvolvimento de expressões analíticas para esse tipo de gráfico de controle. Nesse sentido, foi preciso desenvolver tal expressão analítica para o modelo proposto ao ajuste.
Em consequência disso, o trabalho foi divido em três etapas: a primeira foi o desenvolvi- mento teórico da expressão da variância do modelo; a segunda decorre da primeira que é o desenvolvimento da variância da média, e a terceira foi a parte de simulação computacional. Esta última foi feita no software estatístico R Core Team (2013). Sendo então, dividido em quatro seções em que, a Seção 4.1 aborda o desenvolvimento da variância do modelo, a Seção
4.2traz a variância da média amostral e a Seção4.3apresenta o desenvolvimento da simulação computacional.
4.1
Variância do Modelo GMTD
Na literatura ainda não existe uma expressão fechada para variância do modelo GMTD, sendo assim, nesse trabalho é desenvolvida essa nova expressão, seguindo as restrições impostas pelos autores do modelo. Tomando como base Ross(2010), verifica-se que V ar(Xt) pode ser
escrita da seguinte maneira,
V ar(Xt) = E(Xt2) − (E(Xt))2, (4.1)
com isso, o desenvolvimento da variância do modelo GMTD segue apoiado nas equações (3.57)
e (3.59) demonstradas em Le, Martin e Raftery (1996).
Como obtido em (3.57), a esperança do processo é igual a zero, isto é, E(Xt) = 0. Logo,
pela equação 4.1 é possível verificar que a variância do modelo GMTD é dada apenas pelo primeiro termo da equação seguinte,
V ar(Xt) = E(Xt2) + (0)
2 (4.2)
Desta forma, uma das contribuições desse trabalho é apresentada usando (3.59), mostrando que a variância do modelo GMTD é descrita da seguinte maneira,
V ar(Xt) = E(Xt2) V ar(Xt) = Pl i=1λiσi2 1 −Pli=1λiφ2i (4.3)
Percebe-se que a expressão (4.3) depende apenas dos parâmetros do modelo, ou seja, não depende diretamente dos valores observados na amostra.
4.2
Variância da Média Amostral
Magalhães, Ho e Costa (2008) obtiveram a expressão da variância da média para o modelo AR(1). Nesse sentido, outra contribuição desse trabalho é dada quando a abordagem de
Magalhães, Ho e Costa (2008) foi estendida de modo semelhante para o modelo GMTD, em que, pode-se mostrar que a expressão para V ar( ¯Xt), de modo geral, é calculada como (ver
detalhes no apêndices C), V ar( ¯Xt) = 1 n2 ( V ar(Xt) " n + 2 n−1 X i=1 (n − i)ρi !#) . (4.4)
Na visão deMontgomery (2004), seguindo o principio de subgrupo racional, tipicamente o tamanho n do subgrupo, será pequeno, frequentemente 4, 5 ou 6 e o espaçamento entre cada subamostra não deve ser muito pequeno, a fim de garantir a independência entre os valores da amostra atual e das anteriores. Para esse trabalho adotou-se o tamanho da amostra como sendo 4 e o espaçamento entre cada amostra de 6. Nesse sentido a fórmula da variância da
média amostral é igual a, V ar( ¯Xt) = 1 42 ( V ar(Xt) " 4 + 2 3 X i=1 (n − i)ρi !#) V ar( ¯Xt) = 1 42 {V ar(Xt) [4 + 2 (3ρ1+ 2ρ2+ ρ3)]} (4.5)
Conforme as fórmulas (3.32) e (3.33) o valor de ρ2 e ρ3 poderão ser calculados conforme a
descrito abaixo,
r(2) = ρ2 = φ1(λ1r(1) + λ2r(0)) (4.6)
r(3) = ρ3 = φ1(λ1r(2) + λ2r(1)) (4.7)
4.3
Simulação Computacional
Para iniciar a simulação, a princípio, definiu-se os parâmetros adotados para o modelo GMTD de segunda ordem que seguem as equações (3.36) e (3.40),
F (xt|xt−1) = λ1Φ xt− φ1xt−1 σ1 + λ2Φ xt− φ2xt−2 σ2 (4.8) simplificando, definiu-se os valores assumidos por λ1, λ2, φ1, φ2, σ1 e σ2. Tais parâmetros
foram selecionados da seguinte maneira: primeiramente defini-se os valores para os λ′s, por
consequência da restrição (3.39) nota-se que existe uma relação de dependência entre λ1 e
λ2, ou seja, λ2 = 1 − λ1, por isso, para não sobrecarregar a rotina computacional, definiu-se
somente λ1 como sendo o conjunto de nove valores a seguir,
λ1 = {0, 1; 0, 2; · · · ; 0, 8; 0, 9} (4.9)
no entanto, o conjunto suprimido correspondente a λ2, seguindo λ2 = 1 − λ1, é o seguinte,
λ2 = 1 − λ1 = {0, 9; 0, 8; · · · ; 0, 2; 0, 1} (4.10)
seguindo com as escolhas dos parâmetros, os próximos apontados são φ1e φ2. Existem algumas
limitações na escolha desses parâmetros, uma vez que, para empregar toda a teoria referente ao modelo GMTD de segunda ordem é exigido que o processo seja estacionário de segunda ordem e que as equações lineares semelhantes às de Yule-Walker tenham solução unitária.
Afim de atender determinadas condições, é obedecido o Teorema (3.4) e com o auxílio da Figura (3.2), defini-se a região aceitável para φ1 e φ2 de modo a atingir a estacionariedade.
Ao isolar tais parâmetros nas equações (3.51) e (3.52) definiu-se os valores para ρ1 e ρ2 de
modo a atingir a unicidade das soluções das equações lineares semelhantes às equações de Yule-Walker. Portanto, definiu-se doze valores desses parâmetros como sendo,
φ1 e φ2 ∈ {−1; −0, 9; · · · ; 0, 5; 0, 5; · · · ; 0, 9; 1} (4.11)
e por último defini-se a escolha de σ1 e σ2, os autores não fazem nenhuma restrição dentre a
gama de possibilidades desses parâmetros, então seguindo o exemplo simulado por Le, Martin e Raftery (1996), em que σ1 e σ2 eram iguais ao valor um, para esse trabalho, decidiu-se
ampliar um pouco as possibilidades e tomou-se os seguintes valores para esses parâmetros,
σ1 e σ2 ∈ {1, 2, 3, 4, 5}. (4.12)
Assim, ao combinar todos os parâmetros e se aplicar os devidos filtros, para garantir as restrições impostas pelo modelo GMTD escolhido, foram formadas 32.400 configurações. Logo após se definir as configurações dos parâmetros calculou-se a variância do modelo, para isso utilizou-se a equação (4.3) aplicando todas as configurações.
Dos valores encontrados com o cálculo da variância do modelo, percebeu-se que, mesmo com os filtros estabelecidos, ainda assim obteve-se valores negativos para variância, bem como valores que tendem para infinito. Logo, foram selecionados apenas aqueles em que as confi- gurações forneciam variância estritamente maior que zero e menor que dez (o valor dez foi determinado prevendo que uma variância elevada fornece limites de controle muito largos). Da mesma forma, utilizando as equações (4.5), (4.6) e (4.7) calcula-se a variância da média amostral e aplicaram-se os mesmos filtros utilizados para o cálculo da variância do GMTD. Feito isso, a quantidade de configurações se reduz a 622 configurações. Esses valores foram dispostos conforme a Tabela (4.1).
Configuração λ1 φ1 φ2 σ1 σ2 Var.gmtd Var.xbar
1 0,8 -0,6 0,5 1 1 1,51 1,98e-5
2 0,9 -0,6 0,6 1 1 1,48 3,54e-3
3 0,7 1 1 1 1 1,56 1,21e-2
... ... ... ... ... ... ... ...
622 0,8 0,7 0,6 1 1 1,86 1,09e0
A partir da rotina, desenvolvida no R Core Team (2013) (software RStudio), para gerar números que seguem o modelo GMTD, foram criados processos, dos quais, em cada rodada da rotina em que eram modificadas as linhas das configurações dispostas na Tabela (4.1) gerou-se 622 matrizes com 8.000 linhas e 1.000 colunas. Em cada uma das colunas dessas matrizes foram realizadas operações objetivando estruturar as amostras. Seguindo Montgomery(2004), para construir as amostras selecionou-se grupos de tamanho 4 com intervalos de tamanho 6 entre cada grupo, nessa situação, foram gerados 800 subgrupos de tamanho 4, como exemplifica a Tabela (5.1), em que, para o cálculo da média são tomados os valores com a formatação em
negrito sendo desconsiderados os valores com a fonte no padrão itálico.
id 1 2 Processo3 · · · 999 1000 1 -3,41 -1,27 -2,81 · · · -1,62 -0,65 2 1,32 0,44 -3,10 · · · -0,79 -0,31 3 0,69 -1,71 -2,17 · · · 0,55 -1,47 4 1,02 -1,27 -1,48 · · · -1,98 2,76 5 1,60 1,03 -1,28 · · · -3,79 1,80 6 0,20 -0,41 -0,43 · · · -1,44 1,50 7 0,56 1,30 -0,64 · · · -2,75 -0,46 8 -0,91 1,70 -0,26 · · · 0-2,51 -1,20 9 1,48 2,31 0,51 · · · -2,70 0,20 10 1,14 -0,54 -0,19 · · · -3,12 1,50 11 0,54 -2,54 1,85 · · · -0,12 2,01 12 1,21 -3,54 -3,09 · · · -1,32 0,15 13 -1,14 2,45 -1,93 · · · -2,15 2,53 14 0,14 -0,67 0,91 · · · 3,43 1,51 ... ... ... ... ... ... ...
Tabela 4.2: Processos GMTD. Dados simulados.
Seguindo com o desenvolvimento da simulação, calculou-se a média de cada um dos 800 subgrupos para que sejam plotadas nos gráficos de controle. Para esse trabalho foram cons- truídos três tipos de gráficos de controle, nos quais, os limites de controle de cada gráfico foram desenvolvidos conforme as equações definidas em (2.2), (2.7) e (2.15), em que, a pri- meira equação representa os limites do gráfico de Shewhart clássico, a segunda os limites para o Shewhart AR(1) e a terceira para o gráfico de Shewhart modificado, desenvolvidos nesse trabalho quando o valor de k é igual a 3.
Para medir o desempenho do monitoramento proposto por cada gráfico, foram tomadas como referências as medidas do ARL0 e ARL1, definidas pela equação (2.18). Esses valores
estão diretamente ligados com as escolhas dos parâmetros do modelo GMTD uma vez que, seguindo as restrições impostas do próprio modelo, irá condizer com a estacionariedade, unici-
dade das raízes das equações semelhantes às de Yule-Wlaker e não negatividade da variância do modelo que consequentemente também levará a não negatividade da variância da média.
Para a comparação do monitoramento dos três gráficos propostos, seguiu-se as definições dadas na Seção (2.1.1.1) e o que foi feito emMontgomery(2004),Costa, Epprecht e Carpinetti
(2009) e Schmid (1995), que como primeiro passo para verificar o desempenho dos gráficos determinam as configurações dos parâmetros em que os valores dos ARL0 dos gráficos apre-
sentados para o monitoramento são iguais ou próximos. Para esse trabalho considerou-se próximos os valores em que a diferença entre o maior e o menor ARL0 para os três gráficos
não fossem maiores que 15.
Esse padrão é tomado para garantir que quando o processo está sob controle as chances de um ponto cair fora dos limites de controle sejam as mesmas para todos os gráficos sugeridos, isto é, para que o α, probabilidade erro do tipo I, sejam iguais. Desta forma, para a simulação, quando são propositalmente causadas perturbações no valor alvo, o melhor gráfico será o que identificar primeiro tal mudança, ou seja, o gráfico que com menos observações plotadas sinalizar um ponto fora dos limites de controle primeiro.
As pertubações na média, a partir de agora representadas por ∆µ, foram causadas tomando-
se razões relativamente ao desvio padrão do processo, representada por √γ0. As frações ado-
tadas são valores semelhantes aos deslocamentos que Costa, Epprecht e Carpinetti (2009) utilizaram quando comparam o gráfico de Shewhart clássico com diferentes configurações do gráfico de CUSUM,
∆µ/√γ0 = {0, 2; 0, 4; 0, 6; 0, 8; 1; 2; 3; 4} (4.13)
em que, ∆µ/√γ0 representa os deslocamentos sofridos pela média proporcionalmente ao desvio
padrão do processo. As pertubações no processo foram realizadas adicionando-se a este a medida ∆µ/√γ0. Estes deslocamentos tornam as comparações dos gráficos de controle mais
informativas, visto que se os valores do conjunto ∆µ/√γ0 fossem causados diretamente na
média do processo a mudança poderia não ser tão representativa e os gráficos demorariam para identificá-las, uma vez que os gráficos de Shewhart não são apropriados para identificar pequenas mudanças no processo, sendo recomendados para este caso os gráficos de CUSUM e EWMA (MONTGOMERY, 2004; SCHMID, 1997; PATEL; DIVECHA, 2011).
RESULTADOS E DISCUSSÃO
O produto obtido no desenvolvimento desse trabalho é baseado na comparação dos valores dos ARL′s com o processo em controle e fora do controle, isto é, no ARL
0 e no ARL1,
respectivamente. Para obtê-los foi necessário primeiramente executar o cálculo da variância teórica desenvolvida nesse trabalho para um caso particular do modelo GMTD, continuando o que foi empregado em Le, Martin e Raftery(1996). Partindo do ponto que, para esse cálculo, a variância teórica requer somente que os valores dos parâmetros estejam declarados.
O maior valor encontrado no cálculo da variância teórica, utilizando os parâmetros defi- nidos, é igual ao valor 2, 18 e a menor igual a 1, 33, o que estima bem a variação da série completa, dado que essa variação foi calculada utilizando os valores de todas as séries geradas e os valores estimados pela variância do modelo são valores bastante próximos dos calculados com a variância da série, tendo a visão que, o maior valor da variância da série é igual a 2, 03 e o menor igual a 1, 73. Alguns valores da variância foram negativos e outros eram bastante ele- vados chegando a tender para o infinito, isso se explica devido a amplitude dos parâmetros φ1
e φ2 terem sido escolhidas visualmente com o auxílio do gráfico da Figura (3.2). Esses valores
que proporcionaram resultados sem sentido foram excluídos e somente os valores estritamente maiores que zero e menores que dez foram considerados para os próximos passos.
Com os valores estimados pela variância teórica do modelo GMTD foi calculada a vari- ância das médias, que será utilizada no cálculo dos limites de controle do modelo GMTD. Como o tamanho das subamostras das séries foram iguais a 4, seguindo a equação (4.5), para esse cálculo foi preciso concomitantemente calcular as autocorrelações de ordens 1, 2 e 3. Aqui, devido a influência da negatividade de algumas correlações, algumas das variâncias da média foram negativas, portanto o mesmo filtro utilizado para a variância teórica também foi utilizado para a variância das médias.
Para resumir tudo que foi dito até aqui em relação a definição dos parâmetros e cálculos das variâncias foi gerada a Tabela (5.1).
id Parâmetros Variâncias λ1 φ1 φ2 σ1 σ2 Teórica Média 1 0,8 -0,6 0,5 1 1 1,51 1,99e-5 2 0,5 -0,6 0,8 1 1 2,00 2,19e-3 3 0,4 -0,8 0,6 1 1 1,89 6,72e-3 4 0,7 -0,6 0,6 1 1 1,56 1,21e-2 ... ... ... ... ... ... ... ... 619 0,8 0,7 0,8 1 1 2,08 1,27e0 620 0,7 0,7 0,8 1 1 2,15 1,31e0 621 0,9 0,7 0,9 1 1 2,09 1,31e0 622 0,9 0,7 1,0 1 1 2,18 1,38e0
Tabela 5.1: Layout das configurações e variâncias dos processos GMTD.
Para cada umas das configuração de parâmetros em que foram geradas as 1.000 séries foram calculadas a função de autocorrelação e a função de autocorrelação parcial, ACF e PACF respectivamente. Com isso, notou-se que todas as séries geradas foram autocorrelacionadas e com decaimento exponencialmente rápido, chegando a zero, nas primeiras defasagens nos gráficos da ACF. Segundo Box, Jenkins e Reinsel (2008), Box e Jenkins (1976) e Morettin e Toloi (2006) os comportamentos desses gráficos sugeriram que o ajuste das séries sejam realizados pelos modelos AR. Para exemplificar esse comportamento foi construído o gráfico da ACF e PACF mostrada na Figura (5.1) para a milésima série gerada,
(a) (b) 0 10 20 30 40 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Lag A CF 0 10 20 30 40 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Lag P ar tial A CF
Figura 5.1: (a) Gráfico da ACF e (b) Gráfico da PACF para 1.000o série gerada.
culados os ARL0 para as séries geradas em todas as configurações, a Tabela (5.2) mostra
algumas das configurações que foram consideradas comparáveis juntamente com os resultados do cálculo dos ARL0.
Conf. Parâmetros ARL0 Shewhart
λ1 φ1 φ2 σ1 σ2 Modificado AR(1) Clássico
1 0,8 -0,6 -0,7 1 1 683,72 697,42 696,62
2 0,9 0,5 -0,8 1 1 693,95 706,00 702,20
3 0,9 -0,5 -1 1 2 680,94 693,95 691,28
4 0,7 0,7 0,8 1 1 672,26 688,24 684,91
Tabela 5.2: Configurações dos ARL0 consideradas comparáveis.
Em geral, como mostram os resultados da Tabela (5.2), os valores do ARL0 para os três
tipos de gráficos, o Shewhart Modificado, Shewhart AR(1) e Shewhart clássico, para a maioria das configurações foram próximos (aqui, próximos quer dizer que a amplitude dos ARL′s entre
os três gráficos não extrapolam o valor de 15). Por outro lado, tomando como referência os ARL0 dos gráficos de Shewhart modificado, em alguns casos as dimensões dos valores das
amplitudes, em média, foram de 73,85 pontos tanto para quando os ARL′s eram elevados,
quanto para quando os valores eram mais comedidos com relação aos ARL0 dos gráficos de
Shewhart AR(1) e Shewhart clássico. Contudo, o que tornou possível a comparação entre uma gama maior de processos gerados com diferentes tipos de configurações, seguindo o que foi realizado em Montgomery (2004), Costa, Epprecht e Carpinetti (2009) e Schmid (1995), foram os que resultaram em valores de ARL0 próximos.
Com essas configurações, consideradas comparáveis, isto é, que forneceram os valores pró- ximos para os ARL0, foram causadas as perturbações nas médias relativamente à variação do
processo na magnitude de ∆µ/√γ0 = {0, 2; 0, 4; 0, 6; 0, 8; 1; 2; 3; 4}. Os resultados dessas
perturbações originaram os valores referentes ao ARL1, valores esses que determinaram qual
dos gráficos alcançou o melhor desempenho.
Considerando a configuração 1 da Tabela (5.2), quando as configurações dos parâmetros foram iguais a: λ1 = 0, 8, φ1 = −0, 6, φ2 = −0, 7, σ1 = 1 e σ2 = 1, as alterações causadas nas
médias, de acordo com porcentagens da variação do processo, permitiu verificar que o gráfico de Shewhart modificado detém os melhores resultados, isto é, a medida que as alterações nas médias aumentavam o gráfico de Shewhart modificado identificava essa mudança precocemente mostrando um poder de detecção eficiente, enquanto os outros gráficos demoravam algo em torno de 10 pontos para revelar que o processo tinha sofrido alguma alteração. Os efeitos das perturbações aparecem nas Tabelas (5.3) e são resumidos graficamente na Figura (5.2).
.
∆µ/√γ0 Shewhart Modificado Shewhart AR(1) Shewhart Clássico
0 683,72 697,42 696,62 0,2 227,73 239,71 239,31 0,4 164,44 179,29 178,81 0,6 91,33 104,71 104,27 0,8 38,29 46,26 46,03 1 12,07 15,31 15,20 1,2 3,34 4,23 4,19 1,4 1,34 1,53 1,53 1,6 1,33 1,67 1,67 1,8 1 1,003 1,003
Tabela 5.3: ARL para o gráfico de Shewhart modificado versus Shewhart AR(1) versus Shewhart clássico para a configuração λ1 = 0, 8, φ1 = −0, 6, φ2 = −0, 7, σ1 = 1 e σ2 = 1
λ1= 0,8 , φ1= −0,6 , φ2= −0,7 , σ1 e σ2= 1 ∆µ γ0 ARL 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 0 100 300 500 700 Modificado AR(1) Clássico
Figura 5.2: Desempenho dos gráficos de controle para a configuração λ1 = 0, 8, φ1 = −0, 6,
φ2 = −0, 7, σ1 = 1 e σ2 = 1
Esses resultados corroboram com os resultados apresentados em Le, Martin e Raftery
com o AR(1) e também apoiam os resultados apresentados em Gonçalves, Leite e Mendes- Lopes (2013), Schmid (1995), Kramer e Schmid (1997) e Kramer e Schmid (1997) em que o monitoramento de séries autocorrelacionadas pelos gráficos de Shewhart modificados são mais adequados do que os feitos com os gráficos tradicionais.
A seguir foram construídas as Tabelas (5.4), (5.5) e (5.6) e os gráficos apresentados pelas Figuras (5.3), (5.4) e (5.5), dando continuidade aos resultados originados pela Tabela (5.2). Nessas Tabelas e Gráficos chega-se em resultados análogos aos discutidos anteriormente. En- tretanto, baseando-se emMagalhães, Ho e Costa (2008),Mingoti e Yassukawa (2008),Franco et al.(2014) chega-se a uma divergência com relação aos gráficos de Shewhart AR(1) e clássico em que o desempenho do gráfico clássico aparece sendo melhor que o gráfico AR(1) mesmo