3.1 Exercices corrigés
Exercice 48 - Calculer l’intégrale suivante Z
γ
(z2+ 3z)dz, où
1)γ : le segment de droite joignant les points (0,0) et (0,1).
2)γ : le quart de cercle de centre (0,0) joignant les points (2,0) et (0,−2).
•Solution : 1) La paramétrisation du segment de droite joignant les points (0,0) et (0,1) est
γ(t) =it, 0≤t≤1, avec γ0(t) =i.
Alors, nous avons Z
γ
(z2+3z)dz = Z 1
0
(it)2+ 3itidt=i Z 1
0
(−t2+3it)dt=i
"
−t3 3
#1 0
+ 3i
"
t2 2
#1 0
= −3 2 −i
3. 2) La paramétrisation du quart de cercle de centre (0,0) joignant les points (2,0) et (0,−2) est
γ(t) = 2eit, t varie entre 0 et −π
2 avec γ0(t) = 2ieit. Ainsi,
Z −π/2 0
(z2+ 3z)dz = Z −π/2
0
4e2it+ 6eit2ieitdt,
= 4i Z −pi/2
0
(2e3it+ 3e2it)dt,
18 3.1. EXERCICES CORRIGÉS
= 4i 2
3ie3it −π/2
0
+ 3
2ie2it −π/2
0
! ,
= 4i 2
3i(e−3πi/2−1) + 3
2i(e−iπ−1)
,
= 4i 2
3i(i−1) + 3
2i(−1−1)
,
= 8i 3 − 28
3 . Exercice 49 - Calculer l’intégrale curviligne suivante
Z
γ
(2z+ 3|z|2)dz oùγ =γ1∪γ2 est le chemin suivant
• Solution : Rappelons que γ1 est le demi cercle de centre z0 = 0 et de rayon r = 2 et γ2 est le segment reliant −2 à 2. Donc, nous avons les deux paramétrisations (sachant que d’autres paramétrisations sont possible)
γ1(t) = 2eit, 0≤t≤π et γ2(t) =t, −2≤t≤2.
Alors, en appliquant la définition pour le calcul des intégrales complexes, nous obtenons Z
γ
(2z+ 3|z|2)dz = Z
γ1
(2z+ 3|z|2)dz+ Z
γ2
(2z+ 3|z|2)dz,
= Z π
0
(4e−it+ 12)×2ieit dt+ Z 2
−2(2t+ 3t2)×1 dt,
= 4i Z π
0
2 + 6eitdt+ 16 = 8πi−32.
3.1. EXERCICES CORRIGÉS 19
Remarque :Comme une deuxième méthode, on peut paramétriser le cheminγ2 par γ2(t) =−2(1−t) + 2t, 0≤t≤1.
Le calcul découle de la même manière en utilisant la définition d’intégrale complexe.
Exercice 50 - En utilisant les formules intégrales de Cauchy, calculer les intégrales sui-vantes
1) Z
|z|=4
zeiz
(z−π)2dz, 2) Z
|z+2|=32
z2+ 1 z(z+ 1)dz.
• Solution :1/ Nous avons z0 =π est bien à l’intérieur du cercle de centre 0 et de rayon 4. De plus, la fonction g(z) = zeiz est holomorphe sur C qui est simplement connexe. Par conséquent,
Z
|z|=4
zeiz
(z−π)2dz = 2πig0(π),
= 2πi(−1−πi).
2/ Par un raisonnement similaire, nous avons cette fois-ciz0=−1 est bien à l’intérieur du cercle de centre−2 et de rayon 1.5. De plus, la fonction g(z) = (z2+ 1)/z est holomorphe sur le domaine de bordγ qui est simplement connexe. Par conséquent,
Z
|z+2|=32
z2+ 1
z(z+ 1)dz = 2πig(−1),
= −4πi.
Exercice 51 - Calculer l’intégrale suivante : Z
γ
2iz dz, avec γ est le chemin |z−i|= 2.
•Solution : La paramétrisation du chemin est donnée par : γ(t) =i+ 2eit, avec 0≤t≤2π.
20 3.1. EXERCICES CORRIGÉS
Par conséquent,
Z
γ
2izdz = 2i Z 2π
0
[−i+ 2e−it]2ieitdt,
= −4 Z 2π
0
[−ieit+ 2]dt,
= −4[−eit+ 2t]2π0 =−16π.
Exercice 52 - En utilisant les formules intégrales de Cauchy, calculer 1)
Z
|z−2|=1
ez z2−6zdz, 2)
Z
|z−2|=3
ez z2−6zdz, 3)
Z
|z−2|=5
ez z2−6zdz.
•Solution : 1) Nous calculons l’intégrale suivante Z
|z−2|=1
ez z2−6zdz.
La fonction z 7→ z2e−6zz est holomorphe à l’interieur du cercle |z−2| = 1, alors d’après le théorème de Cauchy
Z
|z−2|=1
ez
z2−6zdz= 0.
2) Nous avons
Z
|z−2|=3
ez
z2−6zdz= Z
|z−2|=3
ez z(z−6)dz.
3.1. EXERCICES CORRIGÉS 21
Posonsf(z) = z−6ez , alorsf est holomorphe à l’intérieur du cercle|z−2|= 3, ainsi d’après la formule intégrale de Cauchy, on a
Z
|z−2|=3
ez
z2−6zdz= 2πif(0) = 2πi 1
−6 =−πi 3 .
3) Soient γ1 un cercle de centre 0 et de rayon r1 etγ2 un cercle de centre 6 et de rayon r2
(comme dans la figure).
Ainsi, nous avons Z
|z−2|=5
ez
z2−6zdz = Z
γ1
ez
z(z−6)dz+ Z
γ2
ez z(z−6)dz,
= Z
γ1
g(z) z dz+
Z
γ2
h(z) z−6dz,
22 3.1. EXERCICES CORRIGÉS
avec
g(z) = ez
z−6 et h(z) = ez z.
Les fonctiongethsont holomorphes à l’intérieur deγ1 etγ2, respectivement. Ainsi d’après la formule intégrale de Cauchy on obient
Z
|z−2|=5
ez
z2−6zdz = 2πig(0) + 2πih(6),
= 2πi(−1 6 +e6
6) = e6−1 3 πi.
Exercice 53 - En utilisant les formules intégrales de Cauchy, calculer les intégrales sui-vantes
1) Z
|z|=1
ez2 (z−2i)2dz, 2)
Z
|z−i|=2
cos(πz)
(z+ 2i)2(z−2i)2dz, 3)
Z
|z|=3
ez
z2(z2−2z+ 2)dz.
• Solution : 1) Nous remarquons que la singularité de la fonction ez
2
(z−2i)2 est 2iqui est à l’extérieur du cercle |z|= 1.
Donc la fonction est holomorphe à l’intérieur du cercle. Ainsi, par le théorème de Cau-chy,
Z
|z|=1
ez2
(z−2i)2dz= 0.
3.1. EXERCICES CORRIGÉS 23
2) Considérons maintenant cette intégrale Z
|z−i|=2
cos(πz)
(z+ 2i)2(z−2i)2dz.
Les deux singularités de la fonctions f sont −2i et 2i. Le point −2i est à l’extérieur du cercle|z−i|= 2 et le point 2iest à l’intérieur de cercle.
Ainsi,
Z
|z−i|=2
cos(πz)
(z+ 2i)2(z−2i)2dz= Z
|z−i|=2
f(z) (z−2i)2dz.
avec
f(z) = cos(πz) (z+ 2i)2. En utilisant la formule intégrale de Cauchy, nous avons
Z
|z−i|=2
cos(πz)
(z+ 2i)2(z−2i)2dz= 2πi 1! f0(2i).
La dérivée def est donnée par
f0(z) = −π(z+ 2i)2sin(πz)−2(z+ 2i) cos(πz)
(z+ 2i)4 .
Ainsi,
Z
|z−i|=2
cos(πz)
(z+ 2i)2(z−2i)2dz= πsinh(2π) +πcosh(2π) 32
3) Soit l’intégrale suivant
Z
|z|=3
ez
z2(z2−2z+ 2)dz.
La fonction
ez z2(z2−2z+ 2)
possède 3 singularités 0 ,z1 := 1 +ietz2:= 1−i. (Notons que le polynômez2−2z+ 2 = 0
24 3.1. EXERCICES CORRIGÉS
possède un ∆ = 4i2). Nous remarquons que ces 3 singularités sont à l’intérieur du cercle
|z|= 3.
Ainsi, nous avons Z
|z|=3
ez
z2(z2−2z+ 2)dz= Z
γ1
ez
z2(z2−2z+ 2)dz+ Z
γ2
ez
z2(z2−2z+ 2)dz, +
Z
γ3
ez
z2(z2−2z+ 2)dz
= 2πi
1! f0(0) + 2πig(z1) + 2πih(z2), avec
f(z) = ez
z2−2z+ 2, g(z) = ez
z2(z−z2), h(z) = ez z2(z−z1). Ainsi,
Z
|z|=3
ez
z2(z2−2z+ 2)dz= 2πi(1) + 2πi(−e1+i
4 ) + 2πi(−e1−i 4 ).
Exercice 54 - Calculer les intégrales suivantes 1)Rγ
izdz, où
2)Rγ(z2+z2)dz, où γ est le segment de droite [0,2 +i]
3.1. EXERCICES CORRIGÉS 25
3)Rγ4z3dz, où γ est le quart de cerle de centre 0 et de rayon 2.
4)R[1,2+i]1zdz.
5)Rγ (1+i−z)z 2dz, oùγ est le cercle de rayon 2 et de centre 1 +i.
6)RγRe(z)dz, où γ est un cercle de centre 0 et de rayon 1.
• Solution : (1) La paramétrisation du chemin γ1 est γ1(t) = itavec −1≤ t≤ 1. Alors, nous obtenons
Z
γ1
zdz = Z 1
−1
−iti dt= 0.
D’un autre côté, γ2 est donné par γ2(t) = eit avec t varie de −π/2 à −3π/2. Nous avons,
Z
γ1
zdz = Z −3π2
−π2
e−itieit dt=−iπ.
(2) L’intégrale est donnée par (γ(t) = (2 +i)tavec 0≤t≤1) Z
[0,2+i]
(z2+z2)dz= Z 1
−1
[(2 +i)2t2+ (2−i)2t2](2 +i)dt= 2(2 +i).
(3) Nous avons Z
γ
4z3dz= 4 Z π2
0
8e3it2ieit dt= 64i Z π2
0
e4it dt= 0.
(4) La paramétrisation est donnée par
γ(t) = (1−t) + (2 +i)t, 0≤t≤1.
Nous obtenons Z
[1,2+i]
1 zdz=
Z 1 0
1 +i
1 + (1 +i)t dt= [ln(1 + (1 +i)t)]10 = ln(2 +i).
(5) La paramétrisation est donnée par
γ(t) = 1 +i+ 2eit, 0≤t≤2π.
On a
Z
γ
z
(1 +i−z)2dz= Z 2π
0
1 +i+ 2eit
(−2eit)2 (2ieit) dt.
On obtient
Z
γ
z
(1 +i−z)2dz= i 2
Z 2π 0
(1 +i+ 2eit)e−it dt= 2iπ.
26 3.1. EXERCICES CORRIGÉS
(6) Nous avons Z
γ
Re(z)dz= Z
γ
z+z 2 dz=
Z 2π 0
eit+e−it
2 (ieit) dt=iπ.
Exercice 55 - En utilisant les formules intégrales de Cauchy, calculer l’intégrale sui-vante
Z
|z|=32
sin(πz2) + cos(πz2) (z−1)(z−2) dz.
•Solution : Nous remarquons que la fonction
sin(πz2) + cos(πz2) (z−1)(z−2) possède deux singularités, 1 et 2.
Ainsi, la fonction f est holomorphe à l’intérieur de|z|= 32 (2 n’appartient pas). Donc, Z
|z|=3
2
sin(πz2) + cos(πz2)
(z−1)(z−2) dz= 2πif(1).
avec f(z) = sin(πz2) + cos(πz2)
(z−2) . Ceci implique que, Z
|z|=3
2
sin(πz2) + cos(πz2)
(z−1)(z−2) dz= 2πi.
Exercice 56 - En utilisant les formules intégrales de Cauchy, calculer les intégrales sui-vantes
3.1. EXERCICES CORRIGÉS 27
1) Z
|z|=2
1
(z−i)(z2+ 2z−3)dz,
2) Z
|z|=32
z2
(z−2)(z2+ 4)dz,
3) Z
|z|=3
z+ 1
z(z2−4iz−4)dz.
•Solution : 1/ Les singularités de f sont
z0 =i, z1= 1 et z2 =−3.
Tout d’abord, nous avons I1:=
Z
|z|=2
1
(z−i)(z2+ 2z−3)dz = Z
|z|=2
1
(z−i)(z−1)(z+ 3)dz.
Ainsi, l’intégrale se calcule comme suit
I1 = Z
γ1
1 (z−1)(z+ 3)
(z−i) dz+ Z
γ2
1 (z−i)(z+ 3)
(z−1) dz,
= 2πi[g1(i) +g2(1)] = 2πi
1
(i−1)(i+ 3) + 1 4(1−i)
, avec
g1(z) = 1
(z−1)(z+ 3) et g2(z) = 1
(z−i)(z+ 3). 2/ Les singularités def sont
z0 = 2, z1 = 2i et z2=−2i.
Tout d’abord, nous avons I2 :=
Z
|z|=32
z2
(z−2)(z2+ 4)dz = Z
|z|=32
z2
(z−2)(z+ 2i)(z−2i)dz.
Cette intégrale vaut zéro d’après le théorème de Cauchy. Ainsi, I2:=
Z
|z|=3
2
z2
(z−2)(z2+ 4)dz = 0.
28 3.1. EXERCICES CORRIGÉS
3/ Les singularités def sont
z0 = 2, z1 = 2i et z2=−2i.
Tout d’abord, nous avons I2:=
Ainsi, l’intégrale se calcule comme suit
I1 =
Exercice 57 - En utilisant les formules intégrales de Cauchy, calculer les intégrales sui-vantes :
• Solution : (1) Il y a une singularité en 0 (le point 1 n’est pas dans le domaine de bord le cercle |z|= 12) et donc nous avons
avec (clairement, cette fonction est holomorphe sur le domaine de bord le cercle |z| =
1 2)
f(z) = ez (z−1).
3.1. EXERCICES CORRIGÉS 29
(2) De la même manière nous avons Z
|z−1|=12
ez
z(z−1)dz = 2πiif(1) = 2πie, avec
f(z) = ez z. (3) Les singularités sont
z0 =i et z1 =−i, et nous avons
Z
|z+1|=1
e3z z2+ 1dz=
Z
|z+1|=1
e3z
(z−i)(z+i)dz.
Cette intégrale vaut zéro d’après le théorème de Cauchy. Ainsi, Z
|z+1|=1
e3z
z2+ 1dz= 0.
(4) Tout d’abord nous avons Z
|z+i|=1
eiz
(z2+ 1)2dz= Z
|z+i|=1
eiz
(z−i)2(z+i)2dz.
En utilisant les formules intégrales de Cauchy, nous obtenons Z
|z+i|=1
eiz
(z2+ 1)2dz= 2πif0(−i) = 2πiie 8, avec
f(z) = eiz (z−i)2. (5) Les singularités def sont
z0 =−1 et z2 = 2.
Ainsi, l’intégrale se calcule comme suit
Z
|z|=3
cos(πz)
(z+ 1)(z−2)dz = Z
γ1
cos(πz) (z−2)
z+ 1 dz+ Z
γ2
cos(πz) z+ 1 (z−2)dz,
= 2πi[g1(−1) +g2(2)] = 2πi −1
−3+1 3
= 4πi 3 . avec
g1(z) = z+ 1
(z−2i)2 et g2(z) = z+ 1 z .
30 3.1. EXERCICES CORRIGÉS
(6) En utilisant les formules intégrales de Cauchy, nous avons Z
|z−1|=2
zez
(z−1)3dz= 2πif00(1)
2! = 3eπi, avec
f(z) =zez.
(7) En utilisant les formules intégrales de Cauchy, nous avons Z
|z|=1
1
z3(z−4)dz = 2πif00(0) 2! = −1
32πi, avec
f(z) = 1 (z−4).
Exercice 58 - Calculer l’intégrale curviligne suivante Z
γ
z
(z−1−i)2dz oùγ est le contour suivant
• Solution : Le chemin γ est un demi-cercle de centre 1 +i et de rayon 1. Ainsi, nous avons
γ(t) = 1 +i+eit, −π
2 ≤t≤ π 2. γ0(t) =ieit.
L’intégrale curviligne devient Z
γ
z
(z−1−i)2dz = Z π2
−π
2
1 +i+eit e2it
! ieitdt,
3.1. EXERCICES CORRIGÉS 31
=i Z π
2
−π2
1 +i+eite−itdt,
=i Z π
2
−π2
e−it+ie−it+ 1dt,
=i
"
e−it
−i −e−it+t
#π
2
−π2
,
=i
"
e−iπ2
−i −e−iπ2 +π 2
#
−i
"
eiπ2
−i −eiπ2 −π 2
# .
Exercice 59 - En utilisant les formules intégrales de Cauchy, calucler les intégrales sui-vantes
1) Z
|z|=4
ez
z2(z2+π2)dz, 2)
Z
|z+1|=1
e3z z2+ 1dz, 3)
Z
|z|=3
z2+ 4 z3+ 2z2+ 2zdz, 4)
Z
|z|=32
sin(πz2) + cos(πz2) (z−1)(z−2) dz.
• Solution : 1) Nous remarquons que la fonction z2(ze2z+π2) possède 3 singularités 0, iπ et
−iπ.
32 3.1. EXERCICES CORRIGÉS
Ainsi, Z
|z|=4
ez
z2(z2+π2)dz= Z
γ1
ez
z2(z2+π2)dz+ Z
γ2
ez
z2(z2+π2)dz+ Z
γ3
ez
z2(z2+π2)dz,
= Z
γ1
f(z) z2 dz+
Z
γ2
g(z) (z−iπ)dz+
Z
γ3
h(z) (z+iπ)dz.
avec
f(z) = ez
z2+π2, g(z) = ez
z2(z+iπ) et h(z) = ez z2(z−iπ).
Les fonction f, g eth sont holomorphes à l’intérieur deγ1, γ2 et γ3, respectivement. Ainsi, d’après les formules intégrales de Cauchy, on obtient
Z
|z|=4
ez
z2(z2+π2)dz = 2πif0(0) + 2πig(iπ) + 2πih(−iπ),
= 2πi( 1
π2) + 2πi( 1
2π3i) + 2πi( −1
2π3i) = 2i π.
2) Nous remarquons que la fonction ze23z+1 est holomorphe à l’intérieur de|z+ 1|= 1.
Ainsi, par le théorème de Cauchy, Z
|z+1|=1
e3z
z2+ 1dz= 0.
3) La fonction z2+ 4
z3+ 2z2+ 2z possède 3 singularité 0, z1 :=−1 +iet z2 :=−1−i.
Ainsi, Z
|z|=3
z2+ 4
z3+ 2z2+ 2zdz= Z
γ1
z2+ 4
z3+ 2z2+ 2zdz+ Z
γ2
z2+ 4
z3+ 2z2+ 2zdz+ Z
γ3
z2+ 4 z3+ 2z2+ 2zdz,
3.1. EXERCICES CORRIGÉS 33
= Z
γ1
f(z) z dz+
Z
γ2
g(z) (z−z1)dz+
Z
γ3
h(z) (z−z2)dz, avec
f(z) = z2+ 4
z2+ +2z+ 2, g(z) = z2+ 4
z(z−z2) et h(z) = z2+ 4 z(z−z1).
Les fonction f, g et h sont holomorphes à l’intérieur de γ1, γ2 et γ3, respectivement. Ainsi d’après les formules intégrales de Cauchy, on obtient
Z
|z|=3
z2+ 4
z3+ 2z2+ 2zdz= 2πi(2) + 2πi(−i+ 2
−i−1) + 2πi(−i+ 2
i−1 ) = 2πi.
4) La fonctionsin(πz2) + cos(πz2)
(z−1)(z−2) possède une singularité à l’intérieur de|z|= 32.Ainsi, Z
|z|=32
sin(πz2) + cos(πz2)
(z−1)(z−2) dz= 2πif(1), avec
f(z) = sin(πz2) + cos(πz2) (z−2) . Donc,
Z
|z|=3
2
sin(πz2) + cos(πz2)
(z−1)(z−2) dz = 2πi.
Exercice 60 - Calculer l’intégrale curviligne suivante Z
γ
|z|2dz oùγ =γ1∪γ2 est le chemin suivant
34 3.1. EXERCICES CORRIGÉS
• Solution : Le chemin γ1 est un quart de cercle de centre 0 et de rayon 2. Ainsi, nous avonsγ1(t) = 2eit, 0≤t≤ π2.Ainsi, γ10(t) = 2ieit.L’intégrale curviligne devient
Z
γ1
|z|2dz= Z
γ1
zzdz= Z π/2
0
(2eit)(2e−it)(2ieit)dt
= 8i Z π/2
0
eitdt= 8i
"
eit i
#π/2
0
= 8(eiπ2 −1) = 8(i−1).
Le chemin γ2 est un segment d’origine 2i et d’extrémité −2. Ainsi, γ2(t) = 2i(1−t)− 2t, avec 0≤t≤1.Ainsi, γ20(t) = 2i−2.L’intégrale curviligne devient
Z
γ2
|z|2dz= Z
γ2
zzdz= Z 1
0
(−2t+ 2i(1−t))(−2t−2i(1−t))(−2i−2)dt
= (−2i−2) Z 1
0
4t2+ 4(1−t)2)dt= (−2i−2) Z 1
0
8t2+ 4−8t)dt
= (−2i−2)
"
8t3
3 + 4t−4t2
#1 0
= (−2i−2)8 3. Finalement,
Z
γ
|z|2dz = Z
γ1
|z|2dz+ Z
γ2
|z|2dz= 8(i−1) + (−2i−2)8 3.
Exercice 61 - I) Calculer l’intégrale suivante Z
γ
z2+ 4 z dz, avec γ donné dans la figure.
II) En utilisant les formules intégrales de Cauchy, calculer l’intégrale suivante Z
|z|=2
cosπz z2(z−1)dz.
3.1. EXERCICES CORRIGÉS 35
• Solution : I) La paramétrisation du chemin (quart de cercle positif de centre 0 et de rayon 2) est donnée par :
γ(t) = 2eit, avec 0≤t≤ π 2, γ0(t) = 2ieit.
Ainsi, Z
γ
(z2+ 4 z )dz =
Z π/2 0
(4e2it+ 4
2eit )(2ieit)dt= 4i Z π/2
0
(e2it+ 1)dt= 4i
"
e2it 2i
π/2 0 +t
π/2 0
# ,
= 4i
"
eiπ−e0 2i + π
2
#
=−4 + 2iπ.
II) Soientγ1 un cercle de centre 1 et de rayon r1 etγ2 un cercle de centre 0 et de rayon r2. Ainsi, nous avons
Z
|z|=2
cosπz z2(z−1)dz=
Z
γ1
cosπz z2
z−1dz+ Z
γ2
cosπz z−1
z2 dz= 2πih(1) + 2πig0(0).
Posons h(z) = cosz2πz qui est holomorphe à l’intérieur de γ1 et g(z) = cosz−1πz qui est holo-morphe à l’intérieur deγ2. Donc, d’après les formules intégrales de Cauchy, on obtient
Z
|z|=2
cosπz
z2(z−1)dz = Z
γ1
cosπz z2
z−1dz+ Z
γ2
cosπz z−1
z2 dz= 2πi h(1) + 2πi g0(0).
Ainsi,
Z
|z|=2
cosπz
z2(z−1)dz= 2πi(−1) + 2πi(−1) =−4πi.
36 3.2. EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES
3.2 Exercices supplémentaires
Exercice 62 - Calculer l’intégrale curviligne suivante Z
γ
z−z i
dz, oùγ =γ1∪γ2∪γ3 est le chemin suivant
Exercice 63 - Calculer les intégrales suivantes : Z
γ1
z−1dz, avec γ1 = [1−i,1 +i]∪[1 +i,−1 +i], et
Z
γ2
2i dz, avec γ2 est le chemin |z−i|= 2.
Exercice 64 - Calculer les intégrales suivantes : (1)
Z
C(2,1)
ez+z2
(z−2)2 dz, (2) Z
C(−i,1
2)
cos(z) (z−i)2 dz, (3)
Z
C(i,1)
ez+z2
(z−2)2 dz, (4) Z
C(i,1)
cos(z) (z−i)2 dz.
Exercice 65 - Calculer par deux méthodes différentes les intégrales suivantes : (1)
Z
C(0,2)
z2−2z dz, (2) Z
C(2+i,3)
1
z−(2 +i) dz, (3)
Z
C(5i,2)
(z−5i)2 dz, (4) Z
C(1+i,2)
z
z−(i+ 1) dz,
3.2. EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES 37
(5) Z
C(0,3)
1−z3 dz, (6) Z
C(13i,1)
1
(z−13i)2 dz, (7)
Z
C(0,1)
z2+ 4z dz, (8) Z
C(12i,1)
1 z−12i dz.
Exercice 66 - Calculer l’intégrales suivante Z
γ
|z|2dz, où
Exercice 67 - En utilisant les formules intégrales de Cauchy, calculer les intégrales sui-vantes :
1) Z
|z|=2a
ezdz z2+a2, 2)
Z
|z+1|=1
e3z z2+ 1dz, 3)
Z
|z|=4
ez
z2(z2+π2)dz, 4)
Z
|z|=3
ez
(z−1)2(z2−2z)dz.
Exercice 68 - En utilisant les formules intégrales de Cauchy, calculer les intégrales sui-vantes
Z
|z−π|=12
cos(z)
z2(z−π)dz et Z
|z|=12
cos(z) z2(z−π)dz.
38