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Como falamos na introdu¸cão deste cap´ıtulo, o objetivo desta se¸cão é mostrar que a aplica¸cão que a cada operador auto-adjunto associa a proje¸cão ortogonal sobre seu subespa¸co espectral negativo (positivo) é cont´ınua. Esta propriedade será de grande utilidade, tanto como para a próxima se¸cão, onde trataremos o ´ındice de Morse relativo para pares de isomorfismos cuja diferen¸ca é compacta, que se definirá em fun¸cão das proje¸cões sobre os subespa¸cos espectrais negativos, como também para o resto do trabalho.

Seja L ∈ L(E), onde E é un espa¸co de Banach complexo. Com base no Teorema da fórmula integral de Cauchy, nesta se¸c˜_{ao veremos que, se f : ∆ → C é uma aplica¸cão} regular2, onde ∆ ´_{e um subconjunto aberto de C que contém σ(L), podemos definir o} operador f (L) ∈ L(E) como

f (L) = − 1 2πi

f (λ)(L − λI)−1dλ, (4.3.1)

onde Γ é um caminho (ou um número finito de caminhos que não se intersectam) fechado, simples, positivamente orientado, contido em ∆ e que contém σ(L) no seu interior. Para este fim, primeiro lembraremos alguns conceitos, tais como: caminhos retificáveis (fechados, simples ou positivamente orientados), aplica¸cões regulares, integral de Riemann de aplica¸cões regulares, entre outras. Além disso, apresentaremos algumas propriedades que possui a integral de Riemann de aplica¸cões regulares ao longo de caminhos retificáveis, assim como também o Teorema da fórmula integral de Cauchy. A maioria destes resultados se podem ver, por exemplo, em [15] ou em [2]. Fazendo uso destas no¸cões da análise complexa, será clara a fórmula acima que define o operador f (L). Schechter em [25], §6.3 e §6.4, faz uma apresenta¸cão bem detalhada desta constru¸cão.

Finalmente, provaremos que, se L ∈ L(H) é auto-adjunto, onde H é um espa¸co de Hilbert complexo, e 0 não é ponto de acumula¸cão de σ(L), a proje¸cão ortogonal sobre o

subespa¸co espectral negativo de L se pode expressar da forma χ(L), onde χ : ∆ → C é uma oportuna apli¸cão regular e ∆ é um subconjunto aberto dos complexos que contém σ(L). No caso real, tomaremos a complexifica¸cão bL do operador L e provaremos que a parte real do operador χ(bL) coincide com a proje¸cão ortogonal sobre o subespa¸co espectral negativo de L. Com esta representa¸cão das proje¸cões podemos mostrar que elas dependem continuamente dos operadores.

Nesta se¸cão, se não se diz o contrario, E denotará um espa¸co de Banach complexo e ∆ um subconjunto aberto de C.

Defini¸c˜_{ao 4.3.1. Seja Γ : [a, b] → C um caminho, isto é, uma aplica¸cão cont´ınua.} Para qualquer parti¸cão de [a, b], dada por P = {t0, t1, ..., tm}, definimos

ΛΓ(P ) = m X k=1 kΓ(tk) − Γ(tk−1)k. Se

ΛΓ= sup{ΛΓ(P ) : P ´e uma parti¸c˜ao de [a, b]}

e finito, então dizemos que Γ é retificável e seu comprimento é o supremo acima. Defini¸c˜_{ao 4.3.2. Seja Γ : [a, b] → C um caminho.}

Dizemos que Γ ´e fechado se Γ(a) = Γ(b). Neste caso o interior de Γ, denotado por ˚_{Γ, ´}_{e a regi˜}_{ao de C limitada por Γ.}

Dizemos que Γ ´e simples se Γ(t1) 6= Γ(t2) para t1, t2 ∈ [a, b], com t1 6= t2e pelo menos

um dos dois ´e ponto interior de [a, b]. Se t1 < t2, usaremos a nota¸c˜ao Γ(t1) < Γ(t2),

sempre que Γ(t1) seja diferente de Γ(t2). Para simplificar, mesmo que seja impr´oprio,

chamaremos de intervalo a imagem Γ([t1, t2]) e a denotaremos por [Γ(t1), Γ(t2)]. Al´em

disso, escreveremos λ ∈ Γ para denotar que λ pertence `a imagem de Γ.

Um caminho fechado Γ é positivamente orientado se é percorrido no sentido anti- horário, isto é, o seu interior fica à esquerda, ao se percorrer Γ. Por simplicidade, um caminho fechado, simples, retific´_{avel e positivamente orientado Γ : [a, b] → C será} chamado de curva fechada.

Defini¸cão 4.3.3. Dizemos que uma aplica¸cão f : ∆ → E é regular (ou holomorfa) em λ0 ∈ ∆, se existe em E o limite lim λ→λ0 f (λ) − f (λ0) λ − λ0 = f0(λ0).

Se f é regular em cada ponto de ∆, dizemos que f é regular em ∆ ou simplesmente que f é regular.

Proposi¸cão 4.3.4. Seja L ∈ L(E) dado. A aplica¸cão R : ρ(L) → L(E) dada por R(λ) = (L − λI)−1, para λ ∈ ρ(L), é regular.

Demonstra¸c˜ao. Sendo λ 7→ L − λI cont´ınua, do Lema 1.1.9 se segue que R ´e cont´ınua. Fixemos λ0 em ρ(L). Observe que, se λ ∈ ρ(L), de (1.1.1) obtemos

(L − λI)−1− (L − λ0I)−1 = −(L − λI)−1(λ0I − λI)(L − λ0I)−1,

isto ´e, (L − λI)−1− (L − λ0I)−1 (λ − λ0) = (L − λI)−1(L − λ0I)−1. Consequentemente, lim λ→λ0 (L − λI)−1− (L − λ0I)−1 (λ − λ0) = (L − λ0I)−2,

o que prova a proposi¸c˜ao.

Lembremos agora a defini¸cão da integral de uma aplica¸cão ao longo de um caminho contido no plano complexo. Consideremos um caminho retificável Γ : [a, b] → ∆. Uma parti¸cão da imagem de Γ é um subconjunto P = {λ0, λ1, λ2, ..., λn} ⊆ Im(Γ), onde

λ0 = Γ(a) e λn= Γ(b), tal que

λ0 < λ1 < λ2 < ... < λn.

Dizemos que uma parti¸cão P0 da imagem de Γ é mais fina que P se P ⊆ P0. A norma de uma parti¸cão P da imagem de Γ é definida por

kP k = max{|λi− λi−1| : i = 1, ..., n}.

E fácil ver que, se P0 é mais fina que P , então kP0k ≤ kP k. Tomemos agora uma aplica¸cão f : ∆ → E e um caminho retificável Γ : [a, b] → ∆. Para uma parti¸cão P = {λ0, λ1, λ2, ..., λn} da imagem de Γ, seja E = {ζ1, ζ2, ..., ζn}, onde ζi ∈ [λi−1, λi],

para i = 1, 2, ..., n. Neste caso diremos que (P, E) ´e uma parti¸c˜ao pontuada de Γ. Consideremos a soma S(P, E, f ) = n X i=1 (λi− λi−1)f (ζi). (4.3.2)

Defini¸cão 4.3.5. Dizemos que f : ∆ → E é integrável no caminho Γ se existe um número A com a seguinte propriedade: Para todo ε > 0, existe uma parti¸cão pontuada (Pε, Eε) da imagem de Γ tal que para cada parti¸cão P = {λ0, λ1, λ2, ..., λn} mais fina

que Pε e cada escolha dos pontos E = {ζ1, ζ2, ..., ζn}, onde ζi ∈ [λi−1, λi], temos que

|S(P, E, f ) − A| < ε. Neste caso usaremos a nota¸c˜ao

lim

O número A é chamado de integral de f no caminho Γ e será denotado por Z

f (λ)dλ.

No caso das fun¸cões cont´ınuas reais de variável real, o análogo da no¸cão de integral acima é equivalente à defini¸cão clássica de integral de Riemann, dada com as somas superiores e inferiores.

Teorema 4.3.6. Se f : ∆ → E é cont´ınua, então ela é integrável em qualquer caminho retificável Γ contido em ∆.

Podemos encontrar uma prova do teorema anterior, por exemplo, em [15], Cápitulo 3, §9. Como consequência obtemos que, se f é cont´ınua, para qualquer sequência de parti¸cões pontuadas (Pn, En)∞n=1 de Γ tal que lim_n→∞kPnk = 0, então

f (λ)dλ = lim

n→∞S(Pn, En, f ).

A seguir apresentaremos alguns resultados clássicos da teoria das fun¸cões complexas que serão usados nesta se¸cão. Os dois seguintes resultados são os bem conhecidos Teorema integral de Cauchy e a Fórmula integral de Cauchy, cujas provas se podem encontrar, por exemplo, em [15], pág. 57, Teorema 2, e pág. 61, respectivamente. Teorema 4.3.7 (Teorema integral de Cauchy). Sejam f : ∆ → E uma aplica¸cão regular e Γ0 uma curva fechada contida em ∆. Suponhamos que Γ1, Γ2, ..., Γm sejam

curvas fechadas contidas no interior de Γ0 e que cada uma delas esteja contida no

exterior de todas as outras. Isto ´e, para cada i = 1, 2, ..., m, Γi est´a contida no exterior

de cada uma das curvas Γ1, Γ2, ..., Γi−1, Γi+1,..., Γm. Ent˜ao,

Z Γ0 f (λ)dλ = Z Γ1 f (λ)dλ + Z Γ2 f (λ)dλ + ... + Z Γm f (λ)dλ,

sempre que todas as curvas fechadas e as regi˜oes anulares entre Γ0 e os Γi, para i =

1, 2, ..., m, estejam contidas inteiramente em ∆.

Teorema 4.3.8 (Fórmula integral de Cauchy). Seja f : ∆ → E uma aplica¸cão regular. Se Γ é uma curva fechada, então a fórmula

f (ζ) = − 1 2πi Z Γ f (λ) ζ − λdλ (4.3.3) ´

e valida para todo ponto ζ no interior de Γ, sempre que Γ e seu interior estejam contidos inteiramente em ∆.

Uma caracter´ıstica das aplica¸c˜_{oes regulares com valores em C é que todas suas} derivadas de ordem superior existem e, além disso, elas se podem expressar localmente como uma série de potências, como mostra o seguinte teorema. Uma prova deste teorema se pode ver em [15], pág. 79, Teorema 1.

Teorema 4.3.9. Sejam f : ∆ → C uma aplica¸c˜ao regular e λ0 ∈ ∆. Ent˜ao, existe

uma, e somente uma, s´erie de potˆencias da forma

∞

k=0

ak(λ − λ0)k,

a qual converge ao menos na maior bola contida em ∆ com centro em λ0 e representa

a fun¸c˜ao f (λ) em tal bola. Al´em disso, ak =

1 k!f

(k)

(λ0).

Fixemos um operador L ∈ L(E). ´E sabido que, para um polinˆ_{omio p : C → C dado} por p(λ) =Pn

k=0akλ

k_{, podemos definir o operador p(L) como}

p(L) =

k=0

akLk, onde L0 = I.

Vamos agora abordar a defini¸c˜_{ao de f (L), onde f : ∆ → C é uma aplica¸cão regular} tal que σ(L) ⊆ ∆, como foi introduzida na fórmula (4.3.1). Primeiro mostraremos o caso em que ∆ ´_{e uma bola aberta em C e depois o caso geral. Antes de apresentar} esta defini¸cão, primeiro vejamos os seguintes resultados, cujas provas se podem ver, por exemplo, em [7], pág. 197, Proposi¸cão 3.8 e [25], pág. 150, Lema 6.28, respectivamente. Lema 4.3.10. Se L ∈ L(E), então o limite

lim

k→∞kL k_k1/k

existe e coincide com

max

λ∈σ(L)|λ|.

O n´umero r(L) = max

λ∈σ(L)|λ| no lema anterior ´e chamado de raio espectral de L.

Lema 4.3.11. Se A ´e um subconjunto compacto de ∆, existe um conjunto aberto limitado ω tal que:

i. A ⊆ ω, ii. ω ⊆ ∆,

iii. a fronteira de ω consiste de um n´umero finito de curvas fechadas Γ1, Γ2,...,Γn as

quais n˜ao se intersectam.

Denotaremos por ∂ω a fronteira de ω. Tomando A = σ(L) no lema anterior, obtemos que σ(L) ⊆ ω = n [ i=1 ˚_Γ_i _⊆ n [ i=1 ˚_Γ_i _{⊆ ∆.} _(4.3.4)

Sejam L ∈ L(E) e f : B(0, ε) → C uma aplica¸c˜ao regular tal que σ(L) ⊆ B(0, ε). Do Teorema 4.3.9 se segue que

f (λ) =

∞

k=0

akλk para todo λ ∈ B(0, ε).

Definimos, analogamente, a s´erie formal de potˆencias de L

∞

k=0

akLk

e provemos que converge em L(E). De fato, observe que r(L) = max

λ∈σ(L)|λ| < ε,

pois σ(L) ⊆ B(0, ε) e σ(L) ´e compacto. Assim,

σ(L) ⊆ B(0, δ), onde δ = (r(L) + ε)/2. (4.3.5) Dado que

lim

k→∞kL

k_k1/k _{= r(L),}

existe N ∈ N tal que kLk_k1/k _{< δ < ε para k ≥ N . Como consequˆ}_{encia do Teorema}

4.3.9, temos que a s´erie P∞

k=0|ak|δk ´e convergente em C. Por outro lado, ∞ X k=N kakLkk ≤ ∞ X k=N |ak|kLkk ≤ ∞ X k=N |ak|δk ≤ ∞ X k=0 |ak|δk.

Este fato implica que a s´erie P∞

k=0kakLkk ´e convergente. Portanto, dado que L(E)

e um espa¸co de Banach, pelo Teorema 1.1.2 conclu´ımos que P∞

k=0akL

k _{converge em}

L(E). Consequentemente, o operador

f (L) =

∞

k=0

e bem definido. Como resultado an´alogo ao Teorema 4.3.8 (f´ormula integral de Cauchy), provaremos que f (L) coincide com a integral

− 1 2πi

f (λ)(L − λI)−1dλ,

onde Γ é uma curva fechada contida em B(0, ε) que contém no seu interior o espectro de L. Para este fim, vejamos o seguinte teorema, cuja demostra¸cão pode ser encontrada, por exemplo, em [25], pág. 136, Teorema 6.12.

Teorema 4.3.12. Sejam L um operador em L(E) e Γ : [a, b] → C um curva fechada tal que σ(L) ⊆ ˚Γ. Ent˜ao, para cada inteiro positivo k, temos

Lk = − 1 2πi

λk(L − λI)−1dλ.

Sejam L ∈ L(E) e f : B(0, ε) → C uma aplica¸c˜ao regular tal que σ(L) ⊆ B(0, ε). Consideremos uma curva fechada Γ : [0, 1] → C tal que σ(L) ⊆ ˚Γ ⊆ B(0, ε) (Γ pode ser, por exemplo, a curva dada por Γ(t) = δe2πit_{, isto ´}_{e, a circunferˆ}_{encia de raio δ, onde}

δ = (r(L) + ε)/2 como em (4.3.5)). Ent˜ao, de (4.3.6) e do teorema anterior, temos f (L) = ∞ X k=0 akLk = − 1 2πi ∞ X k=0 ak Z Γ λk(L − λI)−1dλ = − 1 2πi Z Γ ∞ X k=0 akλk(L − λI)−1dλ = − 1 2πi Z Γ f (λ)(L − λI)−1dλ,

o que prova que a fórmula (4.3.1) é válida para o caso ∆ = B(0, ε).

De forma análoga à expressão acima podemos definir o operador f (L) para qualquer aplica¸c˜_{ao regular f : ∆ → C, onde ∆ ⊆ C é um subconjunto aberto (não necessaria-} mente uma bola aberta em C) que contém o espectro de L, como veremos na seguinte defini¸cão.

Defini¸c˜_{ao 4.3.13. Suponhamos que L ∈ L(E) e que f : ∆ → C seja uma aplica¸c˜ao} regular tal que σ(L) ⊆ ∆. Seja ω ⊆ C um aberto tal que sua fronteira consista de um n´umero finito de curvas fechadas Γ1,...,Γn e

σ(L) ⊆ ω = n [ i=1 ˚_Γ_i _⊆ n [ i=1 ˚_Γ_i _{⊆ ∆.}

O operador f (L) ´e definido como f (L) = − 1

2πi Z

∂ω

A existência da integral (4.3.7) se deve a que ∂ω consiste de um número finito de curvas fechadas e que a aplica¸cão

λ 7→ f (λ)(L − λI)−1 ´

e regular em ∂ω e portanto cont´ınua.

Na defini¸cão anterior não foi exigida a conexidade de ∆ ou de σ(L). Como con- sequência do Lema 4.3.11 temos que, se σ(L) é conexo, existe uma curva fechada Γ contida em ∆ e que contém no seu interior o espectro de L. Assim,

f (L) = − 1 2πi

f (λ)(L − λI)−1dλ. Suponhamos agora que

σ(L) = σ1∪ σ2,

onde σ1 e σ2 s˜ao subconjuntos de C separados, isto ´e, existem dois conjuntos abertos

disjuntos ∆1 e ∆2 tais que σ1 ⊆ ∆1 e σ2 ⊆ ∆2. Não é dif´ıcil provar que σ1 e σ2 são

subconjuntos compactos de C. Seja f uma aplica¸c˜ao complexa e regular em ∆0 =

∆1∪ ∆2. Se Γ1 e Γ2 s˜ao duas curvas fechadas tais que

σ1 ⊆ ˚Γ1 ⊆ ∆1 e σ2 ⊆ ˚Γ2 ⊆ ∆2,

ent˜ao, por defini¸c˜ao,

f (L) = − 1 2πi Z Γ1∪Γ2 f (λ)(L − λI)−1dλ, isto é, f (L) = − 1 2πi Z Γ1 f (λ)(L − λI)−1dλ + 1 2πi Z Γ2 f (λ)(L − λI)−1dλ . (4.3.8) Por outro lado, além das condi¸cões do caso anterior, suponhamos também que f seja regular em uma região conexa ∆ que contém ∆0 e que Γ0 seja uma curva fechada

contida em ∆ e que cont´em no seu interior as curvas Γ1 e Γ2. Se segue do Teorema

4.3.7 (Teorema integral de Cauchy), para o caso de integrais de aplica¸cões definidas em L(E), que 1 2πi Z Γ0 f (λ)(L − λI)−1dλ = 1 2πi Z Γ1 f (λ)(L − λI)−1dλ + 1 2πi Z Γ2 f (λ)(L − λI)−1dλ. Este fato mostra que, se ∆ é uma bola aberta com centro em 0, a defini¸cão do operador f (L) dada em (4.3.7) coincide com (4.3.6).

No caso em que σ(L) e o dom´ınio de f possuam um número finito de componentes conexas, obtemos uma expressão do operador f (L) análoga à dada acima.

Observa¸cão 4.3.14. Suponhamos que temos f (L) como em (4.3.7). É fácil ver que L comuta com (L − λI)−1 para λ ∈ ρ(L). Assim,

Lf (L) = L − 1 2πi Z ∂ω f (λ)(L − λI)−1dλ = − 1 2πi Z ∂ω f (λ)L(L − λI)−1dλ = − 1 2πi Z ∂ω f (λ)(L − λI)−1Ldλ = − 1 2πi Z ∂ω f (λ)(L − λI)−1dλ L = f (L)L. Logo, Lf (L) = f (L)L. (4.3.9)

Outras duas propriedades importantes que possui o operador f (L) são apresentadas nos dois seguintes lemas, cujas provas se podem encontrar, por exemplo, em [25], pág. 138, Lema 6.15 e pág. 139, Teorema 6.17, respectivamente.

Lema 4.3.15. Seja L ∈ L(E) fixado. Suponhamos que f : ∆ → C e g : ∆ → C sejam duas aplica¸c˜_{oes regulares e que σ(L) ⊆ ∆. Se h : ∆ → C ´e definida como} h(λ) = f (λ)g(λ), ent˜ao

h(L) = f (L)g(L).

Lema 4.3.16. Seja L ∈ L(E) fixado. Se f : ∆ → C ´e regular em uma vizinhan¸ca de σ(L), ent˜ao

σ(f (L)) = f (σ(L)),

isto ´e, λ ∈ σ(f (L)) se, e somente se, λ = f (ζ) para algum ζ ∈ σ(L).

Com falamos na introdu¸cão desta se¸cão, provaremos que a proje¸cão ortogonal sobre o subespa¸co espectral negativo de um operador auto-adjunto L, definido em um espa¸co de Hilbert complexo H, se pode expressar da forma χ(L), onde χ é uma aplica¸cão regular em um subconjunto aberto que contém o espectro de L. Mais geralmente, veremos que, se σ(L) = σ1∪ σ2, onde σ1 e σ2 são dois subconjuntos separados de σ(L),

ent˜ao:

i. existe um subespa¸co fechado H1 ⊆ H tal que H1 e H1⊥ s˜ao invariantes por L,

ii. os espectros das restri¸c˜oes L|H1 : H1 → H1 e L|H₁⊥ : H

⊥

1 → H

⊥

1 do operador L

s˜ao σ1 e σ2, respectivamente, e

iii. a proje¸c˜ao ortogonal sobre H1 pode ser expressada em fun¸c˜ao de L.

De fato, sejam H um espa¸co de Hilbert complexo e L ∈ L(H) um operador auto- adjunto. Neste caso σ(L) ´e um subconjunto dos n´umeros reais. Suponhamos que

e que exista uma bola aberta B(a, ε) com centro em a ∈ R e raio ε > 0 tal que σ1 ⊆ B(a, ε) e σ2 ⊆ C\B(a, ε).

Assim, como em (4.3.5), existe uma bola aberta B(a, δ), com 0 < δ < ε, tal que σ1 ⊆ B(a, δ). Tomemos Γ : [0, 1] → C definido por

Γ(t) = a + δe2πit, (4.3.10)

isto é, Γ é uma parametriza¸cão (orientada positivamente) da circunferência de centro em a e raio δ. Da´ı,

σ1 ⊆ ˚Γ ⊆ B(a, ε).

Por outro lado, observe que

σ2 = σ02∪ σ 00 2,

onde σ0₂ = σ2∩ (−∞, min σ1) e σ200 = σ2∩ (max σ1, +∞) (σ02 ou σ 00

2 podem ser vazios,

por´em, obviamente n˜ao ambos). Como vimos acima, existem dois curvas fechadas Γ0 e Γ00 _{contidas em C\B(a, ε) tais que}

σ₂0 ⊆ ˚Γ0 _{⊆ C\B(a, ε) e σ}00

2 ⊆ ˚Γ00 ⊆ C\B(a, ε).

A aplica¸c˜ao χ dada por

χ(λ) = 1 se λ ∈ B(a, ε) 0 se λ ∈ C\B(a, ε) ´

e regular no conjunto aberto ∆ = B(a, ε) ∪ C\B(a, ε). Assim, χ(L) = − 1 2πi Z Γ∪Γ0_∪Γ00 (L − λI)−1dλ. De (4.3.8) temos χ(L) = − 1 2πi Z Γ (L − λI)−1dλ. (4.3.11)

Proposi¸cão 4.3.17. O operador χ(L) é uma proje¸cão ortogonal.

Demonstra¸c˜ao. Denotemos por P o operador χ(L). Dado que χ(λ)χ(λ) = χ(λ) para todo λ ∈ ∆, do Lema 4.3.15 temos

P2 = χ(L)χ(L) = χ(L) = P.

Vejamos que P é auto-adjunto. De fato, não é dif´ıcil provar que, para qualquer operador T ∈ L(H),

onde λ denota o conjugado de λ ∈ C. Logo, dado que L é auto-adjunto e Γ ⊆ ρ(L), se λ ∈ Γ, então L − λI é invers´ıvel. Dada uma parti¸cão A = {λ0, λ1, ..., λn} da imagem de

Γ, onde Γ(0) = λ0 < λ1 < λ2 < ... < λn = λ0, tomemos EA= {λ1, λ2, ..., λn}. Sejam R

a aplica¸c˜ao resolvente do operador L e x, y ∈ H. Logo, como na f´ormula (4.3.2), temos

hS(A, EA, −R/2πi)x, yi = h− 1 2πi n X k=1 (λk− λk−1)(L − λkI)−1x, yi = hx, 1 2πi n X k=1 (λk− λk−1)(L∗− λkI)−1yi = hx, 1 2πi n X k=1 (λk− λk−1)(L − λkI)−1yi.

A defini¸c˜ao de Γ (ver (4.3.10)) implica que λk ∈ Γ e que λn < λn−1 < ... < λ0 = λn.

Para k = 0, 1, ..., n, seja ξk = λn−k. Assim, ξ0 < ξ1 < ... < ξn = ξ0, isto ´e, B =

{ξ0, ξ1, ..., ξn} ´e uma parti¸c˜ao da imagem de Γ. Consideremos EB = {ξ0, ξ2, ..., ξn−1}.

Consequentemente, hx, 1 2πi n X k=1 (λk− λk−1)(L − λkI)−1yi = hx, 1 2πi n X k=1 (ξn−k− ξn−k+1)(L − ξn−kI)−1yi = hx, − 1 2πi n X k=1 (ξn−k+1− ξn−k)(L − ξn−kI)−1yi = hx, − 1 2πi n X j=1 (ξj − ξj−1)(L − ξj−1I)−1yi = hx, S(B, EB, −R/2πi)yi. Portanto,

hS(A, EA, −R/2πi)x, yi = hx, S(B, EB, −R/2πi)yi para todo x, y ∈ H. (4.3.12)

Da defini¸c˜ao de P, obtemos que lim

kAk→0S(A, EA, −R/2πi) = P = limkBk→0S(B, EB, −R/2πi).

Portanto, de (4.3.12) e da continuidade do produto interno, hP x, yi = hx, P yi para todo x, y ∈ H, isto ´e, P = P∗, o que prova a proposi¸c˜ao.

Da proposi¸cão anterior se segue que H = Im χ(L) ⊕ Ker χ(L) e que, além disso, Im χ(L) e Ker χ(L) são subespa¸cos ortogonais de H. Por outro lado, de (4.3.9) temos

Lχ(L) = χ(L)L. (4.3.13)

Portanto, Im χ(L) e Ker χ(L) são invariantes por L. Para a seguinte proposi¸cão denotaremos por L1 e L2 as restri¸cões

L|Im χ(L): Im χ(L) → Im χ(L) e L|Ker χ(L) : Ker χ(L) → Ker χ(L)

do operador L, respectivamente.

Proposi¸cão 4.3.18. Os espectros das restri¸cões L1 e L2 são σ1 e σ2, respectivamente.

Demonstra¸cão. Como na proposi¸cão anterior, seja P = χ(L). A Proposi¸cão 3.3.7 prova que

σ(L) = σ(L1) ∪ σ(L2).

Provemos que σ(L1) = σ1. De fato, seja ξ ∈ C um ponto que n˜ao perten¸ca a σ1.

Denotemos por ∆1 = B(a, δ) e ∆2 = C\B(a, ε). Seja ∆01 ⊆ ∆1 subconjunto aberto tal

que σ1 ⊆ ∆01 e ξ /∈ ∆ 0

1. Assim, ∆ 0

1∪ ∆2 ´e uma vizinhan¸ca aberta de σ(L). Tomemos

g(λ) = χ(λ)/(ξ − λ) se λ ∈ ∆

0 1

0 se λ ∈ ∆2

Ent˜ao, g ´e regular em ∆0₁∪ ∆2. Observe que χ(λ)g(λ) = 0 = g(λ) para λ ∈ ∆2 e

χ(λ)g(λ) = χ(λ)χ(λ)/(ξ − λ) = χ(λ)/(ξ − λ) = g(λ) para λ ∈ ∆0₁. isto ´e, χ(λ)g(λ) = g(λ) para todo λ ∈ ∆0₁∪ ∆2. Logo,

P g(L) = χ(L)g(L) = g(L).

Consequentemente, Im P ´e invariante por g(L). Consideremos a restri¸c˜ao g(L)|Im P :

Im P → Im P do operador g(L). Como χ(λ) = g(λ)(ξ − λ) para todo λ ∈ ∆0₁ ∪ ∆2,

ent˜ao

P = χ(L) = g(L)(ξI − L).

Assim, g(L)|Im P : Im P → Im P ´e a inversa da restri¸c˜ao (ξI − L)|Im P : Im P → Im P ,

pois P |Im P é a identidade de Im P. Este fato prova que ξI|Im P − L1 é invers´ıvel, isto é,

ξ ∈ ρ(L1). Em conclus˜ao, σ(L1) ⊆ σ1.

Analogamente podemos provar que σ(L2) ⊆ σ2.

Por outro lado, como

σ(L) = σ1∪ σ2 = σ(L1) ∪ σ(L2),

Defini¸cão 4.3.19. O operador χ(L), definido acima, é chamado de proje¸cão sobre o subespa¸co espectral de L correspondente a σ1.

Demonstremos agora que, se σ1 = σ−(L), para um operador auto-adjunto L ∈

L(H), e se 0 não é ponto de acumula¸cão do espectro de L, o operador χ(L) em (4.3.11) é a proje¸cão ortogonal sobre o subespa¸co espectral negativo de L. De fato, seja L ∈ L(H) auto-adjunto. Primeiro provemos que

λ0 = max

λ∈σ(L)λ = M = sup_kxk=1hLx, xi. (4.3.14)

Da Proposi¸c˜ao 3.3.9 se segue λ0 ≤ M. Suponhamos por contradi¸c˜ao que M > λ0.

Assim, L − M I é invers´ıvel e não positivo. Consequentemente, a Observa¸cão 3.3.15 implica que L − M I é definido negativo. Pela Observa¸cão 3.4.6, temos que existe l < 0 tal que sup kxk=1 h(L − M I)x, xi ≤ l. (4.3.15) Porém, sup kxk=1 h(L − M I)x, xi = sup kxk=1 (hLx, xi − M hx, xi) = sup kxk=1 hLx, xi − M = 0, contradizendo (4.3.15). Portanto, M = λ0.

Analogamente podemos provar que min

λ∈σ(L)λ = infkxk=1hLx, xi. (4.3.16)

Suponhamos ainda que L ∈ L(H) seja um operador auto-adjunto e que 0 não seja ponto de acumula¸cão de σ(L). É claro que existem duas bolas abertas disjuntas B1, e

B2 em C tais que

σ−(L) ⊆ B1, {0} ∪ σ+(L) ⊆ B2.

Como em (4.3.11), podemos definir a proje¸c˜ao P− sobre o subespa¸co espectral de L

correspondente a σ−(L) como um operador χ(L). Logo, H = Im P−⊕ Ker P−,

onde a soma ´e ortogonal.

Agora, o espectro da restri¸c˜ao L|Im P− : Im P− → Im P−, que ´e σ

−_{(L) pela Proposi-}

¸cão 4.3.18, é um conjunto de números reais negativos. Se segue de (4.3.14) que 0 > max

isto ´e, L|Im P− ´e definida negativa. Consequentemente,

hLx, xi < 0 para todo x ∈ Im P−, x 6= 0. (4.3.17)

Analogamente, de (4.3.14),

0 ≤ min

λ∈σ(L|_{Ker P−})λ = infkxk=1hL|Ker P−x, xi para todo x ∈ Ker P−,

isto ´e,

hLx, xi ≥ 0 para todo x ∈ Ker P−. (4.3.18)

Dado que a soma H = Im P−⊕ Ker P− ´e ortogonal, se segue de (4.3.17), (4.3.18) e

do Teorema 3.3.19 que Im P− = H−(L), Ker P− = H+(L) ⊕ Ker L e que P ´e a proje¸c˜ao

ortogonal sobre H−(L).

De forma an´aloga, a proje¸c˜ao ortogonal sobre H+(L) pode ser expressada da forma

dada em (4.3.11).

A proje¸cão apresentada em (4.3.11) somente é válida para o caso em que o espa¸co seja complexo. Usando a complexifi¸cão de um operador em um espa¸co de Hilbert real, podemos representar tal proje¸cão de forma similar. Suponhamos que H seja um espa¸co de Hilbert real e L ∈ L(H) seja um operador auto-adjunto. Seja bL ∈ L( bH) a complexifica¸cão de L. Assim,

H = H+(bL) ⊕ H−(bL) ⊕ Ker(bL).

Sex = x + iy ∈ b_b H, onde x, y ∈ H, a parte real dex ´_be definida por Re_bx = x. Para um subconjunto Ω de bH, definamos

Re(Ω) = {Rex :_b _bx ∈ Ω}. ´

E claro que bL e L coincidem em Re(Ω) para qualquer subconjunto Ω de bH. Identifica- remos L : H → H com a restri¸c˜ao bL|_{Re( b}_H) : Re( bH) → Re( bH).

Vejamos que bL(H+(bL)) ⊆ H+(bL), onde

H+(bL) = {x1− ix2 : x1+ ix2 ∈ H+(bL), x1, x2 ∈ H}.

De fato, seja x = x_b 1+ ix2 ∈ H+(bL), com x1 ∈ H e x2 ∈ H. Da´ı,

Lx = b_b L(x1− ix2) = Lx1− iLx2 = Lx1+ iLx2 = bLbx. Como bL_bx ∈ H+(bL), temos bLbx ∈ H+(bL), como quer´ıamos provar.

Mostremos que bL ´e definido positivo em H+(bL). Seja x ∈ Hb +(bL), onde x ∈ Hb +(bL) com x 6= 0. De (3.3.3) obtemos que hb_b L_bx,_bxi = hbLx,_b xi. Logo, como hb_b Lx,_b xi > 0,_b

hbL_bx,xi = hb_b L_bx,_bxi = hbLx,_b xi > 0._b

Analogamente, bL ´e definido negativo em H−(bL). ´E claro que Ker(bL) = Ker(bL).

Assim, se segue do Teorema 3.3.19 que

H+(bL) = H+(bL) e H−(bL) = H−(bL). (4.3.19)

Lema 4.3.20. Com as condi¸c˜oes acima,

H = Re(H+(bL)) ⊕ Re(H−(bL)) ⊕ Re(Ker(bL)),

e, al´em disso,

H+(L) = Re(H+(bL)), H−(L) = Re(H−(bL)) e Ker(L) = Re Ker(bL). (4.3.20)

Demonstra¸c˜ao. Seja x ∈ H dado. Logo, _bx = x + i0 ∈ bH. Portanto, existem _bx+ ∈

H+(bL), bx−∈ H+(bL) e xb0 ∈ Ker(bL) ´unicos tais que b x =x_b++xb−+bx0. (4.3.21) Da´ı, b x = Re_bx = Re_bx++ Rebx−+ Rebx0. (4.3.22) De (4.3.19) se segue Rex_b+ = (xb++xb+)/2 ∈ H+(bL), Rexb− = (bx−+bx−)/2 ∈ H−(bL) e Re_bx0 = (bx0+bx0)/2 ∈ Ker(bL). De (4.3.22) e da unicidade da soma (4.3.21) temos que Re_bx+=bx+, Rebx−=xb− e Rebx0 =bx0. Este fato prova que

H = Re(H+(bL)) + Re(H−(bL)) + Re(Ker(bL)).

Al´em disso, para x ∈ Re(H+(bL)),

Lx = bLRex = RebLx ∈ Re(H+(bL)).

Logo, Re(H+(bL)) ´e invariante por L. De igual forma podemos provar que Re(H−(bL))

e invariante por L. Observe que

Re(H+(bL)) = {(bx +x)/2 :b bx ∈ H+(bL)} ⊆ H+(bL) + H+(bL) = H+(bL). Consequentemente, L ´e definido positivo em Re(H+(bL)). Analogamente,

Re(H−(bL)) ⊆ H−(bL) e Re Ker(bL) ⊆ Ker(bL).

Os fatos acima mostram a decomposi¸c˜ao (4.3.20) e, al´em disso,

H+(L) = Re(H+(bL)), H−(L) = Re(H−(bL)) e Ker(L) = Re Ker(bL),

Sejam L ∈ L(H) um operador auto-adjunto em um espa¸co de Hilbert real H tal que 0 não seja ponto de acumula¸cão de σ(L). Tomemos uma curva fechada Γ que contém no seu interior o conjunto σ−(L) e no seu exterior o conjunto {0} ∩ σ+(L). Como vimos acima, P = − 1 2πi Z Γ (bL − λI)−1dλ (4.3.23) ´

e a proje¸c˜ao ortogonal sobre H−(bL). Da´ı, a restri¸c˜ao

P |_{Re b}_H : Re bH → Re bH

do operador P ´e a proje¸c˜ao ortogonal sobre ReH−(bL) = H−(L). Abusando um pouco

da nota¸cão, no caso em que H seja um espa¸co de Hilbert real, identificaremos tal restri¸cão com a proje¸cão dada em (4.3.23).

Concluiremos esta se¸cão com dois resultados que têm a ver com a continuidade das proje¸cões ortogonais. Antes disso, vejamos primeiro o seguinte lema, cuja prova se pode encontrar, por exemplo, em [15], pág. 45, Teorema 5.

Lema 4.3.21. Se f : ∆ → E é regular, onde E é um espa¸co de Banach, então, para qualquer caminho retificável Γ ⊆ ∆,

Z Γ f (λ)dλ ≤ M l, onde M = sup_{λ∈ Γ}|f (λ)| e l ´e o comprimento de Γ.

Teorema 4.3.22. Sejam J = [a, b] ⊆ R e L : J → LS(H) um caminho de operadores

auto-adjuntos. Suponhamos que exista c ∈ R tal que, para cada λ ∈ J, σ(Lλ) ⊆ (−∞, c) ∪ (c, +∞).

Ent˜ao, para λ ∈ J , a proje¸c˜ao Pλ sobre o subespa¸co espectral de Lλ correspondente a

σ(Lλ) ∩ (−∞, c) existe e, al´em disso,

P : J → LS(H)

λ 7→ Pλ

e um caminho de proje¸c˜oes ortogonais.

Demonstra¸c˜ao. ´E claro que a aplica¸c˜_{ao ϕ : J → R definida por} λ 7→ ϕ(λ) = kLλk = sup

kxk=1

e cont´ınua. J´a que J ´e compacto, existe l = max

λ∈J ϕ(λ) ∈ R.

Se segue da Proposi¸c˜ao 3.3.6 que

σ(Lλ) ⊆ [−l, l] para λ ∈ J. (4.3.24)

Agora, se c ≤ −l, ent˜ao Pλ = 0 para todo λ ∈ J, pois σ(Lλ) ∩ (−∞, c) = ∅. Neste

caso o teorema ´e claramente v´alido.

Por outro lado, suponhamos que c > l. Sejam σ1 = [ λ∈J [σ(Lλ) ∩ (−∞, c)] e σ2 = [ λ∈J [σ(Lλ) ∩ (c, +∞)].

Mostremos que c não é ponto de acumula¸cão do conjunto σ = σ1∪ σ2 = [ λ∈J [σ(Lλ) ∩ (−∞, c)] ∪ [ λ∈J [σ(Lλ) ∩ (c, +∞)] = [ λ∈J σ(Lλ).

De fato, suponhamos por absurdo que c seja ponto de acumula¸cão de σ. Assim, existe uma sequência (αn)∞n=1 contida em σ que converge a c. Pela defini¸cão de σ, existe

uma sequˆencia de operadores (Lλn)

∞

n=1 ⊆ Im L, tal que αn ∈ σ(Lλn) para todo n.

Como J ´e compacto, (Lλn)

∞

n=1 possui uma subsequˆencia convergente a Lλ ∈ Im L. Sem

perda de generalidade, podemos dar o mesmo nome a esta subsequˆencia. Vejamos que c ∈ σ(Lλ). De fato, suponhamos, novamente por absurdo, que c /∈ σ(Lλ). Ent˜ao, Lλ−cI

e invers´ıvel. Dado que o conjunto dos operadores invers´ıveis ´e aberto e (Lλn− αnI)

∞ n=1

converge a Lλ− cI, existe N ∈ N tal que Lλn− αnI ´e invers´ıvel para todo n > N. Este

fato contradiz que αn ∈ σ(Lλn) para todo n. Logo, c ∈ σ(Lλ), contradizendo nossa

hipótese que, para λ ∈ J, c /∈ σ(Lλ). Em conclusão, c não é ponto de acumula¸cão de σ.

Por outro lado, de (4.3.24) e do fato anterior se segue que existem a1, a2 ∈ R, com

−l < a1 < c < a2 < l, tais que

σ1 ⊆ B(−l, a1+ l) e σ2 ⊆ B(l, l − a2).

Consequentemente,

Γ1(t) = (−l, 0) + (a1+ l)e2πit e Γ2(t) = (l, 0) + (l − a2)e2πit, para t ∈ [0, 1],

s˜ao curvas fechadas tais que σ1 ⊆ ˚Γ1 e σ2 ⊆ ˚Γ2. Tomemos

∆1 = {(x, y) ∈ C : x < c} e ∆2 = {(x, y) ∈ C : x > c}.

Logo, σ1 ⊆ ˚Γ1 ⊆ ∆1 e σ2 ⊆ ˚Γ2 ⊆ ∆2. Definindo a aplica¸c˜ao χ : ∆1∪ ∆2 → C como

χ(z) = 1 se z ∈ ∆1 0 se z ∈ ∆2,

temos que, se λ ∈ J, Pλ = − 1 2πi Z Γ1 (Lλ − ζI)−1dζ ´

e a proje¸c˜ao ortogonal sobre o subespa¸co espectral de Lλ correspondente a σ(Lλ) ∩

(−∞, c).

Agora provemos a continuidade de P. Fixemos λ0 em J . De (1.1.1) obtemos

(Lλ0 − ζI) −1_{− (L} λ − ζI)−1 = −(Lλ0 − ζI) −1 (Lλ0 − Lλ)(Lλ− ζI) −1 para ζ ∈ Γ1. Assim, Pλ0 − Pλ = − 1 2πi Z Γ1 (Lλ0 − ζI) −1 dζ + 1 2πi Z Γ1 (Lλ− ζI)−1dζ = − 1 2πi Z Γ1 ((Lλ0 − ζI) −1_{− (L} λ− ζI)−1)dζ = 1 2πi Z Γ1 (Lλ0 − ζI) −1 (Lλ0 − Lλ)(Lλ− ζI) −1 dζ. ´

E f´acil ver que φ : J × Γ1 → L(H), definida por φ(λ, ζ) = (Lλ − ζI), ´e cont´ınua.

Portanto, do Lema 1.1.9 se segue que a aplica¸c˜ao (λ, ζ) 7→ (Lλ− ζI)−1 ´e cont´ınua em

J × Γ1, sendo composi¸cão de aplica¸cões cont´ınuas. Da´ı, como J × Γ1é compacto, existe

M > 0 tal que sup (λ, ζ)∈J ×Γ1 k(Lλ− ζI)−1k ≤ M. Assim, k(Lλ0 − ζI) −1 (Lλ0 − Lλ)(Lλ − ζI) −1_{k ≤ M}2_kL λ0 − Lλk.

Logo, se kLλ0− Lλk < ε, para qualquer ε > 0, ent˜ao, pelo Lema 4.3.21,

kPλ0 − Pλk ≤

1 2πM

2_lε,

onde l é o comprimento de Γ. Consequentemente, P é cont´ınua. Da prova do teorema anterior temos o seguinte corolário.

Corol´ario 4.3.23. A aplica¸c˜ao P : GLS(H) → L(H) que associa a cada operador L ∈

GlS(H) a proje¸c˜ao ortogonal PH−(L) sobre seu subespa¸co espectral negativo ´e cont´ınua.

Demonstra¸c˜ao. Seja L ∈ GLS(H) fixado. Assim, existe c > 0 tal que kLxk ≥ ckxk

para todo x ∈ H. Seja B(L, c/2) ⊆ GLS(H) a bola aberta com centro em L e raio c/2

e tomemos T ∈ B(L, c/2). Mostremos que, se λ ∈ R com |λ| < c/2, ent˜ao λ ∈ ρ(T ). De fato, fixemos λ ∈ R com |λ| < c/2 e z ∈ H de norma 1. Observe que

isto ´e, kT zk ≥ c/2. Consequentemente,

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