5. Amélioration du modèle : modélisation des effets cinétiques et des sous-
5.1.2. Instabilité paramétrique des ondes sonores
Lors de simulations PIC (“Particle in Cell”) [86, 87], un transfert d’énergie de la com- posante fondamentale des ondes sonores vers des composantes de grandes longueurs d’onde (des sous-harmoniques, par analogie avec les composantes de courtes longueurs d’ondes, les harmoniques, existant lorsque l’onde évolue en structures de type solitons) a été observé. Ce transfert d’énergie a montré en outre une réduction de l’énergie de la composante fondamentale au cours du temps. Expérimentalement, cette “désintégra- tion” a été observée [69, ?], montrant en particulier une désintégration vers des vecteurs d’ondes du type ks/2 où ks est le vecteur d’onde de l’onde sonore.
L’étude de la désintégration d’une onde sonore en sous-harmoniques est un problème très complexe car l’onde sonore n’est pas monochromatique (il existe au moins sa deuxième harmonique) et ainsi le système devra induire le couplage avec cette deuxième har-
monique. La relation de dispersion d’une onde sonore ωR(k) = c
sek{1/[1 + k2λ2D] +
3Ti/ZTe}1/2 (avec cse= (ZTe/Ti)1/2) ne peut satisfaire les conditions de résonance pour
un couplage à trois ondes entre une onde dite “mère”’ (ωm, km) (assimilée à la compo-
sante fondamentale de l’onde sonore), une onde basse fréquence (ω, k) et la composante Stokes (ωm− ω, km− k) du couplage entre l’onde mère et la basse fréquence. En effet, il
est impossible de trouver une solution telle que : ω(km) = ω(k) + ω(km− k) (où l’indice
“m” indique l’onde “mère”). Néanmoins lorsque les effets de dispersion sont négligeables (λD → 0), cette relation peut-être satisfaite. Mais dans ce cas, la composante anti-Stokes
(km+ k) apporte une contribution non-négligeable stabilisante qui compense la compo-
sante Stokes [86]. Les premières études faites sur la désintégration d’une onde sonore en sous-harmoniques [19] basées dans la limite d’une faible dispersion, et déterminant un taux de croissance dépendant linéairement de l’amplitude la composante fondamentale, ne prenait pas en compte la composante anti-Stokes et la génération des harmoniques de la composante mère.
5.1. Introduction : Rappels théoriques L’étude de la stabilité d’une onde acoustique ionique vis-à-vis de sa désintégration en ondes acoustiques ioniques de plus grandes longueurs d’ondes a été récemment effectuée [88] dans le cadre d’une description fluide. Les auteurs ont en particulier montré que pour étudier la stabilité d’une onde sonore il est nécessaire d’aller au-delà d’un couplage à 4 ondes (entre l’onde basse fréquence, l’onde mère et les composantes Stokes et Anti- Stokes du couplage entre l’onde basse fréquence et l’onde mère) car il faut conserver un couplage à 7 ondes avec : l’onde basse fréquence, l’onde mère, les couplages entre onde mère-onde basse fréquence, la deuxième harmonique et les couplages deuxième
harmonique-onde basse fréquence, soit les composantes suivantes : (ω, k), (ωm, km),
(ωm ± ω, km± k),(2ωm, 2km), (2ωm ± ω, 2km ± k). Nous nous intéresserons dans cette
partie à résumer les principaux résultats de cet article.
Cette étude a été faite dans le cas d’une onde mère générée par un potentiel forcé (et non par un couplage avec une onde laser) et en étendant aussi l’étude au cas où la fréquence du potentiel forcé ωm= ω(km) n’est pas exactement la fréquence satisfaisant la relation
de dispersion linéaire ωR mais où il existe un décalage entre les deux, caractérisés par
δωmis tel que ωm = ωR+ δωmis, ce décalage pouvant être provoqué comme nous l’avons
vu dans la section précédente par les effets cinétiques. En particulier, comme nous allons le voir, la présence d’un décalage de fréquence permet dans certains cas de retrouver les résultats de [19].
Un potentiel forcé de la forme Φp = 2φpcos(kmz − ωmt)p va générer des ondes so-
nores initialement de la forme δn/n = (δn/n)mcos(kmz − ωmt) où ωm, km satisfont :
ωm ≡ ω(km) = ωR(km) + δωmis où ωR satisfait la relation de dispersion donnée par :
ωR(k
m) = csekm{1/[1 + k2mλ2D] + 3Ti/ZTe}1/2. L’étude [88] a montré qu’il existait trois
branches d’instabilités possibles dépendant de la géométrie du système et de la présence ou non d’un décalage de fréquence entre la fréquence de l’onde mère et celle du potentiel forcé.
1. La branche de l’instabilité correspondant à celle rencontrée lors des expériences, appelée le Two Ion Decay, et correspondant au couplage à trois ondes étudié par [19] est l’instabilité présentant le taux de croissance γ le plus important. Ce dernier évolue linéairement en temps avec l’amplitude de la composante fondamentale, alors que pour les autres instabilités le taux de croissance évolue linéairement avec le carré de l’amplitude de la composante fondamentale. Cette instabilité (notée l’instabilité Decay H1 dans [88]) correspond au cas d’un couplage à trois ondes résonant entre l’onde mère (ωm, km) sa composante basse fréquence (ω, k) et la
composante Stokes (ωm− ω, km− k) :
ωR(km) + δωmis = ω(k) + ω(km− k)
Cette instabilité ne peut exister qu’en présence d’un décalage de fréquence po- sitif δωmis > 0 et lorsque ce décalage dépasse une valeur seuil (δω/ω)seuil ≡
(2/3)(δn/n)2/(k2
mλ2D). Pour le cas de faibles valeurs du décalage de fréquence telles
que : (δω/ω)seuil < (δω)/ω < (3/8)(kmλD)2, le vecteur d’onde excité est une fonc-
un taux de croissance donné par : γH1 ωm = r 2 3 δωmis ωm 1/2 δn n m 1 (kmλD) (5.3) où ωpi est la fréquence de plasma ionique et (δn/n)m l’amplitude de la composante
fondamentale. En 1D, le taux de croissance présente un optimum lorsque δω/ω = (δω/ω)opt(3/8)(kmλD)2 puis pour des valeurs du décalage de fréquence supérieures
à cet optimum, l’instabilité n’existe pratiquement plus en 1D. Le taux de croissance en 1D est maximisé pour un angle θopt avec un taux de croissance γopt :
θopt = r 2h δωmis ωm − 3 8(kmλD) 2i (5.4) γT ID ωm opt = 1 2 δn n m (5.5)
et avec un vecteur de l’onde excité k ≈ km/2 (on retrouve ici le fameux Two
Ion Decay-TID) (ce qui est identique aux résultats de [19], mais en présence d’un décalage de fréquence positif). En 2D, on retrouve les mêmes résultats, mais le taux de croissance ne diminue pas mais augmente avec l’amplitude de la composante fondamentale lorsque le décalage de fréquence est au-delà du décalage de fréquence optimum.
2. L’instabilité appelée Decay H2 correspond au couplage résonnant entre la deuxième
harmonique de l’onde mère et sa composante Stokes (2ωm − ω, 2km − k) et la
composante basse-fréquence (ω, k) :
2(ω(km) + δωmis) = ω(k) + ω(2km− k)
Dans cette instabilité, le taux de croissance évolue avec le carré de la composante fondamentale, et est donc inférieur au taux de croissance de l’instabilité précédente. Cette instabilité existe à la fois avec et sans décalage de fréquence et quelque soit le signe de ce dernier. Néanmoins, selon le signe de ce décalage, le taux de croissance sera maximum pour des vecteurs d’ondes différents et des angles différents. Cette instabilité présente la caractéristique de pouvoir se développer même dans le cas
d’une résonance exacte (δωmis = 0), c’est à dire dans un régime purement fluide,
sans l’addition d’effets cinétiques (via un décalage de fréquence). Dans ce dernier cas, l’instabilité présentant un taux de croissance maximum se développe pour un angle donné par : θopt = (3/2)(kmλD), et pour un vecteur d’onde k ≈ km/2. Le
taux de croissance est alors donné par : γH2 ωm = CH2 1 3(k2 mλ2D) δn n 2 m (5.6)
5.1. Introduction : Rappels théoriques 3. La troisième instabilité mise en évidence dans cette étude et pouvant elle-aussi exister dans le cas d’une résonance exacte (régime purement fluide) est l’instabi- lité modulationnelle, mettant en jeu les deux ondes Stokes et Anti-Stokes de la
composante mère (ωm±ω, km±k). Le taux de croissance maximum de l’instabilité
modulationnelle apparaît pour un angle nul, c’est à dire lorsque k⊥/km = 0 et il
est alors donné par une expression semblable à celle de l’instabilité H2 : γmod ωm = Cmod 1 3(k2 mλ2D) δn n 2 m (5.7)
avec un coefficient numérique Cmod de l’ordre de l’unité.
A partir de cette étude, il apparaît clair que la désintégration d’une onde sonore en composante de plus grandes longueurs d’onde est favorisée dans un cas 2D et en pré- sence d’un décalage de fréquence, mais qu’elle peut néanmoins exister dans un régime purement fluide (sans décalage) et dans une géométrie unidimensionnelle.
On peut, suivant [88], rassembler les résultats concernant les taux de croissance maxi- mums de l’instabilité suivant la géométrie étudiée :
Pour une géométrie 1D :
– Si le décalage de fréquence est nul (ou faible) l’instabilité présente est une instabilité modulationnelle, (avec k⊥ = 0) et un taux de croissance donné par 5.7.
– Lorsque le décalage de fréquence est négatif, l’instabilité de type decay H2 prend le dessus sur l’instabilité modulationnelle avec un taux approximativement donné par 5.6.
– Pour un décalage de fréquence positif et dans l’intervalle défini par : 2 3(kmλD)2 δn n 2 m < δωmis ωm < δωmis ωm opt ' 3 8(kmλD) 2
l’instabilité de type H1 prend le dessus sur l’instabilité modulationnelle avec le taux défini par 5.3. Néanmoins, au-delà de la valeur (δωmis/ω)opt du décalage de
fréquence, aucune instabilité ne subsiste en 1D. Pour une géométrie 2D :
– Si le décalage de fréquence est nul (régime purement fluide) ou très petit, l’insta- bilité du deuxième type (decay H2 ) se développe et présente un taux de croissance
maximum (5.6) pour un angle donné par θ = (3/2)kmλD et pour un vecteur d’onde
donnée par k ≈ km/2 et l’instabilité modulationnelle se développe pour un angle nul
k⊥ = 0 et pour des vecteurs d’ondes tels que k << km, avec un taux de croissance
défini par 5.7.
– si le décalage de fréquence est négatif, δωmis < 0, les mêmes instabilités se déve-
loppent (modulationnelle et H2) et l’instabilité H2 présente un taux de croissance supérieur avec un vecteur d’onde et un angle fonction du décalage de fréquence. – si le décalage de fréquence est positif, δωmis > 0, l’instabilité H1 (Two Ion De-
cay domine avec un taux de croissance maximum (fonction de l’amplitude de la
composante fondamentale) donné par l’expression 5.5 et au-delà de la valeur δωcut
contrairement au cas 1D, cette instabilité présente un taux de croissance maximum donné par 5.5 pour k ≈ km/2 et un angle θopt ≈
p
La présence des effets cinétiques se manifeste par un décalage de fréquence non-linéaire δωK(|δnn|) : ωnl(|δnn|) = ωR+ δωK, et la fréquence des ondes sonores est devenue non-
linéaire. Dans ce cas, la définition précédente du décalage δωmis = ωm− ωR devient :
δ ˆωmis = ωm − ωnl conduisant à redéfinir le décalage par : δ ˆωmis = δωmis − δωK. Par
conséquent, si l’on suppose que δωmis = 0, les effets cinétiques donnent un décalage de
fréquence négatif, δ ˆωmis = −δωK, et puisque l’on a : δωK = η|δn/n|1/2 selon le signe
de η, la croissance des sous-harmoniques peut-être favorisée. En particulier pour les effets cinétiques ioniques où η est négatif, le décalage devient positif et cela favorise la croissance des composantes de grandes longueurs d’ondes.