Inpainting non-local

L’inpainting est un problème fondamental en traitement d’image et est utilisé dans différents champs d’applications. On peut résumer l’inpainting comme la reconstruction d’une partie endommagée ou incomplète d’une image. Au cours 76

3.6. Expérimentations Marqueurs initiaux Local, w = s₃, Non-local, w = s₃ p = 1 .05 p = 2 p = ∞

Figure 3.3 – Segmentation interactive d’image en utilisant ∆^Nw,p. Voir le texte pour plus de détails.

des dernières années plusieurs méthodes ont été développées afin d’interpoler la géométrie, la texture, ou les deux simultanément. Parmi les méthodes qui ont été proposées, plusieurs sont basées sur les EDPs ou les méthodes variationnelles, voir [AFCS11,SB11] et les références citées. Depuis les travaux de Buades [BCM08] sur le filtrage non-local, beaucoup de méthodes non-locales pour l’inpainting d’image ont été développées. En effet ces méthodes ont une meilleure capacité à reconstruire des zones texturées que les méthodes purement locales.

Chapitre 3. p-Laplacien normalisé sur graphe pondéré

Germes Résultats

Figure 3.4 – Classification semi-supervisée de données. La figure de gauche montre un graphe construit sur un échantillon d’une base de données de chiffres manuscrits (0, 1 et 6) avec quelques germes initiaux dans chaque classe. La figure de droite montre le résultat de la classification à partir de ces germes.

Marqueurs p = 2 p = ∞

Figure 3.5 – Inpainting de texture. Voir le texte pour plus de détails. Plusieurs travaux récents sont consacrés à unifier les approches d’interpola-tion locales et non-locales [GO07]. Nous pouvons citer [AFCS11] qui a présenté un cadre variationnel pour l’inpainting non-local d’image, ou encore les travaux [GEL11] qui a présenté un cadre de régularisation discrète non-locale pour le traitement d’images et de variétés. Ce cadre a été utilisé pour présenter une approche qui unifie les méthodes géométriques locales et les méthodes non-locales basées motif pour l’inpainting vidéo non-local.

Le problème d’inpainting peut s’écrire comme le problème d’interpolation (3.80), avec : V₀ l’ensemble des pixels où l’information est manquante, g : V → 78

3.6. Expérimentations

Original p = 2, graphe local p = ∞, graphe local

Marqueurs p = 2, graphe non-local p = ∞, graphe non-local Figure 3.6 – Comparaison entre l’inpainting local et non-local, en utilisant une construction de graphe différente. Voir le texte pour plus de détails.

Original + masque p = 1.1

p = 2 p = ∞

Figure 3.7 – Inpainting d’images naturelles en utilisant une construction non-locale de graphe. Voir le texte pour plus de détails.

Chapitre 3. p-Laplacien normalisé sur graphe pondéré

R^c représente l’information connue et f : V → Rc est l’image à reconstruire. Nous illustrons le comportement de cette méthode avec les figures3.5,3.6et3.7. La première (figure3.5) montre le comportement de l’algorithme sur une image texturée, en utilisant une construction de graphe non-locale : nous utilisons ici un graphe des k plus proches voisins avec une fenêtre de voisinage de taille 31 × 31 et des patchs de tailles 15 × 15. La fonction de poids dépend de la similarité entre patchs. La figure3.6compare le comportement de l’algorithme en utilisant deux constructions de graphes : locale et non-locale. Le graphe local est un graphe de 8-connexité, le graphe non-local est construit de la même manière que pour la figure3.5. À la figure3.7 nous illustrons le comportement sur une image naturelle, en utilisant la même construction de graphe non-locale que pour la figure3.5 et en faisant varier le paramètre p de ∆N

w,p.

3.7 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons introduit une nouvelle classe de p-Laplacien normalisé. Nous l’avons présenté comme une adaptation discrète du p-Laplacien des jeux sur graphe pondéré. Cette classe d’opérateur est basée sur de nouveaux opérateurs différentiels interpolant entre le Laplacien normalisé, le 1-Laplacien et le Laplacien infini, sur graphe. Cet opérateur est aussi lié à des opérateurs statistiques non-locaux tels que les moyennes, médian et midrange non-locaux. Il généralise le p-Laplacien normalisé sur graphe pour 1 ≤ p ≤ ∞. Nous avons aussi montré les liens entre notre opérateur et certaines EDPs locales et non-locales impliquant différents opérateurs de Laplace.

Le p-Laplacien normalisé étant lié avec différents jeux stochastiques de Tug-of-War, nous avons rappelé le principe des jeux à tour aléatoire, ainsi que celui du Tug-of-War et du Tug-of-War non-local afin de faire le lien entre ces jeux et l’opérateur que nous proposons. Comme beaucoup de problèmes de traitement d’images et de données sont formulés comme des problèmes d’interpolations, nous avons étudié le problème de Dirichlet associé à notre opérateur et prouvé l’existence et l’unicité de la solution à ce problème. Nous avons étudié l’équation de diffusion impliquant cet opérateur et montré des propriétés mathématiques importantes. Enfin nous avons illustré l’intérêt et le comportement de cet opérateur à travers différents problèmes inverses en traitement d’image et en classification.

Chapitre 4

p-Laplacien et Laplacien infini

avec termes de gradient

Sommaire

4.1 Introduction . . . . 82 4.2 p-Laplacien non-local . . . . 83 4.3 Une nouvelle classe de p- et ∞- Laplacien sur graphe 84 4.3.1 Définition . . . 85 4.3.2 Connexion avec différents opérateurs différentiels . . 87 4.3.3 Relations avec certains jeux de Tug-of-War . . . 90 4.4 Équations aux différences partielles associées à

l’opérateur proposé . . . . 91 4.4.1 Équation de diffusion . . . 92 4.4.2 Problème de Dirichlet . . . 99 4.5 Application aux problèmes inverses sur graphes

pondérés . . . 102 4.5.1 Restauration et simplification d’image . . . 102 4.5.2 Contours actifs . . . 111 4.5.3 Interpolation . . . 114 4.6 Conclusion . . . 119

Chapitre 4. p-Laplacien et Laplacien infini avec termes de gradient

Publications associées à ce chapitre

[ETTar] Abderrahim Elmoataz, Matthieu Toutain et Daniel Tenbrinck : On the p-Laplacian and ∞-Laplacian on graphs

with Applications in Image and Data Processing. SIAM Journal on Imaging Sciences (SIIMS), pages 1–37, to appear.

[SET15] Ahcene Sadi, Abderrahim Elmoataz et Matthieu Toutain : Nonlocal pde morphology : a generalized shock operator on graph.

Signal, Image and Video Processing, pages 1–8, 2015.

4.1 Introduction

Le but principal de ce chapitre est d’introduire une nouvelle classe de p-Laplacien et de p-Laplacien infini sur graphes avec termes de gradients, basée sur les opérateurs aux différences partielles. Une caractéristique intéressante de la classe d’opérateur que nous proposons est le fait que l’on puisse interpoler adaptativement entre des termes qui correspondent à des filtres de diffusion non-locale et des termes liés à la morphologie mathématique non-locale. Par conséquent, en utilisant cet opérateur nous pouvons combiner les avantages des deux formulations dans un même cadre. De plus, nous pouvons montrer que la nouvelle classe de p-Laplacien et Laplacien infini sur graphe que nous proposons permet de retrouver différents schémas de discrétisation existants, dans les cas locaux et non-locaux, mais aussi que nous pouvons retrouver des formulations d’opérateurs sur graphes introduites précédemment au chapitre 2. Par conséquent, l’opérateur que nous proposons est une formulation discrète unifiée du p-Laplacien et du Laplacien infini, du p-Laplacien des jeux (pour

p = ∞), du p-Laplacien non-local, ainsi que des gradients morphologiques, sur

graphes pondérés, aussi bien pour des domaines discrets réguliers ou irréguliers. Les principales contributions de ce chapitre sont les suivantes. D’abord, nous présentons le p-Laplacien non-local dans le domaine continu, afin de compléter le passage en revue des opérateurs continus que nous avons commencé au début du chapitre 3. Nous proposons ensuite une nouvelle classe de p-Laplacien et de Laplacien infini sur graphes unifiant différents schémas de discrétisation existants, locaux ou non-locaux. La formulation que nous proposons peut notamment être exprimée comme une interpolation convexe entre deux termes de gradients directionnels. Qui plus est, dans cette représentation les coefficients pondérant les termes de gradients peuvent être choisis dynamiquement. Ceci ouvre donc la voie à des filtrages adaptatifs appliquant des effets de type diffusion non-locale ou morphologique au gré des 82