Influences des échelles

∂ t ^φαhρ_αg_αiα
∇ · φαhρ_αg_α V_αiα
−∇ ·^φ_αϕϕϕ_dα^α  φ_αg∗ α α I_{α β} G L O B A L E ∂ ∂ t ^φαhρ_αg_αiα
∇ · εα ρ_αg_αα V
−∇ · εα ϕϕϕ_dα^α
φ_αg∗ α α I_{α β}

TABLE1.1 – Écriture des termes obtenus à l’issu des prises de moyenne locale et globale

La Table 1.1 montre que la prise de moyenne des équations microscopiques sous forme in-tégrale permet de caractériser les flux macroscopiques par convection et diffusion comme des phénomènes surfaciques, conformément aux arguments avancées par Hassanizadeh et Gray.

1.2.3 Influences des échelles

Le choix du VER se conforme en général au critère de séparation des échelles afin de traiter le problème hétérogène dans des conditions similaires à celles de la modélisation des milieux continus. Ce critère porte sur la dimension caractéristique d du VER devant être suffisamment petite par rapport à la taille L du système, pour garantir la continuité des quantités macrosco-piques, mais suffisamment grande par rapport à la taille l des hétérogénéités pour que les fluc-tuations moyennes soient gouvernées par des phénomènes macroscopiques, indépendamment du nombre d’éléments microscopiques contenus dans le VER. Il existe un volume V^∗ occupé par le VER, à partir duquel les phénomènes microscopiques impactent de façon négligeable les fluctuations d’une quantité macroscopique hϕi associée (par exemple, voir Figure1.4 pour la densité de masse). Le critère de séparation des échelles³se résume donc à :

l<< d << L (1.33)

Il faut néanmoins préciser que cette propriété ne conditionne pas la validité mathématique des théorèmes de permutation impliqués dans le processus de changement d’échelle par prise de moyenne conformément aux démonstrations reprises dans l’Annexe A. En effet, seule la con-tinuité des fonctions à intégrer est requise pour permuter les opérateurs mis en jeu, et cette dernière est bien garantie par les fonctions de distributions.

3. Ce critère est analogue à l’hypothèse du milieu continu qui requiert un volume de contrôle suffisamment grand par rapport aux dimensions inter-moléculaires afin de garantir la régularité de la fonction masse volumique.

|Ω| V *

<ρ >m α

Effets microscopiques importants

FIGURE 1.4 – Dépendance de la taille du VER sur la fonction densité de masse hρmi α

La séparation des échelles a pour seul objet de garantir la dérivabilité⁴des fonctions intégrales (ou moyennes) en tout point du domaine comme le précise S. Whitaker dans un article intro-duisant la méthode de prise de moyenne :

” It should be clear that hϕi is a continuous function for any value of V, but for values of V larger than V* the volume average hϕi become smooth, and thus amenable to the type of analysis we have in mind. [...] This is an important restriction, for it must be true if the average is to be a useful quantity with which to work. ”

S. Whitaker, Advances in theory of fluid motion in porous media, 1969 [76] Le changement d’échelle par prise de moyenne est, pour cet auteur, destinée à l’étude des milieux poreux dont la disposition des hétérogénéités est spatialement aléatoire et/ou désor-donnée⁵. Néanmoins, l’application des méthodes d’homogénéisation asymptotique aux mi-lieux dits ordonnés ou périodiques, notamment par Bensoussan (1978, [5]) et Sanchez-Palencia (1980, [63]), amène à considérer la prise de moyenne pour l’étude de ces systèmes.

Milieux périodiques ou ordonnés

Pour les milieux hétérogènes et spatialement périodiques, la condition de continuité des fonc-tions macroscopiques est moins restrictives que la séparation des échelles ; le critère suivant est alors admissible :

l ∼ d << L (1.34)

La Figure1.5illustre des choix possibles de VER pour des éléments circulaires disposés pério-diquement suivant un pas carré: pour les milieux périodiques, un VER est communément appelé cellule de base. Pour de tels VER, la disposition des hétérogénéités impacte peu les fluctuations 4. Une fonction continue n’est pas nécessairement dérivable, tandis qu’une fonction dérivable est nécessaire-ment continue.

des quantités macroscopiques, cela se traduisant notamment par une fraction volumique de phase invariable en tout point du milieu.

Néanmoins, Howes et Whitaker (1985, [28]) introduisent une configuration de milieu pério-dique pour lequel la dérivabilité de la fonction intégrale et la validité du théorème de permuta-tion spatiale ne sont garantis que pour un type particulier de VER:

” In this case we have violated the condition put forth earlier that |Ωβ|(x) be continuously

differentiable, thus the averaging theorem derived in the previous section fails but only over a countable set of points of Lebesque measure zero ”

F.A. Howes et S. Whitaker, The spatial averaging theorem revisited, 1985 [28] Cette analyse permet de répondre à Veverka (1981, [73]), questionnant la rigueur mathématique des permutations entre dérivée spatiale et intégrale volumique: Howes et Whitaker affirment que l’existence possible de conditions pour lesquelles la dérivée ne serait pas définie en un nombre fini de points ne remet pas en cause la validité du théorème de permutation spatiale ; d’autant que le type de VER retenu est, en général, en faveur d’une fonction intégrale continûment dérivable dans l’espace.

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FIGURE1.5 – Choix possibles de cellules de base pour un milieu périodique

Notion de moyenne cellulaire

En 1994, Quintard et Whitaker [55,56] reviennent sur l’application de la moyenne volumique pour les cas particuliers de milieux poreux périodiques dont l’écoulement est stationnaire, véri-fiant l’approximation de Stokes. Pour une telle configuration, la prise de moyenne volumique, basée sur un VER vérifiant la condition l ∼ d, ne permet pas de retrouver la loi de Darcy6:

” This result is obviously inconsistent with Darcy’s law, and tells us that the intrinsic phase average pressure defined by Equation (1.4) [the one derived from the volume averaging] is not the correct pressure to be used with ordered or spacially periodic porous media.”

M. Quintard et S. Whitaker, Transport in Ordered and Disordered Porous Media I, 1994 [55]

Ils montrent que l’application d’un opérateur supplémentaire, dit de moyenne cellulaire, permet de retrouver la loi de Darcy attendue pour cette configuration. Cette moyenne dite cellulaire représente en fait une moyenne locale sur un volume d’intégration correspondant à une cellule de base du milieu périodique.

Avec l’intention de développer une méthode "généralisée", ils proposent d’introduire des fonctions poids (ou weighting functions) dans le processus de moyenne. Ils étudient cette al-ternative pour le cas particulier d’un écoulement traversant un milieu périodique, vérifiant l’ap-proximation de Stokes. Cependant, la prise en compte d’une fonction poids dans la procédure de prise de moyenne locale représente une alternative manifestement efficace pour le cadre par-ticulier des études de Quintard et Whitaker [55,56], et ne fait pas l’objet d’une démonstration permettant d’en généraliser l’utilisation.