Influence des param`etres des sources de protons sur les flux de

R´esum´e : Mise au point d’un cadre g´en´eral et (quasi)universel de propagation (photons, protons, noyaux, neutrinos) permettant l’exploration de mod`eles complets, v´eritablement multi-messagers, en tenant compte de l’ensemble des contraintes des diff´erentes « astronomies ». Description du d´eveloppement entier du code de propa- gation de cascades ´electromagn´etiques utilis´e pour cela, et son int´egration dans un code existant de propagation de RCUHEs.

Dans le pr´esent chapitre, nous traiterons tout d’abord des photons secondaires1 _ob-

tenus lors de la propagation des RCUHEs. C’est une nouvelle observable puisqu’elle s’´etale jusqu’aux ´energies inf´erieures au TeV. Ensuite, en deuxi`eme partie, nous discu- terons de la production des multi-messagers (photons et neutrinos) et des flux obtenus pour les mod`eles astrophysiques d´evelopp´es au chapitre II. Nous mettrons en exergue l’apport crucial des multi-messagers en vue de la construction (encore pr´eliminaire) d’un mod`ele global de concordance (voir9 `a la fin de cette th`ese).

L’observation de gerbes de RCUHEs aux ´energies sup´erieures `a 1020 _{eV expose tout}

un myst`ere qui prend racine dans les processus physiques et astrophysiques capables d’acc´el´erer des particules `a de telles ´energies. L’observation de hadrons est maintenant fermement admise dans l’ensemble de la communaut´e. N´eanmoins, comme nous l’avons vu au chapitre pr´ec´edent, la pr´esence de photons `a ces ´energies repr´esenterait une cl´e de grande valeur pour ouvrir une nouvelle fenˆetre astrophysique. On pourrait alors remon- ter `a leur origine, soit au travers de sc´enarios bottom-up (ils seraient essentiellement les produits des d´esint´egrations des pions neutres et des cascades d’´electrons cr´e´es lors de la propagation des RCUHEs hadroniques), ou bien au travers de sc´enarios top-down, plus exotiques (ils seraient le produit de d´esint´egration de particules supermassives). Dans tous les cas, leur d´etection par Auger est possible, et leur ph´enom´enologie `a notre port´ee.

Puisque les sc´enarios bottom-up sont favoris´es depuis quelques ann´ees et surtout de- puis les premi`eres donn´ees d’Auger2_{, nous souhaitons ´etudier finement leur ph´enom´enologie}

dans le cadre de ces sc´enarios. Comme par ailleurs, nous avons mis en avant des sc´enarios astrophysiques de composition et acc´el´eration satisfaisants (capables d’ajuster les donn´ees des spectres d’´energie et de masse) dans le chapitre 3, il est essentiel de i) v´erifier les flux de photons secondaires d’ultra-haute ´energie attendus dans le cadre de ces sc´enarios ii) connaˆıtre le spectre d’´energie des photons secondaires `a la Terre pour n’importe quel mod`ele de source iii) ´etudier leur flux jusqu’aux ´energies de Fermi et CTA (Gev-TeV) iv) utiliser le code de propagation de photons pour ´etudier leur production dans l’environnement des sources.

L’ensemble de ces points peut-ˆetre motiv´e par les deux autres points suppl´ementaires suivants : les photons peuvent engendrer des cascades ´electromagn´etiques (EM) en se propageant. Les ´electrons produits lors d’une cr´eation de paire peuvent booster des photons du fond, et leur transmettre plus de 99% de leur impulsion. Cet effet aug-

1_{C’est pour cette raison que ce chapitre est inclus dans la partie III des multi-messagers.}

2_{Les limites sur les flux de photons (les anisotropies aussi) ont ´et´e les principaux indices conduisant}

`

a exclure les mod`eles top-down comme sc´enarios fournissant la majeure partie des RCUHEs. On ne peut toutefois exclure qu’ils participent partiellement au flux total.

mente consid´erablement la distance effective d’att´enuation (E/(dE/dx), o`u x est la distance parcourue) des photons qui cascadent[93]. Autre point, la propagation des photons UHE souffre d’incertitudes sur l’intensit´e du fond radio universel et le spectre du champ magn´etique extragalactique (EGMF, voir 6.1.2 et [93]). On pourra donc esp´erer contraindre ces inconnues `a l’aide d’un outil global et complet de propagation qui, prenant en compte l’ensemble de la ph´enom´enologie des RCUHEs (depuis la source jusqu’`a la Terre, avec les flux des secondaires), peut permettre d’estimer l’´epaisseur op- tique effective de l’Univers depuis les sources. Ceci pourrait permettre de contraindre mieux les fonds de photons et particuli`erement le fond radio3 _[94,95].

5.1

Cr´eation et propagation des photons ultra-´energ´etiques

Nous avons vu l’importance de maˆıtriser un outil complet de propagation de RCUHEs. J’ai eu l’opportunit´e de d´evelopper l’outil de propagation de photon qui est maintenant coupl´e au code principal de propagation des noyaux. Je vais expliciter dans les prochains paragraphes la ph´enom´enologie et le traitement num´erique des photons, ou plutˆot des cascades EM.

Le mod`ele d’Univers utilis´e est celui d’un univers domin´e par l’´energie sombre (constante cosmologique) et la mati`ere non-rayonnante :

ΩΛ= 0.7

Ωm = 0.3

On peut voir sur la figure 5.1 l’´evolution de la distance en fonction du redshift dans notre mod`ele.

5.1.1

Champ magn´etique et fonds de photons

Les cascades EM interagissent avec le fond de photon universel et le champ magn´etique extragalactique (EGMF). Le fond dominant est bien sˆur le CMB, mais les fonds radio et infrarouge-optique (IR-O) jouent aussi un rˆole non n´egligeable aux ´energies consid´er´ees (de 109 _{eV `a 10}24 _{eV). Les photons primaires d’´energie E peuvent ˆetre absorb´es par}

cr´eation de paire avec un photon du fond d’´energie � si E ≥ Eth= m2 e � = 2.611 × 10 11� � 1 eV �−1 (5.1)

3_{C’est le fond radio qui est le moins bien contraint car il repose sur l’´evolution des sources radio,}

Fig. <sub>5.1 – Distance en fonction du redshift pour le mod`ele d’univers utilis´e dans notre</sub> code. `A un redshift donn´e z, si l’on divise la distance correspondante par la c´el´erit´e c, on obtient le temps qu’aurait mis un photon parti `a z pour parvenir `a la Terre.

avec c = ¯_{h = 1. Pour un photon typique du CMB (� ∼ 10}−3 _{eV, voir 3.1), le seuil est}

donc Eth ∼ 3.1014 eV, alors que pour un photon typique du fond radio (� ∼ 10−8 eV),

le seuil est de ∼ 3.1019 _{eV. Par ailleurs, la section efficace de production de paire (PP)}

pique vers le seuil, ce qui fait qu’`a ces ´energies, la PP sur les photons du fond radio domine par rapport `a la PP sur les photons du CMB, bien que ces derniers soient bien plus denses.

Tous les fonds, et le champ magn´etique, ´evoluent avec le redshift. En ce qui concerne le CMB, c’est un fond primordial form´e `a un redshift tr`es ´elev´e, qui n’a ensuite plus ´et´e aliment´e, et n’a fait que se refroidir. Il ´evolue donc trivialement,

ncmb(z, E) = 4π. dn dE � � � � z = ncmb(z0, E(1 + z)) × (1 + z)3 (5.2)

o`u ncmb(z, E) est la densit´e du fond `a une ´energie E pour un redshift z. ´Etant isotrope,

on l’int`egre sur les angles solides, d’o`u le facteur 4π.

Pour le fond infrarouge/optique/UV, (IR-Opt-UV), nous avons choisi de ne pas le param´etrer. J’utilise les derni`eres valeurs donn´ees par F. W. Stecker et al dans [96], corrig´ees dans [97]. Leur ´etude utilise les donn´ees de CGRO (Compton Gamma-Ray Observatory) et COBE (Cosmic Background Explorer) pour calculer le fond infrarouge et mod´eliser son ´evolution, jusqu’`a des redshifts ´elev´es et des ´energies de 10−2.5 _{`a 13.6}

eV (coupure de Lyman). D’autre part, F. W. Stecker utilise le mˆeme mod`ele d’Univers que nous (0.7/0.3).

On utilise donc les tables donnant la densit´e du fond IR-O en fonction de l’´energie et du redshift dont on peut voir quelques courbes sur la figure 3.1 du chapitre II.

Fig. _{5.2 – Densit´e comobile du fond radio en fonction du redshift z utilis´ee dans notre} mod`ele.

Le fond radio est plus controvers´e car assez m´econnu. On se bornera `a donner le trac´e de son ´evolution sur la figure5.2, tir´e de [98] qui utilise le spectre donn´e par [95]. On trouvera le trac´e des spectres d’intensit´e des diff´erents fonds utilis´es dans mon code `a z = 0 sur la figure5.3. Les autres fonds (CXB, gamma etc.) n’interviennent pas, car leur effet est appr´eciable `a des ´energies bien inf´erieures au GeV et leur densit´e est de toute fa¸con trop faible.

Concernant les pertes synchrotron, nous utilisons la formule classique[99] dE dt = − 4 3σT B2 8π �qm_e m �4� E me �2 (5.3) ce qui nous donne le taux de perte d’´energie β :

β _{= −}1 E dE dt = 4 3σT B2 8π �qm_e m �4� E me � (5.4) et la longueur de pertes d’´energie associ´ee :

¯ λsync =

cE

Fig. <sub>5.3 – Spectre d’intensit´e (� × n(�) o`u � est l’´energie du photon et n(�) sa densit´e)</sub> des trois fonds consid´er´es ici, `a un redshift z = 0. En noir : fond radio, en bleu : cmb, en rouge : infrarouge-optique-UV (IR-O-UV).

qui nous permettra de d´efinir un libre parcours moyen « effectif » pour le traitement num´erique (voir5.1.4).

Les pertes synchrotron influencent la composante ´electronique de la cascade EM principalement aux plus hautes ´energies (≥ 1021 _eV).

Les d´eflexions sont aussi un facteur important `a surveiller lors de la propagation des cascades. L’approximation d’une propagation rectiligne (Straight Line Propagation, SLP) devient erron´ee si le rayon de giration des ´electrons devient de l’ordre de leur distance `a la Terre. En dehors de ce cas, l’approximation est tout `a fait satisfaisante. Dans le cas de champs assez faibles de 10−11 _{G, le rayon de giration est sup´erieur}

`a 100 Mpc pour des ´energies sup´erieures `a 1020.8 _{eV. N´eanmoins, nous consid´erons}

parfois la propagation `a des ´energies sup´erieures (nous nous limitons pour l’instant `a des champs faibles), et ceci peut rendre l’approximation obsol`ete. Mais si les sources sont distribu´ees de mani`ere homog`ene et isotrope, l’effet des d´eflexions sur le spectre final est n´egligeable. Puisque ce sont surtout les spectres `a la Terre qui nous int´eressent et que nos sources sont effectivement distribu´ees de mani`ere homog`ene, nous utiliserons l’approximation SLP4_.

5.1.2

Processus mis en jeu

La propagation des cascades EM ne peut ˆetre trait´ee de fa¸con continue, o`u l’on n´eglige les particules autres que la particule principale (“leading particle“). Le code d´evelopp´e par [98] ne pouvait pas non plus traiter toute la cascade par Monte-Carlo (MC) de par le nombre colossal de particules, qui explose rapidement apr`es quelques pas d’interaction. Les auteurs de [98] ont plutˆot utilis´e des ´equations de transport, qui offrent un bon compromis efficacit´e/pr´ecision. En revanche, les machines actuelles permettent raisonnablement (et surtout les grilles de calcul europ´eennes) d’effectuer des MC complets. C’est ce que nous faisons dans notre code.

Par souci p´edagogique, nous allons tout de mˆeme pr´esenter rapidement les ´equations de transport pertinentes pour le d´eveloppement des cascades EM.

On ´ecrit l’´equation de transport[98] pour les ´electrons de la cascade, qui inclut la production de paire (PP) et l’effet Compton inverse (ICS) :

d dtNe(Ee, t) = −Ne(Ee, t) � d� n(�, t) × � dµ1 − βeµ 2 σICS(Ee, �, µ) + � dE� eNe(Ee�, t) � d� n(�, t) × � dµ1 − β � eµ 2 dσICS dEe (Ee; Ee�, �, µ) + � dEγNγ(Eγ, t) � d� n(�, t) × � dµ1 − µ 2 dσP P dEe (Ee; Eγ, �, µ) +Q(Ee, t) (5.6)

o`u <sub>dt</sub>dNe(Ee, t) est la densit´e diff´erentielle d’´electrons `a l’´energie Eeau temps t, n(�, t) est

la densit´e des photons du fond d’´energie � au temps t, Q(Ee, t) est un terme de source

externe d’´electrons d’´energie Ee au temps t, µ est le cosinus de l’angle d’interaction

entre l’´electron et le photon du fond (µ = -1 pour une collision frontale) et βe est la

v´elocit´e de l’´electron. Les termes d´ecrivent la perte des ´electrons par ICS, l’apport des ´electrons diffus´es par ICS dans un bin d’´energie E�

e, l’apport des ´electrons produits par

la PP et l’injection externe. Le facteur 1−µ₂ est un facteur de flux dont on explicitera l’origine dans5.1.3.

Cette ´equation est ensuite discr´etis´ee et r´esolue num´eriquement par it´erations `a l’aide d’un sch´ema implicite[98, 100].

Les processus PP et ICS sont les deux interactions majeures qui dominent le d´eveloppement d’une cascade EM entre 1010 _{eV et 10}20 _{eV. Dans le r´egime extrˆeme de Klein-Nishina}

o`_{u s � m}2

e, lors d’une PP par un photon initial, un des ´electrons5 de la paire ´electron-

positron produite emporte typiquement presque toute l’´energie initiale totale. L’´electron de haute ´energie ainsi produit subit ensuite une ICS dont l’in´elasticit´e `a haute ´energie d´epasse les 90%. Donc l’´electron redonne son ´energie au photon du fond qui est boost´e `a une ´energie proche de celle du photon initial. Ce cycle de cascade r´eduit consid´erablement l’att´enuation de l’´energie du photon. L`a encore, si le champ magn´etique est fort, le taux des pertes synchrotrons va dominer le taux de l’ICS, et l’´electron va perdre beaucoup d’´energie avant de booster le photon du fond, ce qui a pour effet de supprimer notable- ment le d´eveloppement de la cascade.

Nous allons exposer les diff´erents processus intervenant dans le d´eveloppement des cascades EM. On trouvera le trac´e de leur section efficace totale d’interaction sur la figure5.4.

Production de paire (PP)

La section efficace totale pour la PP (γγb → e−e+) est bien connue[83] et donn´ee

par : σP P = σT 3 16(1 − β 2₎ � 3 − β4ln1 + β 1 − β − 2β(2 − β 2₎ � (5.7) o`_{u β = (1 − 4m}2

e/s)1/2 est la v´elocit´e de l’´electron dans le CMS (centre de masse).

On n´eglige la d´ependance azimutale (pour la particule sortante) de la section efficace, inf´erieure de plus de 11 ordres de grandeur au terme du premier ordre. La section efficace permet de calculer les libres parcours moyens lors de la propagation. Pour connaˆıtre le spectre des ´electrons produits par la PP, on utilise l’expression de la section efficace diff´erentielle pour un photon d’´energie Eγ qui produit un ´electron d’´energie Ee� :

dσP P dE� e = σT 3 4 m2 e s 1 Eγ � E� e Eγ− Ee� +Eγ− E � e E� e +Eγ(1 − β2) � 1 E� e + 1 Eγ− Ee� � −E 2 γ(1 − β2)2 4 � 1 E� e + 1 Eγ− Ee� �2� (5.8) o`<sub>u les valeurs sont r´eduites `a l’intervalle (1 − β)/2 ≤ E</sub>�

e/Eγ ≤ (1 + β)/2. La section

efficace diff´erentielle pour l’´energie du positron est identique par sym´etrie.

Production d’une double paire

(γγb → e−e+e−e+) est un processus de QED du second ordre qui affecte les photons

d’UHE. Sa section efficace totale augmente pr`es du seuil et sature tr`es rapidement vers sa valeur asymptotique σ(inf) � 6.45µb[101]. Pour une DPP avec un photon du CMB, le taux d’interaction devient comparable `a la PP au-del`a de ∼ 1021 _{eV. Pour}

les photons du fond radio, cette ´energie est encore sup´erieure, mais pour les photons IR-O-UV, le seuil est plus bas mais leur densit´e trop faible les condamnent `a faire de la DPP un processus toujours sous-dominant en dessous de 1021 _{eV. On ne peut toutefois}

la n´egliger car elle permet d’alimenter efficacement en ´electrons les basses ´energies, et influe sur les premi`eres ´etapes du d´eveloppement de la cascade au-del`a de cette ´energie. La section efficace diff´erentielle (qui permet d’avoir le spectre des ´electrons pro- duits) peut ˆetre obtenue analytiquement par des calculs de QED du second ordre, mais il n’existe pas de consensus sur son expression finale6_{. Heureusement, la DPP n’est}

pas un processus dominant dans le d´eveloppement des cascades et une approxima- tion (raisonnable) est utilis´ee[98, 101]. On consid`ere qu’une des deux paires emporte toute l’´energie initiale et que cette derni`ere est partag´ee ´equitablement entre les deux ´electrons.

Diffusion Compton inverse

La diffusion inverse Compton (eγb → eγ) est le processus dominant affectant les

´electrons de la cascade, sur la majeure partie des ´energies consid´er´ees ici. La section efficace totale est bien connue, donn´ee par la formule de Klein-Nishina :

σICS = σT 3 8 m2 e sβ � 2 β(1 + β)(2 + 2β − β 2 − 2β3) −_β1₂(2 − 3β2− β3) ln 1 + β 1 − β � , (5.9) o`_{u β = (s − m}2

e)/(s + m2e) est la v´elocit´e de l’´electron sortant dans le CMS. Notons que

pour s ≤ m2

e, σICS tend vers σT constante, et l’on entre alors dans le r´egime Thomson,

o`u l’´electron diffuse isotropiquement sur les photons du fond7<sub>. `A l’inverse, dans le r´egime</sub>

extrˆeme de Klein-Nishina (s � m2

e), l’´electron donne typiquement plus de 90% de son

´energie au photon boost´e.

La section efficace diff´erentielle pour un ´electron d’´energie Eede produire un ´electron

d’´energie E�

e est donn´ee par[102]

6

Il est difficile de quantifier certains effets de seuil et d’´ecrantage quantique, ainsi que les erreurs associ´ees. C’est pourquoi, l’expression analytique fait d´ebat.

7_{Voir la section5.1.1}

dσICS dE� e = σT 3 8 m2 e s 1 Ee 1 + β β � E� e Ee + Ee E� e + 2(1 − β) β � 1 −E_Ee� e � +(1 − β) 2 β2 � 1 −Ee E� e �� , (5.10)

o`<sub>u les ´energies sont restreintes `a (1 − β)/(1 + β) ≤ E</sub>�

e/Ee ≤ 1.

Production de triplet

La production de triplet (o`u production de paire en triplet, ou TPP) eγb → ee−e+

est un processus significatif pour les ´electrons d’UHE. La section efficace de la TPP devient comparable `a celle de l’ICS d`es 1017 _{eV, mais l’in´elasticit´e tr`es faible de la}

r´eaction (≤ 10−3_{) ne la rend dominante qu’aux ultra-hautes ´energies. N´eanmoins, c’est}

un processus qui aliment les basses ´energies et ne peut ˆetre ignor´e dans un traitement complet. La TPP est trait´ee en d´etail dans [103,104] et l’expression de sa section efficace totale est donn´ee par :

σT P P = σT 3 8 α π � 28 9 ln s m2 e − 218 27 � (s � m2e), (5.11)

o`u α est la constante de structure fine. En ce qui concerne les sections efficaces diff´erentielles, on a les expressions exactes dans [103,104]. Mais les fonctions donn´ees sont extrˆemement ardues et lourdes `a calculer num´eriquement. D’autre part, certaines valeurs des variables introduites dans ces expressions deviennent tr`es grandes ou tr`es petites, ce qui pose des probl`emes num´eriques de pr´ecision infernaux. Heureusement, le comportement d´etaill´e de la TPP pr`es du seuil est assez inutile puisque la TPP est domin´ee par l’ICS pr`es du seuil. Nous allons donc utiliser une approximation donn´ee dans [98] qui est excellente loin du seuil (s � m2

e), en modifiant un peu les expression avec le raffinement apport´e

par [105]. L’in´elasticit´e loin du seuil peut ˆetre approch´ee par[105] : η_{(S) ∝} 0.195 ln 2 (2S) S , (5.12) o`u S est un param`etre, S = Ee�(1 − βcosθ)) (5.13)

o`u Ee est l’´energie (dans le r´ef´erentiel du laboratoire) de l’´electron incident et β sa

un param`etre et ne doit pas ˆetre confondu avec l’´energie du centre de masse8_.

Le raffinement propos´e par [105] aux expressions de [98] a tendance `a augmenter l’´energie du seuil o`u la TPP devient dominante par rapport `a l’ICS, car il donne une in´elasticit´e plus petite en g´en´eral pour la r´eaction. On obtient donc l’´energie totale qui est transmise `a la paire cr´e´ee :

Ee+_e− = E_e× η(S) (5.14)

On peut ensuite avoir l’´energie de l’une des particules de la paire (on choisit par exemple arbitrairement le positron) en la tirant d’une loi de puissance[98] :

dσ dE�

+ ∝ E � −7/4

+ . (5.15)

Bien entendu, nous avons besoin des bornes Emin

+ et E+max pour effectuer le tirage.

Celui-ci se fait tout simplement `a partir d’une variable al´eatoire uniforme (entre 0 et 1) U :

E+=�U.(E+min)1−α+ (1 − U).(E+max)1−α

�_1−α1

, (5.16) o`u Emin

+ est l’´energie minimale du positron et E+max son ´energie maximale, donn´ees

par[103, 105] :

E₊min = Etot(S − 1) − ptot�[S(S − 4)] 1 + 2S

Emax + =

Etot(S − 1) + ptot�[S(S − 4)]

1 + 2S , (5.17) avec S le param`etre d´efini par 5.13 et ptot la norme de l’impulsion vectorielle initiale

totale : ptot = � � �p�e−+ �k � � � � |p�e−| � Ee � Etot (5.18) car aux ´energies consid´er´ees ici, l’´energie initiale totale est presque enti`erement contenue dans l’´electron d’´energie Ee ultra-relativiste (donc Ee ∼ pe−), dont l’impulsion est tr`es

8

Cependant, comme ces calculs sont valides loin du seuil, s � m2

e, on a S � s o`u s est l’´energie du

Fig. _{5.4 – Sections efficaces totales des trois principaux processus intervenant dans les} cascades EM.

grande devant celle du photon du fond d’impulsion |�k|. Donc ptot � Etot, et

E+min = Etot(S − 1) − Etot�[S(S − 4)] 1 + 2S Emax + = Etot(S − 1) + Etot�[S(S − 4)] 1 + 2S . (5.19) Connaissant S, c’est-`a-dire connaissant l’angle d’interaction, l’´energie de l’´electron incident et celle du photon du fond, on peut donc enti`erement d´efinir les ´energies des particules sortantes de la TPP. On obtient en effet l’´energie de l’´electron de la paire E−

par

E−= Ee+_e−− E₊ (5.20)

et celle de l’´electron sortant (qui n’appartient pas `a la paire) par

E_eout _{� E}e− E−− E+. (5.21)

Pertes dues `a l’expansion de l’Univers

Lors de leur propagation, les particules de la cascade EM (tout comme les photons du fond) subissent les pertes continues dues `a l’expansion de l’Univers, dites (par abus de langage) pertes adiabatiques. On a explicit´e le type d’Univers utilis´e dans notre code dans5.1. On va donner ici le taux de pertes d’´energie qui y est associ´e ainsi que la longueur de pertes. Ces quantit´es nous seront tr`es utiles lors du traitement num´erique, en particulier pour d´efinir des « longueurs de libre parcours moyen » effectives.

Le taux de pertes d’´energie s’´ecrit : βexp =

E 1 + z ×

dz

dt, (5.22) et la longueur de perte d’´energie :

¯

λexp = λlossexp =

cE βexp

= c(1 + z)dt

dz, (5.23) o`u <sub>dz</sub>dt d´epend du mod`ele d’Univers. Dans le mod`ele que l’on utilise (FRW), on a[106]

dt

dz = (H0(1 + z)E(z))

Dans le document Étude multi-messagers et phénoménologie des sources de rayons cosmiques d'ultra-haute énergie : l'éclairage de l'Observatoire Pierre Auger (Page 135-179)