Nous avons montré l’influence du contre-écoulement sur les ondes 2D : nos résul-tats viennent confirmer les tendances obtenues par plusieurs études numériques récentes sur l’instabilité primaire du film et les ondes non linéaires. Nous avons mis en évidence également l’apparition d’une instabilité sous-harmonique 2D des ondes solitaires. Nous étudions maintenant l’influence du contre-écoulement sur les instabilités secondaires 3D de ces ondes. En particulier, nous allons voir comment sont modifiés les domaines d’exis-tence des modes 3D présentés au chapitre 3 : mode capillaire dans un premier temps, puis mode inertiel. Ces aspects ne sont mentionnés dans aucune étude de la littérature : nous nous basons donc sur nos analyses et résultats obtenus en l’absence de contre-écoulement.
4.4.1 Mode capillaire
L’effet du contre-écoulement sur le mode 3D capillaire est représenté sur la fig-ure 4.16. Ce dernier apparaît stabilisé lorsque la vitesse UG augmente. Le seuil d’in-stabilité R3Dc croît avec UG comme le montre la figure 4.16a et passe d’environ 50 sans contre-écoulement à 65 pour UG = 5 m/s (β = 5◦, f = 2.9 Hz). Pour la majorité de nos expériences, le nombre de Reynolds est inférieur à 60 : les modulations transverses capillaires ont donc disparu pour UGde l’ordre de 6 à 7 m/s (figures 4.16b et 4.16c).
L’explication de ce phénomène est assez simple compte-tenu des résultats du chapitre 3 et de la partie précédente. En effet, le développement du mode 3D capillaire est di-rectement lié à l’amplitude des ondes capillaires (plus précisément à leur courbure). Or, l’étude de l’effet du contre-écoulement sur les profils d’ondes 2D a montré une diminu-tion de l’amplitude et du nombre d’ondes capillaires lorsque UGaugmente (car la vitesse de phase diminue). Cela explique par conséquent cette stabilisation.
0 1 2 3 4 5 6 40 45 50 55 60 65 70 U G (m/s) Rc 3D (a) (b) (c)
Figure 4.16 – Influence de la vitesse du gaz UG sur le mode 3D capillaire. (a) : Seuil d’instabilité R3Dc en fonction de UG (β = 5◦, f = 2.9 Hz). (b) : Mode 3D capillaire instable pour UG = 0 m/s. (c) : Mode
3D capillaire stable pour UG = 7 m/s. Les paramètres expérimentaux relatifs aux deux visualisations par
ombroscopie sont : β=9◦, RL=46, f =3 Hz, canal e=52 mm, taille réelle des images : 4.9 × 8.0 cm.
4.4.2 Mode inertiel
Nous étudions ici l’influence du contre-écoulement sur le développement du mode 3D inertiel. Comme discuté au chapitre 3, celui-ci modifie profondément la structure des ondes au contraire du mode capillaire qui sature rapidement. Il est donc crucial d’étudier comment sont modifiées les conditions d’apparition de celui-ci avec le contre-écoulement. La figure 4.17a montre des visualisations par ombroscopie obtenues à β= 9◦ pour trois valeurs croissantes de UG, tous les autres paramètres fixés par ailleurs. Le mode inertiel, stable pour UG = 0 m/s, devient instable pour UG = 3.7 m/s et apparaît très amplifié à
UG = 7 m/s. La longueur d’onde de l’instabilité est de l’ordre de 10 à 15 cm et décroît lorsque UGaugmente. Les fronts d’onde sont encore bien séparés les uns des autres pour la valeur intermédiaire de UG(écoulement pseudo-2D) ce qui n’est plus le cas pour UG= 7 m/s (écoulement 3D). Il est intéressant également de constater que des modulations secondaires apparaissent sur les « bras » des structures ainsi formées. Cela confère aux ondes 3D une structure en pyramide plutôt qu’en Λ. Cette structure est propre aux cas où la longueur d’onde transverse est grande et le taux de croissance de l’instabilité est faible.
0 m/s 7 m/s 3.7 m/s (a) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 t ( s ) ∂t t h (m / s 2) UG= 5. 5 m /s 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 t ( s ) ∂t t h (m / s 2) UG= 3. 9 m /s 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 t ( s ) ∂t t h (m / s 2) UG= 0 m /s (b)
Figure 4.17 – Influence de la vitesse du contre-écoulement UGsur le mode 3D inertiel. (a) : Visualisations par ombroscopie du développement du mode 3D inertiel (β = 9◦, RL = 46, f = 3 Hz, canal e = 52
mm, taille réelle des images : 38.7× 32.6 cm, vitesses UG indiquées sur les images). Pour UG =7 m/s :
FrG,L =93. (b) : Profils 2D CCI de l’accélération absolue de la surface libre ∂tth en fonction du temps. Les paramètres expérimentaux sont : β=5◦, RL =45, f =3.05 Hz, canal e=18 mm.
Comment expliquer cette amplification du mode inertiel avec le contre-écoulement ? Pour rappel, nous avons associé ce mode à un mécanisme type Rayleigh-Taylor et écrit la condition d’instabilité suivante (voir chapitre 3) :
c2d
2h
dξ2 +g cos β+g sin βdh
dξ <0 . (4.3)
Le troisième terme est négligeable et le second terme varie peu dans la plage d’angles d’inclinaison étudiée. L’instabilité dépend donc principalement du premier terme qui
cor-respond à l’accélération absolue de la surface libre ∂tth. Il est difficile expérimentalement
de vérifier la validité de la condition 4.3. Dès lors que celle-ci est vérifiée (régime insta-ble), l’évolution 3D des ondes est rapide et la mesure de profils par la méthode CCI n’est alors plus pertinente. Cependant, nous pouvons étudier comment varie la quantité ∂tth en
fonction de la vitesse du contre-écoulement dans le régime de stabilité du mode inertiel (β=5◦). La figure 4.17b représente les données de la figure 4.10b en terme de cette cour-bure des profils temporels. Un comportement non trivial est ainsi mis en évidence. Les valeurs des extrema de ∂tth augmentent d’abord avec UGpuis diminuent. Cela s’explique compte-tenu des variations de la vitesse c et de l’amplitude des ondes hmax avec UG (fig-ure 4.11). Dans un premier temps (régime 1), c ethhivarient assez peu mais l’amplitude de la crête hmax croît : il est logique par conséquent d’observer une augmentation de ∂tth.
Dans un second temps (régime 2), hmax continue d’augmenter mais la vitesse c décroît maintenant de manière importante : cela entraîne une diminution de ∂tth. Nous pouvons
ainsi extrapoler ce raisonnement à des valeurs plus élevées de β. La condition d’instabil-ité 4.3 est alors satisfaite dans le régime 1 et les ondes deviennent 3D (le régime 2 n’est jamais atteint).
(a) (b)
(c) (d)
Figure 4.18 – Influence du contre-écoulement sur le développement des solitons 3D. Les paramètres
expéri-mentaux sont : β= 15◦, RL =72, f = 5 Hz. La vitesse UG associée aux différentes images vérifie : UG (4.18a) = 0 m/s < UG (4.18b) < UG (4.18c) < UG (4.18d) = 9.4 m/s. Pour UG = 9.4 m/s : FrG,L = 94.
La fenêtre d’aquisition mesure 13.7× 13.7 cm ; elle est centrée selon l’axe central du canal et débute à une
distance de 60 cm de l’entrée du liquide. Les valeurs de hauteur ne sont pas données ici (elles sont sans doute surestimées par la méthode Schlieren dans ces cas extrêmes).
Enfin, nous montrons l’effet du contre-écoulement d’air dans un cas très incliné (β = 15◦). Les ondes sont alors fortement 3D ce qui justifie d’utiliser la technique Schlieren. La figure 4.18 est constituée de quatre cartes d’épaisseur représentatives de la topologie de la surface libre lorsque UG augmente de 0 m/s à 9.4 m/s. La valeur élevée du nombre de Reynolds du liquide (RL = 72) implique que les deux modes d’instabilité 3D sont instables sans contre-écoulement (figure 4.18a). Comme observé précédemment, les fronts d’onde restent séparés les uns des autres dans un premier temps (figure 4.18b). Dans un second temps, les solitons 3D se détachent et deviennent des structures indépendantes (figures 4.18c et 4.18d). Leur amplitude et leur nombre augmentent avec UG.