Influence du dimensionnement de la cellule élémentaire sur le compor-

Le couplage du champ à l’interface entre une structure périodique et un milieu homo-gène est intimement lié à la nature de la cellule élémentaire [E7]. Celle-ci a des répercus-sions sur l’adaptation d’impédance entre le milieu environnant et le cristal. C’est la force du couplage du champ à l’interface qui décidera du comportement du cristal en termes de réflexion, de transmission et de guidage. Il est donc important de choisir la meilleure ma-nière d’organiser un cristal de telle sorte que les performances du système soient optimales suivant l’application visée.

Par la suite, nous considérerons deux empilements de manière successive : la cellule élémentaire du premier est optiquement asymétrique et celle du second symétrique. Des simulations numériques constitueront les principaux résultats.

Cellule asymétrique

Soit un cristal semi-infini dont la cellule unitaire est constituée de deux couches de même épaisseur mais de permittivités différentes, la première étant faite de silice et la seconde de silicium.

h1 = h#

2 , ε1 = 1.5²= 2.25, (2.4.8)

h2 = h#

2 , ε2 = 3.4²= 11.56. (2.4.9)

La cellule est diteasymétrique car la variation d’indice optique suivanty ne peut pas être ramenée à une fonction paire suivant la direction de l’empilement.

2.4 Milieu homogène effectifreplacemen 23

h#

h₁ =h_#/2 h₂ =h_#/2 ε₁= 2.25

ε₂= 11.56

Figure 2.6 –Cellule élémentaire asymétrique.

Remarque La période initiale, constituée de deux strates dissemblables, est suffisamment simple pour que l’on puisse trouver un équivalent symétrique. Ce n’est par exemple plus le cas pour une cellule faite de trois couches toutes différentes les unes des autres. La

« classe » de périodes que nous avons choisie nous permet d’étayer notre raisonnement et de tirer des conclusions générales sur les cristaux monodimensionnels. Ce n’est en aucun cas une limitation liée au modèle du milieu anisotrope.

La figure2.7représente la relation de dispersion dans le cristal et traduit une propriété [E9] de la demi-trace deT.

(g(ω, k_k)<1⇔Bande de transparence, mode de Bloch.

g(ω, k_k)>1⇔Bande interdite, pas de propagation. (2.4.10) Par la suite, nous nous intéresserons tout particulièrement à la fréquence normalisée

ωh#/(2π) = 0.462, (2.4.11)

fréquence à laquelle la relation de dispersion est une « petite » ellipse centrée sur l’origine.

Nous avons donc accès aux constantesK_k etK_⊥lesquelles sont proportionnelles aux deux rayons de l’ellipse représentée sur la figure 2.8.

k_kh#/(2π) ωh#/(2π)

Mode de Bloch

Figure 2.7 – Relation de dispersion dans la structure asymétrique (en vert : un mode de Bloch existe dans le cristal ; en blanc : le champ dans le cristal est évanescent).

k_kh#/(2π) k_kh#/(2π) k⊥h#/(2π)k⊥h#/(2π)

K_k K_⊥

Figure 2.8 – Relation de dispersion à la fréquence normaliséeωh#/(2π) = 0.462.

Ainsi, à la fréquence normalisée 0.462, h#

2πKk '0.107 et h#

2πK⊥'0.045. (2.4.12)

L’expression analytique de la permittivité effective du cristal (2.4.5) peut se voir comme une fonction de kk. Cela permet de révéler le comportement du cristal en fonction de l’angle d’attaque de l’onde incidente.

ε_k(k_k) =









 KkK⊥

ω² β#(k_k)^qK_k²−k_k² sik_k < K_k, KkK⊥

iω² β#(k_k)^qk²_k−K_k² sik_k ≥K_k.

(2.4.13)

Le caractère asymétrique de la cellule unitaire impose que les éléments diagonaux de la matriceT soient différents.

T =T1T2, T1 6=T2⇒t116=t22 (2.4.14) oùT1 etT2 sont les matrices de transfert associées aux sous-couches (ε1, h1) et (ε2, h2). De plus, le fait que les matériaux soient sans pertes, implique que l’intégralité des coefficients de la matriceT soient réels.

Im (t_ij) = 0, i, j = 1,2. (2.4.15)

Il en va de même pour set, d’après la définition de β#, s∈R, t116=t22⇒s6= 0

t12∈R^∗ )

⇒Im (β#)6= 0. (2.4.16) Dans la mesure où la constante de propagationβ#n’est pas réelle, il faut s’attendre à ce que ε_k soit également à partie imaginaire non-nulle. Les parties réelle et imaginaire de la permittivité considérée sont tracées en fonction de kk sur la figure2.9.

2.4 Milieu homogène effectif 25

kkh#/(2π) kkh#/(2π)

Re

εk Re

εk

Kk

kkh#/(2π) kkh#/(2π)

Im

εk Im

εk

Kk

Figure 2.9 – Partie réelle (à gauche) et partie imaginaire (à droite) de la permittivité effective du cristal à cellule asymétrique pour la fréquence normaliséeωh#/(2π) = 0.462.

En dehors de l’incidence normale (c.-à-d.kk 6= 0), il apparaît que le modèle du milieu anisotrope ne soit pas à même de représenter un cristal dont la cellule élémentaire est asymétrique. Le principal argument allant dans ce sens est la non continuité de la per-mittivité à la frontière entre les ondes propagatives (k_k < K_k) et les ondes évanescentes (k_k > K_k). La difficulté à représenter la structure par une variable effective (de surcroît complexe) indique que la structure est difficilement remplaçable par un milieu homogène et l’adaptation d’impédance difficilement réalisable.

Cellule symétrique

La structure est identique à celle du cas précédent (l’empilement est semi-infini) mais, cette fois, la cellule élémentaire est prise symétrique par rapport à un plan horizontal.

h#

h1 =h#/4 h2 =h#/2 h3 =h#/4 ε1= 2.25

ε₂= 11.56 ε3= 2.25

Figure 2.10 –Cellule élémentaire symétrique.

Les grandeurs caractéristiques sont h1= h#

4 , ε1= 1.5² = 2.25, (2.4.17)

h2= h#

2 , ε2= 3.4² = 11.56, (2.4.18)

h3= h#

4 , ε3= 1.5² = 2.25. (2.4.19)

et la matrice de transfert associée à la période cristalline est telle que ses éléments diago-naux soient égaux.

T =T1T2T3, T1=T3 ⇒t11=t22. (2.4.20)

Nous pouvons tenir le même raisonnement que précédemment concernant la constante de propagation β#, soit

t11=t22⇒s= 0⇒Im (β#) = 0. (2.4.21) β#réelle,ε_k est réelle et, par suite,µ_ketµ⊥également. Le résultat notable est le suivant : une cellule élémentaire symétrique assure au cristal des grandeurs effectives réelles.

kkh#/(2π) kkh#/(2π) εkεk

µk

µ⊥

kkh#/(2π)

Figure 2.11 – Permittivité (à gauche) et perméabilités (à droite) du milieu homogène ani-sotrope équivalent au cristal à cellule symétrique pour la fréquence normaliséeωh#/(2π) = 0.462.

L’évolution des grandeurs effectives dans le cas d’une structure à cellule symétrique est illustrée par la figure 2.11. Celle-ci nous permet de tirer certaines conclusions concernant le modèle employé ainsi que sur la tenue en fréquence² d’un cristal monodimensionnel.

– Il était attendu que les grandeurs effectives du cristal soient réelles et cela s’avère confirmé.

– Contrairement au cas du cristal à cellule asymétrique pour lequel les grandeurs effectives présentaient une singularité en k_k = K_k, ε_k, µ_k et µ⊥ sont des fonctions continues de k_k.

– Les grandeurs effectives varient très peu sur un large éventail d’incidences. Cela implique que la réponse du cristal aux ondes propagatives (k_k< K_k) vaut aussi pour les ondes évanescentes (k_k ≥K_k).

2Spatiale comme temporelle.

2.4 Milieu homogène effectif 27