Influence de la profondeur dans l’empilement n

Nous souhaitons d´eterminer l’influence de la profondeur dans l’empilement sur le d´eplacement quadratique moyen au carr´e. On rappel que < dqm² > est calcul´e

Figure 5.24 – Scaling de < dqm² > `a la p´eriode 200 pour diff´erentes combinaison de Af2 – INSERT : Scaling de < dqm2 > /f `a la p´eriode 200 pour diff´erentes combinaison de (Af )²

Figure 5.25 – < dqm² > en fonction de temps pour diff´erentes profondeur dans l’empilement - N=25000 billes - A=0,8 - T=6,3 - 10 < n < 40

uniquement pour l’ensemble des grains appartenant `a une mˆeme couche n. Ces couches ont une ´epaisseur d’un diam`etre de grain. La couche n=1 est celle au contact du fond de la boˆıte de simulation et n=2 celle qui s’y superpose et cela jusqu’`a la surface de l’empilement. Pour observer l’influence de la profondeur, nous avons vu lors de l’´etude des d´eplacements des particules qu’un empilement de 10000 billes n’est pas satisfaisant `a cause des effets du fond de la boˆıte visible sur une dizaine de couches.

La figure 5.25 repr´esente en ´echelle log-log le < dqm² > en fonction du temps pour diff´erentes profondeurs dans un empilement de 25000 billes (n_max= 50). L’amplitude de vibration vaut A = 0, 8 et la p´eriode T = 6, 3 (ce qui correspond `a 50 Hz pour des billes de 100 µm). Les couches varient de n = 10 `a n = 40 afin d’´eviter les effets de bord. On constate que lorsque n augmente, c’est-`a-dire lorsque l’on se rapproche de la surface, < dqm2 > augmente. Ce r´esultat atteste bien du fait que les grains en surface sont moins contraint que ceux en profondeur.

Nous souhaitons `a pr´esent ´etudier la d´ependance de < dqm2 > avec la profon-deur. La figure 5.26 repr´esente les valeurs de < dqm2 > `a la 200ti`eme p´eriode de vibration pour diff´erentes couche n. On constate que < dqm² > ´evolue lin´eairement avec la profondeur comme nous l’indique le fit lin´eaire donnant un coefficient R = 0, 972.

La figure 5.27 repr´esente en ´echelle log-log < dqm2 > multipli´e par la profondeur dans l’empilement (n_max − n) en fonction du temps. On constate que toutes les courbes se superpose, ce qui veut dire que le scaling fonctionne. Lorsque l’on prend

Figure 5.26 – < dqm² > en fonction de la couche n pour la 200ti`eme p´eriode de vibration - N=25000 billes - A=0,8 - T=6,3 - 10 < n < 36

Figure 5.27 – < dqm² > ×(h_max − n) en fonction du temps N=25000 billes -A=0,8 - T=6,3 - 10 < n < 40

en compte les premi`eres couches de l’empilement, les courbes correspondantes ne se superposent plus, ce qui confirme bien que les effets de bord sont pr´esents sur une dizaine de diam`etres de grains.

Conclusion Nous venons de mettre en ´evidence l’effet de la pression granulaire, les particules en profondeur subissent une contrainte plus importante que celles en surface. Cette contrainte est proportionnelle avec la profondeur. Ce r´esultat d´ej`a montr´e exp´erimentalement est observable num´eriquement dans nos simulations. Il se traduit par une diminution lin´eaire du d´eplacement quadratique moyen des par-ticules lorsqu’on s’enfonce dans l’empilement.

5.4.7 Conclusion

Dans cette section nous avons expliqu´e comment le d´eplacement quadratique moyen au carr´e pouvait nous donner des informations sur le mouvement de particules vibr´ees. Les param`etres vibratoires utilis´es ne permettent pas au grains de se lib´erer de leur cage. Nous avons montr´e que dans ce cas le mouvement des grains est diffusif. Nous avons mis en ´evidence l’incidence de trois param`etres sur < dqm² >, l’ampli-tude de vibration A, la p´eriode de vibration T et la profondeur dans l’empilement n. Le d´eplacement quadratique moyen au carr´e semble ´evoluer exponentiellement avec l’amplitude et la p´eriode de vibration. Il serait int´eressant de trouver des mod`eles physiques correspondant au r´egime de caging afin de fitter cette d´ependance. En revanche nous avons clairement montr´e que < dqm2 > varie lin´eairement avec la profondeur dans l’empilement. Cet effet est du `a la pression granulaire, comme il a ´et´e constat´e lors de l’analyse des d´eplacements. Pour finir nous avons montr´e que c’est l’acc´el´eration A(f2) impos´ee par le fond de la boˆıte qui r´egit le mouvement des particules.

Une premi`ere ouverture pour la suite des travaux serait de faire le mˆeme genre d’approche pour des billes ´etant lib´er´ees de leur cage. Une premi`ere option consiste-rait `a faire les calculs plus proche de la surface ou nous avons vu que le mouvement est plus important et permet aux grains de se d´eplacer de plusieurs diam`etres. Il serait tr`es int´eressant ´egalement de simuler sur des temps plus importants afin d’ex-plorer d’autres param`etres de vibrations. Ce que nous n’avons pas pu faire lors de cette premi`ere ´etude pr´eliminaire. Pour finir l’int´egralit´e des travaux pr´esent´es dans ce rapport sont en deux dimensions. Maintenant que nous avons une id´ee de la mani`ere dont s’organise les choses lors de ce genre de simulation, on peut passer aux calculs en trois dimensions.

Nous avons apport´e des r´eponses `a notre probl´ematique. Il existe bien un mou-vement de particules diffusif lorsqu’on soumet des billes `a vibration. La prochaine ´etape et de v´erifier l’effet d’un fluide interstitiel.

Figure 5.28 – Empilement dans un cylindre de 5000 billes