Influence de la phase

electrodes, cr´eant ainsi un oscillateur non lin´eaire forc´e. Cette excitation a une grande influence sur le mouvement des particules, aussi bien dans le plan radial que dans le plan longitudinal. Dans le plan radial et permet de modifier la struc-ture des diagrammes de phase (on ne parle plus de sections de Poincar´e car il n’y a plus conservation de l’´energie) et dans le plan longitudinal, elle permet de

for-cer une synchronisation (que nous appelleront “synchronisation forc´ee”), dont

la dur´ee temporelle n’est pas limit´ee, contrairement `a la synchronisation natu-relle. Cette synchronisation forc´ee peut ˆetre sugg´er´ee par nos exp´erience mais elle a ´et´e mis en ´evidence de mani`ere remarquable au Max Planck Institute de Heidelberg [10] comme nous le verrons dans la suite de cette section.

4.3.1 Influence de l’excitation sur les sections de Poincar´e

Il est tr`es instructif de regarder les diagrammes de phase pour diff´erentes

valeurs de la fr´equence d’excitation (on ne parle plus de sections de

Poin-car´e car l’´energie n’est plus conserv´ee). La Fig. 4.9 pr´esente quatre sections : sans excitation, avec une excitation de fr´equence inf´erieure `a la fr´equence de r´esonance, `a la r´esonance, avec une excitation de fr´equence sup´erieure `a la fr´equence de r´esonance. Comme on peut le constater, lorsque la fr´equence d’ex-citation est comprise dans la largeur du pic (sans ˆetre exactement `a la r´esonance param´etrique qui d´estabilise quasiment enti`erement le mouvement), les r´esonances non lin´eaires sont supprim´ees.

4.3.2 Influence de la phase

Le d´ephasage entre le signal d’excitation et le mouvement des ions joue un

rˆole important dans la dynamique. Cette d´ependance en phase est confirm´ee

par les r´esultats exp´erimentaux du MPI comme illustr´e sur la partie droite de la Fig. 4.10 o`u le temps de pi´egeage d´epend de la phase choisie. Dans notre cas, nous ne pouvons pas voir directement l’influence de la phase `a cause de l’absence d’un hacheur efficace. La taille de notre paquet est d´etermin´ee par la mont´ee brusque des ´electrodes d’entr´ee qui coupent une bonne partie du faisceau continu

Figure 4.10 – Dur´^{ee exp´erimentale de la synchronisation forc´ee en fonction de} la phase. Pour une valeur de la phase fix´ee, plusieurs cycles de pi´egeage ont ´et´e effectu´es et la dur´ee de la synchronisation a ´et´e report´e en ordonn´ees. D’apr`es [10].

qu’on injecte dans le pi`ege. Nous estimons que notre paquet fait initialement

une vingtaine de centim`etres. Il est donc difficile de d´efinir une phase car chaque partie du paquet voit un d´ephasage diff´erent.

En revanche, notre mod`ele num´erique permet de montrer l’influence de la

phase sur la synchronisation. La Fig. 4.11 montre que l’ajout d’une excitation

p´eriodique induit une modulation du mouvement longitudinal. Cette modulation

´

etant deux ordres de grandeur plus faible que l’amplitude du mouvement lui-mˆeme, il est plus clair de repr´esenter la quantit´e de mouvement pz `a chaque travers´ee de la surface d´efinie par z = 0. Pour tracer la partie gauche de cette figure, nous avons simul´e cinq particules ayant les mˆemes conditions initiales (et z = 0) except´e les ´ecarts `a l’axe longitudinal qui sont r´epartis sur [0, 0.0016]. Pour la partie droite, nous avons augment´e le nombre d’ions `a 100 pour obtenir plus de statistique et tracer les histogrammes. Comme on peut le voir sur la Fig. 4.11, sans excitation la quantit´e de mouvement en z = 0 est constante sur le millier oscillations simul´ees. D`es que V_ex augmente, p_z oscille autour de sa valeur moyenne avec une fr´equence qui d´epend `a la fois de Vexet de ψ, ψ ´etant le d´ephasage initial entre les ions et l’excitation. L’encadr´e est un agrandissement montrant la r´epartition des points (ti, pzi) constitutifs des courbes. A droite, l’histogramme repr´esente la r´epartition des temps de passage en z = 0 au bout de 1000 oscillations pour 100 particules. Sans excitation, il y a une diffusion lente due `a la l´eg`ere diff´erence de conditions initiales. Avec excitation, certaines valeurs du d´ephasage (cas central) s´eparent compl`etement les trajectoires tandis que d’autres (cas du bas) empˆechent toute diffusion. Ce dernier cas est le cas de la synchronisation forc´ee (RF-bunching).

L’exp´erimentation num´erique pr´ec´edente permet de montrer d’une part l’exis-tence de la synchronisation forc´ee qui d´epend fortement du d´ephasage entre l’ex-citation et les ions et, d’autre part, que la pr´esence d’un potentiel d’excitation

lon-Figure 4.11 – A gauche, chaque point repr´^{esente (t}i, pz_i), temps et quantit´e de mouvement au i`eme passage `a travers le plan z = 0 pour diff´erentes valeurs de l’amplitude d’excitation et de phase pour 5 particules lanc´ees avec diff´erentes po-sitions radiales. A droite, les histogrammes repr´esentent la dispersion des temps du 1000 `eme passage `a travers le plan z = 0 pour 100 particules. On observe une diffusion lente sans excitation, une diffusion rapide avec une excitation n’ayant pas la bonne phase et un ph´enom`ene de verrouillage de phase (“phase-locking”) avec un bon choix des param`etres d’excitation.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Vex(V) 0 1 2 3