Inférence des interactions

L’inférence de cette section est directement inspirée des travaux de Richard (2010), qui déduit les influences d’un graphe des interactions en fonction des évolutions des différents composants, selon l’état de ses régulateurs.

Pour tout composant a, les prédécesseurs de a, notés pred(a), sont toutes les sortes ayant au moins une action frappant a. Les régulateurs de a, en revanche, notés reg(a), sont tous les composants qui influent sur a, soit directement, soit à travers une sorte co- opérative. Il est à noter que les régulateurs définis de cette manière seront potentiellement des régulateurs de a dans le modèle de Thomas inféré, tels que définis en page 17, ce qui explique pourquoi ces deux définitions sont proches.

∀a ∈ Γ, pred(a)d ef= {b ∈ Σ | ∃h ∈ H, sorte(frappeur(h)) = b ∧ sorte(cible(h)) = a} ∀a ∈ Γ, reg(a)d ef= {comp1_{(b)| b ∈ pred(a)}}

Où comp1(b) fait référence aux composants qui régulent la sorte coopérative b, autrement dit aux sortes que b représente (cf. définition 4.4 en page 69).

L’étude des influences d’un composant b régulant un autre composant a nécessite d’étudier le groupe de régulateurs de b qui vont influencer conjointement a. Ces groupes de régulateurs sont aisément déterminés en observant les sortes coopératives. Nous proposons ici de définir les groupes de régulateurs comme étant les composants connexes d’un graphe reliant tous les régulateurs de a qui sont représentés par une même sorte coopérative :

∀a ∈ Γ, X(a)d ef= C (reg(a), {{b, c} ⊂ comp1(υ)| υ ∈ pred(a) ∩ ∆})
Où C(G) représente l’ensemble des composantes connexes du graphe non orienté G.

Pour étudier l’influence d’un groupe de régulateurs g sur un composant a, nous effec- tuons une analyse exhaustive de toutes les configurations possibles de g. Pour cela, il est nécessaire de définir un sous-état σ sur les sortes de g, et et de compléter ce sous-état par les processus de sorte coopérative qui représentent l’état des composants dans g. Nous définissons pour cela l’ensemble allFocalsag(σ) qui contient l’état des sortes de g, celui de

Chapitre 5 — Expressivité des Frappes de Processus et positionnement par rapport à d’autres formalismes 97

∀a ∈ Γ, ∀g ∈ X(a), ∀σ ∈ L♦_g∪{a},

allFocalsag(σ) ={σ[b] | b ∈ pred(a) ∩ Γ} ∪ {focals 1

σ(b) | b ∈ pred(a) ∩ ∆}

Avec :

focals1_σ(b) = focals1_seσ(b)

où le choix de s ∈ L est indifférent d’après le point (iv) de la définition 4.5 en page 69. Enfin, il est possible d’étudier localement la dynamique de a en fonction du sous- état σ d’un groupe de régulateurs g donné ; cette dynamique locale se concentre donc uniquement sur les actions frappant a. En effet, en faisant varier l’un des composants b ∈ g et en observant le résultat sur l’évolution de a (tendance à l’augmentation ou à la diminution de son niveau d’expression), il est possible d’en déduire l’influence locale de b sur a pour un niveau d’expression de b donné. Pour cela, nous appelons Ba(σ) l’ensemble

des processus vers lesquels a peut évoluer depuis le sous-état σ ; naturellement, si aucune action ne frappe a dans σ, alors Ba(σ) = σ[a].

∀g ∈ X(a), ∀σ ∈ L♦ g∪{a}, Ba(σ) d ef = ( Fa(σ) si Fa(σ)6= ∅ {σ[a]} si Fa(σ) =∅ où : Fa(σ) d ef = {ak ∈ La | ∃b ∈ Σ, ∃bi → aj  ak ∈ H, {bi, aj} ⊂ allFocalsag(σ)}

La proposition 5.1 détaille l’inférence de toutes les influences locales existant entre les composants, c’est-à-dire celles qui se produisent pour un seuil donné t. L’idée principale derrière cette inférence est la suivante : s’il existe une une influence positive (resp. négative) d’un composant b sur un autre composant a, alors augmenter le niveau d’expression de b va potentiellement faire faire augmenter (resp. diminuer) le niveau d’expression de a, au moins dans certaines configurations (équation (5.2)). Ainsi, ces influences locales se séparent en influences positives et négatives, ce qui représente de potentiels arcs dans le graphe des interactions final. De plus, l’étude des influences sur les groupes de régulateurs d’un composant a permet aussi d’étudier les auto-influences de a (équation (5.3)) ce qui permettra potentiellement d’inférer des auto-arcs. Finalement, il est nécessaire d’étudier le cas particulier où a ne possède pas de régulateurs (équation (5.4)). Nous notons que cette méthode ignore naturellement tous les cas où il n’est pas possible de distinguer une influence d’un composant sur un autre.

98 5.2 — Inférence du modèle de Thomas

Proposition 5.1 (Inférence des influences). Nous définissons l’ensemble ˆE+ (resp. ˆE−)

des influences locales positives (resp. négatives) pour tout composant a ∈ Γ par : ∀b ∈ reg(a), ∀s ∈ {+, −}, b −−→ a ∈ ˆt+1 Es

⇐⇒ ∃g ∈ X(a), b ∈ g, ∃σ ∈ L♦_g∪{a},{bt, bt+1} ⊂ Lb∧

bt ∈ σ, ∃aj ∈ Ba(σ),∃ak ∈ Ba(σ{bt+1}), s = signe(k − j )

(5.2)

∀s ∈ {+, −}, a−−→ a ∈ ˆt+1 Es

⇐⇒ ∃g ∈ X(a), ∃σ ∈ L♦_g∪{a},{at, at+1} ⊂ La∧ at ∈ σ,

∃aj ∈ Ba(σ),∃ak ∈ Ba(σ{at+1}), s = signe(k − j )

(5.3)

∀s ∈ {+, −}, a−−→ a ∈ ˆt+1 Es

⇐⇒ reg(a) = ∅ ∧ {at, at+1} ⊂ La,

∃aj ∈ Ba(hati), ∃ak ∈ Ba(hat+1i), s = signe(k − j )

(5.4)

La fonction signe sur les entiers relatifs a été définie à la section 1.6 en page 12. Nous sommes alors en mesure d’inférer les arcs du graphe des interactions final, à partir de ces ensembles d’influences locales positives et négatives. En effet, nous pouvons inférer une influence (globale) positive ou négative d’un composant vers un autre s’il n’existe que des influences locales correspondantes du même signe. Une influence non-signée est inférée si, à l’inverse, il existe au moins deux influences locales correspondantes de signes différents. Enfin, le seuil de chaque influence (quel que soit son signe) est égal au seuil minimum pour lequel une influence locale a été trouvée. Nous formalisons cette inférence dans la proposition 5.2.

Proposition 5.2 (Inférence du graphe des interactions). Nous inférons G = (Γ ; E) à l’aide de la proposition 5.1 comme suit :

E+ ={a +,t −−→ b | @a−→ b ∈ ˆt0 E−∧ t = min{r | a r − → b ∈ ˆE+}} E₋ ={a_{−−→ b | @a}−,t −→ b ∈ ˆt0 E+∧ t = min{r | a r − → b ∈ ˆE₋}} E◦ ={a ◦,t −→ b | ∃a−→ b ∈ ˆt0 E+∧ ∃a t00 −→ b ∈ ˆE− ∧ t = min{r | a−→ b ∈ ˆr E−∪ ˆE+}}

a

0

1

2

b

0

1

c

0

1

Figure 5.1 – Exemple de Frappes de Processus canoniques avec trois composants : a, b et c . Ce modèle ne comporte aucune sorte coopérative. La dynamique de ce modèle est unitaire car elle respecte bien le critère 5.1 en page 95. L’inférence du graphe des interactions peut donc être effectuée sur ce modèle.

Chapitre 5 — Expressivité des Frappes de Processus et positionnement par rapport à d’autres formalismes 99

a

0

1

2

b

0

1

c

0

1

bc

00

01

10

11

Figure 5.2 – Raffinement du modèle de Frappes de Processus canoniques de la figure 5.1 à l’aide d’une sorte coopérative bc : les deux actions b1 → a1  a2 et c1 → a1  a2 sont

ainsi remplacées par une action bc11 → a1  a2; de même, les actions b0 → a1  a0 et

c1→ a1 a0sont remplacées par bc00 → a1  a0. Ce modèle possède aussi une dynamique

unitaire d’après le critère 5.1.

Exemple. L’application de l’inférence du graphe des interactions aux Frappes de Processus canoniques de la figure 5.1 donne le graphe représenté à la figure 5.3, contenant les arcs suivants : E+ ={b +1 −→ a, c −→ a, a+1 −→ a, b+1 −→ b, c+1 −→ c}+1 E− ={a −2 −→ b} E◦ =∅

Ce graphe des interactions est proche de celui qui avait été proposé à la figure 2.1(gauche) en page 18 bien qu’il ne soit pas équivalent, car chaque composant comporte une auto- action positive. Les auto-actions sur b et c sont la conséquence d’une stabilité globale sur plusieurs sous-états : en effet, c n’évolue jamais, et b n’évolue pas non plus lorsque a2

n’est pas actif. L’auto-action sur a est principalement causée par sa nature multi-valuée.

a

b

c

Figure 5.3 – Graphe des interactions inféré depuis les Frappes de Processus de la figure 5.2.

Exemple. Le modèle raffiné de Frappes de Processus canoniques représenté à la figure 5.2 comporte une sorte coopérative bc qui permet de modéliser la coopération de b1 et c1

pour faire bondir a1 en a2, ainsi que la coopération de b0 et c0 pour faire bondir a1 en

a0. Ces deux coopérations étaient représentées dans le modèle de la figure 5.1 par des

100 5.2 — Inférence du modèle de Thomas

de graphe des interactions, c’est-à-dire le graphe de la figure 5.3, ce qui s’explique par le fait que les composants b et c produisent le même type de régulation sur a dans les deux cas (avec des actions indépendantes ou à travers une sorte coopérative).

Exemple. L’ajout d’une action a2 → b0  b1 aux Frappes de Processus canoniques raf-

finées de la figure 5.2 modifie le résultat de l’inférence. En effet, dans ce cas deux arcs non-signés vers b sont inférés en lieu et place des arcs signés précédents :

E+={b +1 −→ a, c −→ a, a+1 −→ a, c+1 −→ c}+1 E−=∅ E◦ ={a ◦2 −→ b, b −◦1→ b}

Cela est dû au fait que les actions a2 → b1  b0 et a2 → b0  b1 introduisent des

oscillations causées uniquement par le processus a2, ce qui implique une influence locale à

la fois positive et négative, et est impossible à représenter au sein d’un modèle de Thomas.