Inférence approchée

Dans de nombreux cas, le calcul de l’inférence exacte est impossible à

cause du trop grand nombre de variables et/ou de leur trop grande

cardina-lité. On est alors capable d’approximer le calcul de l’inférence en utilisant des

algorithmes d’inférence approchée. Certaines de ces méthodes sont connues

sous le nom de méthodes deSampling ou d’échantillonnage. Elles consistent

à tirer des échantillons dans l’espace des valeurs possibles des variables et

approchent la distribution cherchée. Dans la plupart des cas, la difficulté

réside dans la façon de générer des échantillons.

Dans les prochaines sous-sections, nous faisons une revue des principales

méthodes d’échantillonnage simple puis nous présentons une méthode de

Monte-Carlo Markov Chain (MCMC) particulière qui est l’algorithme de

Gibbs. C’est cet algorithme qui est implémenté dans les machines

bayé-siennes SMABI, chapitre 5 et PSMABI, chapitre 6. Ces méthodes sont

ba-sées sur l’aléa des tirages effectués. Elles approchent la distribution cherchée

3.2. INFÉRENCE PROBABILISTE

puisque le phénomène stochastique aura tendance à tirer des échantillons là

où il y a de la masse de probabilité et ainsi recouvrir la forme de la

distri-bution cherchée. Du fait que l’on tire des échantillons de manière aléatoire

dans l’espace des valeurs possibles, plus on tire d’échantillons et plus la

pré-cision de notre méthode est grande. Par passage à la limite, on retrouve

le résultat de l’inférence exacte. En effet, si on tire une infinité

d’échan-tillons{s

i

, f

i

, k

i

} ∈ {S, F, K}, on a, pour chacun des points{s

j

, f

k

, k

l

}de la

distribution conjointe :

lim

n→+∞ n P i=1

δ

_{{si,fi,ki}={sj,fk,kl}}

n ^=P(s

^j

^{, f}

^k

^{, k}

^l

⁾

Échantillonnage direct

L’échantillonnage direct consiste à tirer des valeurs de variable dans la

conjointe afin d’obtenir un vecteur échantillon. Soit le modèle suivant

com-posé de trois variables{A, B, C} :

P(A∧B∧C) =P(A)P(B|A)P(C|AB) (3.7)

L’algorithme réalisant l’échantillonnage direct sur ce modèle est présenté

sur la figure 3.1. Au fur et à mesure des échantillons {a, b, c} nous sommes

capables de construire la distribution P(A∧B∧C).

while i < nombre_echantillon_souhaite:do

Tirer un échantillona

i

de A suivantP(A)

Tirer un échantillonb

i

de B suivant P(B |[A=a

i

])

Tirer un échantillonc

_i

de C suivant P(C |[A=a

_i

] [B =b

_i

])

i+ +

end while

Figure^{3.1 – Algorithme d’échantillonnage direct pour estimer} P(ABC)

Dans le cadre de l’inférence, nous posons une question au modèle

bayé-sien. Cette méthode d’échantillonnage n’est donc valable que dans deux cas :

— Soit il n’y a pas de variables «connues» dans notre modèle et on tire

toutes les variables de celui-ci selon l’algorithme précédent.

— Soit les variables «connues» n’apparaissent jamais à gauche dans aucun

des termes de la décomposition et on tire les variables d’intérêts suivant

les termes de la conjointe.

Exemple du sprinkler : On rappelle le modèle P(R ∧ S ∧G) =

P(R)P(S|R)P(G|R S). Nous avons vu une question particulière posée à

ce modèle dans les sections précédentes : P(R|G = 1). Dans ce cas, nous

ne pourrons pas appliquer la méthode d’échantillonnage direct suivant la

décomposition proposée puisque l’algorithme montre qu’il faudrait

échan-tillonner la variable Gqui est fixée dans notre question. Une question

pos-sible, solvable avec cette méthode, pourrait être alors : P(G|R = r), où

r∈ {0,1} est une valeur possible deR. Pour effectuer ces tirages successifs

nous utilisons la description des distributions de la section 3.1.4.

while i < nombre_echantillon_souhaite :do

Tirer un échantillons

i

de S suivant P(S |[R=r])

Tirer un échantillong

i

de G suivant P(G|[R=r] [S=s

i

])

i+ +

end while

Figure^{3.2 – Algorithme d’échantillonnage direct pour estimer}P(G|R=r)

Échantillonnage par rejet

SoitP(ABC) une distribution sur les variablesA,B etC.

L’échantillon-nage par rejet consiste à utiliser une autre distribution, T, sur laquelle on

est capable : (i) d’évaluer sa valeur en tout point{a, b, c}, (ii) de réaliser un

échantillonnage direct dessus.

Chaque échantillon {a, b, c}, tiré de T, est alors accepté avec la

propor-tion :

p= k×T({a, b, c})

P({a, b, c})

oùk est une constante tel que :

∀{a, b, c} ∈ {A, B, C}, k×T({a, b, c})< P({a, b, c})

A noter que l’on doit aussi être capable d’évaluerP({a, b, c}).

Cette méthode nous permet notamment d’échantillonner une

distribu-tion condidistribu-tionnelleP(B |[A=a]) et donc de donner une solution approchée

à un problème d’inférence. La figure 3.3 présente l’algorithme

d’échantillon-nage par rejet sur l’exemple de la distributionP(ABC).

Avec cette méthode nous sommes capables d’approcher toute

distribu-tion condidistribu-tionnelle. Cependant, le rejet d’échantillons peut faire décroître

3.2. INFÉRENCE PROBABILISTE

while i < nombre_echantillon_souhaite:do

Tirer un échantillon{a

_i

, b

_i

, c

_i

} de {A, B, C} suivantT(ABC)

Faire un tirage de Bernoulli avec la proportionp=

^k×T({ai,bi,ci})

P({ai,bi,ci})

if resultat_tirage_bernoulli= 1 : then

On stocke{a

_i

, b

_i

, c

_i

}

else

On rejette{a

_i

, b

_i

, c

_i

}

end if

i+ +

end while

Figure^{3.3 – Algorithme d’échantillonnage par rejet pour estimer}P(ABC)

drastiquement sa vitesse de convergence. En effet, si la condition est très

peu probable, le nombre d’échantillons rejetés est alors très grand et nous

avons besoin d’une quantité d’itérations très importante pour obtenir

suffi-samment d’échantillons.

Exemple du sprinkler : On rappelle le modèle P(R ∧S ∧ G) =

P(R)P(S|R)P(G|R S). Nous avons vu une question particulière posé à ce

modèle dans les sections précédentes : P(R|G = 1). La figure 3.4 présente

un algorithme permettant d’effectuer l’échantillonnage par rejet sur notre

exemple.

while i < nombre_echantillon_souhaite:do

Tirer un échantillonr

i

de R suivantP(R)

Tirer un échantillons

_i

de S suivant P(S |[R=r

_i

])

Tirer un échantillong

_i

de G suivant P(G|[R=r

_i

] [S =s

_i

])

if g

i

= 1 then

On stocker

_i

else

On rejetter

i

end if

i+ +

end while

Figure^{3.4 – Algorithme d’échantillonnage par rejet pour estimer}P(R|G=

1)

Cette façon d’échantillonner revient à prendre, dans l’algorithme général

présenté au dessus, la distribution T, la constante multiplicative k et la

proportionp suivante :

T =P(R)P(S|R)δ(G= 1)

k= 1

p= P(R)P(S|R)P(G= 1|RS)

P(R)P(S|R)δ(G= 1)

Dans ce cas, on tire G suivant le dirac δ(G = 1), on a donc toujours

G= 1, puis on tire r et s suivant P(R) et P(S|R = r). Au vu des formes

paramétriques présentées dans la section 3.1.4, soit l’échantillon {r, s} est

compatible avecG= 1 et dans ce cas on tire l’acceptation de cet échantillon

avec la proportionp, soit l’échantillon{r, s}est incompatible avecG= 1 et

on rejette alors cet échantillon. Ce qui donne :

p= 0, ⇒rejet l’échantillon r

p >0, ⇒acceptation de l’échantillon r avec la proportion p

Échantillonnage par importance

L’échantillonnage par importance génère des échantillons avec un poids

associé. Soit P(ABC) une distribution sur les variables A, B et C.

L’al-gorithme consiste à utiliser une autre distribution, T, sur laquelle on est

capable : (i) d’évaluer sa valeur en tout point {a, b, c}, (ii) de réaliser un

échantillonnage direct dessus. A Chaque échantillon {a, b, c}, tiré de T, est

alors associé un poidsw =

^P_T⁽₍^abc_abc)⁾

. A noter que l’on doit aussi être capable

d’évaluerP(abc).

Cet algorithme est présenté sur la figure 3.5 :

while i < nombre_echantillon_souhaite :do

Tirer un échantillon{a

_i

, b

_i

, c

_i

}de {A, B, C} suivantT(ABC)

Calculer le poidsw

i

=

^P(aibici)

T(aibici)

On stocke ({a

_i

, b

_i

, c

_i

}, w)

i+ +

end while

Figure ^{3.5 – Algorithme d’échantillonnage par importance pour la}

3.2. INFÉRENCE PROBABILISTE

Dans le cas où l’on a une décomposition du modèle et que l’on pose une

question sous la forme d’une inférence à calculer, alors l’échantillonnage par

importance peut être vu comme une méthode d’échantillonnage par rejet

mais qui ne s’intéresse qu’aux variables d’intérêt. Cela signifie que l’on ne

va générer que des échantillons associés aux conditions/observations. De

ce fait, cette méthode ne rejette aucun échantillon. Les échantillons tirés

suivent les distributions décrites dans la décomposition. Les distributions où

apparaissent une variable observée « à gauche », les vraisemblances donc,

permettent de pondérer le résultat de l’échantillon, c’est à dire de calculer

«w».

Exemple du sprinkler : On rappelle le modèle P(R ∧S ∧ G) =

P(R)P(S|R)P(G|RS). La question posée estP(R|G= 1).

while i < nombre_echantillon_souhaite:do

Tirer un échantillonr

_i

de R de suivantP(R)

Tirer un échantillons

_i

de S de suivantP(S |[R=r

_i

])

Calculer le poidsw

i

=P(G= 1 |[R=r

i

] [S=s

i

])

On stocke (r

_i

, w

_i

)

i+ +

end while

Figure ^{3.6 – Algorithme d’échantillonnage par importance pour la}

distri-bution pour estimer P(R|G= 1)

Méthode MCMC

Les méthodes de Monte-Carlo par chaînes de Markov sont des méthodes

d’échantillonnage qui possèdent la particularité de générer des échantillons à

partir des échantillons précédents. L’ensemble des valeurs que peut prendre

la distribution peut être assimilé à un ensemble d’états que l’on parcourt. Le

passage d’un état à l’autre, suivant la probabilité, est défini par la

distribu-tion. La chaîne de Markov ainsi décrite a pour loi stationnaire la distribution

à échantillonner.

Algorithme de Gibbs

Nous présentons un algorithme utilisant une méthode MCMC,

l’algo-rithme de Gibbs, qui est utilisé dans les chapitres 5 et 6.

SoitP(X) une distribution sur nvariables X

i

tel que :

X=X

₁

∧ · · · ∧X

_n

Cet algorithme tire des nouveaux échantillons X

i

à chaque pas suivant la

distribution

P(X

_i

|X

₁

· · ·X

_i−1

X

_i+1

· · ·X

_k

)

Une phase d’initialisation du vecteurX est alors nécessaire au début de la

boucle algorithmique. La figure 3.7 montre un exemple d’échantillonnage

d’une distribution sur trois variables discrètes{A, B, C}. La principale

dif-ficulté réside dans la façon d’effectuer ces tirages successifs avec l’ensemble

des variables, non échantillonnées, fixées.

Initialiser le vecteur d’échantillons {a

0

, b

0

, c

0

}

while i < nombre_echantillon_souhaite :do

Tirer un échantillona

_i

de A de suivantP(A |[B =b

_i−1

] [C =c

_i−1

])

Tirer un échantillonb

i

deB de suivantP(B |[A=a

i

] [C =c

i−1

])

Tirer un échantillonc

_i

deC de suivantP(C |[A=a

_i

] [B=b

_i

])

stockera

_i

, b

_i

, c

_i

i+ +

end while

Figure^{3.7 – Algorithme de Gibbs}

Cet algorithme démarre avec un vecteur d’initialisation{a

₀

, b

₀

, c

₀

}. Une

phase, appeléburn in, est souvent utilisée pour se soustraire au biais

intro-duit par le choix du vecteur initial. Cela consiste simplement à rejeter la

première partie des échantillons, cette partie peut être aussi grande que l’on

souhaite.

Exemple du sprinkler : On rappelle le modèle P(R ∧ S ∧G) =

P(R)P(S|R)P(G|R S). La question posée est P(R|G = 1). La figure 3.8

montre l’algorithme utilisé pour estimer la distributionP(R|G= 1). Seule

la variable R nous intéresse et la valeur de G = 1 est fixée. On ne tirera

donc jamais de valeur deG. L’échantillonnage de S est nécessaire puisqu’il

apparaît dans le termeP(R |S =s G= 1).

Dans le document Conception de machines probabilistes dédiées aux inférences bayésiennes (Page 45-51)