Indicateurs globaux

III.3.1 Vimos que dada uma classe não vaziaC de subconjuntos de X, a colecção das reuniões generalizadas de conjuntos na classe não é necessariamente uma topologia sobre

X, pois a intersecção de dois abertos deve ser um aberto, os conjuntos em_{C devem ser}

abertos, e a condiçãoB2 em III.1.18 pode não ser verificada pela classe C. Respondendo à questão com a própria pergunta, a classe das intersecções finitas de conjuntos em_{C (III.1.33} e III.1.34) é uma baseB da topologia T sobre X que tem C como subbase. Se considerarmos, dada a base_{B, conjuntos V}x tais que para cada x ∈ B1 ∩ B2 se verifique

x ∈ Bx ⊂ Vx ⊂ B1 ∩ B2, Bx ∈ B na condição B2 em III.I.18, obtemos conferindo III.1.17

que cada intersecção de dois conjuntos na baseB é reunião generalizada dos conjuntos Vx e assim cada aberto A de_{T é uma reunião A }



III.3.2 Definição Dados o espaço topológicoX, T, p ∈ X, diz-se que o subconjunto V de X é uma vizinhança do ponto p se existe um aberto O ∈ T tal que p ∈ O ⊂ V.

Designa-se porVpa classe das vizinhanças do ponto p.

III.3.3 Teorema Um subconjunto A de um espaço topológicoX, T é aberto se e só se

A é vizinhança de cada um dos seus pontos.

Dem. Certamente não deixa de verificar a condição dada e X é vizinhança de cada ponto p ∈ X. Se A é um aberto, de p ∈ A ⊂ A vemos que A é vizinhança de cada um dos seus pontos. Reciprocamente, se para cada x ∈ A existe um aberto Ox tal que x ∈ Ox ⊂ A então A ⊂





III.3.4 Propriedade A classeVpdas vizinhanças de um ponto p ∈ X, T é um filtro sobre X e verifica as propriedades

i Se V ∈ Vp então p ∈ V

ii Se U, V ∈ Vp então U∩ V ∈ Vp iii Se V ∈ Vp e U ⊃ V então U ∈ Vp

iv Dada U ∈ Vpexiste para cada x ∈ U certa V ∈ Vp tal que V ⊂ U e V ∈ Vx para cada x ∈ V.

Dem.i. . . iii são consequências directas da definição. Para iv, se U ∈ Vptem-se

p ∈ O ⊂ U onde O é um aberto, e pode considerar-se V  O para cada x ∈ O, atendendo a

III.3.5 Pode perguntar-se se sendo X um conjunto não vazio, e dispondo de uma função_{V : X → PX que associa a cada x ∈ X uma classe V}x verificando as condições i, ii, iii, a classe dos conjuntos A ⊂ X tais que A ∈ Vx para cada x ∈ A, é uma

topologia_{T sobre X. A resposta é afirmativa. Pois certamente T1 é verificada. Para T2, se}

x ∈





A∩ B ∈ Vx.

III.3.6 Observação Se a condiçãoiv em III.2.4 é também verificada, Vx é o filtro das vizinhanças de cada ponto x no espaço topológicoX, T, atendendo a III.2.3.

III.3.7 Definição Diz-se que o espaço topológicoX, T é um espaço de Hausdorff se dados dois quaisquer pontos a, b ∈ X, a ≠ b, existem vizinhançase disjuntas U, V de a, b respectivamente. Em linguagem lógica, o espaço é um espaço de Hausdorff se e só se verifica a condição

Hausdorff≡ ∀a, b ∈ X, a ≠ b, ∃U ∈ Va, V ∈ Vb, U∩ V  .

Atendendo a II.5.7 e à definição de vizinhança de um ponto, todo o espaço topológico metrizável é um espaço de Hausdorff.

III.3.8 Definição Dado o espaço topológicoX, T, a ∈ X, diz-se que a classe Ba é uma base de vizinhanças do ponto a seBa ⊂ Va eBa é uma base do filtroVa. Também se diz que_Ba é um sistema fundamental de vizinhanças do ponto a.

III.3.9 Observação As topologias sobre X para as quais existe uma base de vizinhanças fechadas (que são conjuntos fechados) de cada ponto têm propriedades particaulares. Também se destacam as topologias tais que cada ponto tem uma base de vizinhanças contável.

III.3.10 Exercícios (1) Verifique que as topologias metrizáveis sobre X têm ambas as propriedades na observação anterior. (2) Conclua que se X é um conjunto infinito então a topologia cofinita de X não é metrizável.

III.3.11 Resoluções (1) SeX, T é metrizável para uma métrica d, a classe

Ba, 1/n : n ∈ N, onde Ba, 1n  x ∈ X : dx, a ≤ 1/n é uma base contável de vizinhanças de a formada por conjuntos fechados. (2) Com efeito a única vizinhança fechada de um ponto p ∈ X é todo o X; pois se p ∈ A ⊂ W ≠ X, A aberto e W fechado então o conjunto infinito A (A é infinito pois X\A é finito) está contido no conjunto finito W, o que é impossível. Mas se x ≠ p então V  X\x é uma vizinhança de p diferente de X, logo não existe nenhuma vizinhança fechada de p contida em V. Portanto não se verifica que todo o ponto tem uma base de vizinhanças fechadas logo, por (1), X não é metrizável.

III.3.12 Definição O espaço topológico X diz-se que é um espaçoC1 ou que verifica o 1º axioma da numerabilidade se cada ponto tem uma base de vizinhanças contável.

III.3.13 Observações (1) Atendendo a III.2.9 (1), todo o espaço metrizável é um espaço C1. (2) O espaço topológico N, C, C a topolgia cofinita (Exemplo III.1.2 (3)) é um espaçoC1 não metrizável. (3) Munindo R da topologia para a qual um conjunto A é aberto se e só se R\A é um conjunto contável ou A  , obtem-se um espaço topológico que não é um espaçoC1, como veremos em III.7.

III.3.14 Exercício Verifique III.2.12 (2).

III.3.15 Resolução Como se viu em III.2.9,N, C não é metrizável. Dado n ∈ N, o filtro das vizinhançasVnde n é uma base de vizinhanças do ponto n. Pela definição da topologia, tem-se_Vn  Fc : n ∉ F, F é um conjunto finito; Assim a função f : Fn → Vndefinida por fF  Fc_{, onde}

Fn é a classe dos subconjuntos finitos de X a que n não pertence é uma bijecção; donde o cardinal deVpé o cardinal deFp, portanto não excede #0.

III.3.16 Observação Dado o espaço topológicoX, T, x ∈ X, o menor número cardinal

x, X, T dos números cardinais das bases de viznhanças de x diz-se o carácter

deX, T no ponto x. O carácter de X,T é o número cardinal

X, T  supx,X,T : x ∈ X. Assim dizer que um espaço topológico é um espaço

C1 é o mesmo que dizer que o espaço tem um carácter contável.

III.3.17 Definição Se C é um subconjunto do espaço topológico X, W ⊃ A ⊃ C, onde A é um aberto, diz-se que o conjunto W é uma vizinhança de C.

III.3.18 Definição Diz-se que o espaço topológicoX, T é um espaço C2 ou que verifica o 2º axioma da numerabilidade se existe uma base contável da topologiaT.

III.3.19 Observações. (1) Conclui-se do Teorema II.7.7 que todo o espaço topológico X metrizável para uma métrica d e tal queX, d é separável, é um espaço C2; e se X, d não é separável, então não é um espaçoC2 quando munido da topologia associada à métrica. Em particular,R, D, D a topologia discreta, não é um espaço C2.

III.3.20 Exercício Prove que todo o espaçoC2 é um espaço C1.

III.3.21 Resolução SejaX, T um espaço C2, B uma base contável da topologia. Se

a ∈ X e A é um aberto tal que a ∈ A então existe B ∈ B, a ∈ B ⊂ A. Logo se V é uma

vizinhança de a, existem A ∈ T, B ∈ B, a ∈ B ⊂ A ⊂ V. Postanto a classe Ba  B ∈ B : a ∈ B é uma base contável de vizinhanças do ponto a.

III.3.22 Observação Dado um espaço topológicoX, T, diz-se peso (weight) do espaço o número cardinal ínfimo da classe dos números cardinais das bases da topologiaT, e nota-seX, T. Assim um espaço topológico X,T ter peso X,T ≤ #0 significa que