L’´equit´e est souvent une notion intuitive. Dans un r´eseau Ad-Hoc, chaque noeud est susceptible d’´emettre ou de recevoir des paquets. Regardant un tel r´eseau, comment dire si son fonctionnement est ´equitable ? Est-il ´equitable si chaque noeud acc`ede pendant la mˆeme dur´ee aux ressources du r´eseau ? Ou bien, le r´eseau est ´equitable si chaque noeud transmet la mˆeme quantit´e de paquets ? Dans ce cas, faut-il comptabiliser les paquets de contrˆole, ou uniquement l’information ”utile” ? Si nous nous pla¸cons au niveau d’un noeud, si celui-ci ne re¸coit jamais de paquets, cela lui donnera un sentiment d’injustice. Faut-il donc ´evaluer l’´equit´e en fonction des paquets re¸cus ? Nous pouvons constater que la notion d’´equit´e peut avoir un sens tr`es diff´erent.
Un autre probl`eme que nous pouvons soulever est de savoir comment quantifier l’´equit´e. Dans un r´eseau, si 80% des noeuds ´emettent le mˆeme nombre de paquets, nous voulons dire que ce r´eseau est plus ´equitable qu’un r´eseau ou seulement 10% des noeuds ´emettent le mˆeme nombre de paquets. L’article [74] tente de r´epondre `a ces questions en introduisant l’index d’´equit´e.
4.2.2 Propri´et´e de l’index d’´equit´e
Nous voulons ´evaluer l’´equit´e d’un syst`eme distribu´e pour une population donn´ee. Dans notre cas, il s’agit de l’allocation de certaines ressources pour un r´eseau comportant un certain nombre de noeuds. Nous souhaitons ´evaluer l’´equit´e pour l’acc`es `a ces ressources dans le r´eseau. Pour cela nous d´efinissons l’index d’´equit´e ayant comme propri´et´es :
— d’ˆetre ind´ependant vis `a vis la taille de la population : l’index devra s’applique quel que soit le nombre de noeuds, fini ou infini.
— d’ˆetre ind´ependant vis `a vis de la m´etrique et de l’´echelle : l’index d’´equit´e s’applique pour une ressource donn´ee. Cet index ne devra pas d´ependre de l’unit´e de mesure appliqu´ee `a cette ressource.
— ˆetre dans l’intervalle [0, 1] : nous voulons un index qui peut s’exprimer comme un pourcen-tage.
— ˆetre une fonction continue : nous voulons qu’une variation sur l’allocation d’une ressource implique une variation de l’index d’´equit´e.
4.2.3 D´efinition de l’index d’´equit´e
L’index d’´equit´e est une fonction qui d´epend des ressources x dont on veut mesurer l’´equit´e pour une population donn´ee.
D´efinition 9 (Index d’´equit´e). Dans un syst`eme distribu´e, chaque entit´e i se voit attribuer une ressource xi. L’index d’´equit´e f (x) est la fonction :
f (x) = n X i=1 xi !2 n n X i=1 x2i xi≥ 0
o`u n repr´esente le nombre total d’entit´es.
Remarque. L’index d’´equit´e est proche de notre intuition. Supposons que les ressources allou´ees xi
Si par contre une seule entit´e se voit attribuer une ressource x1, on a alors : f (x) = x 2 1 nx2 1 = 1 n On a alors lim
n→+∞f (x) = 0, l’in´egalit´e augmente et l’index devient nul si le nombre d’entit´es augmente.
Les exemples suivants montrent que l’index d’´equit´e mesure bien le manque d’´egalit´e d’un syst`eme de ressources distribu´ees.
Example. Supposons que nous avons un syst`eme distribu´e compos´e d’une population de 100 per-sonnes et que nous voulons r´epartir 20 euros entre ces personnes. Nous pouvons :
— donner 0,2 euros `a chaque personne : c’est une r´epartition ´equitable et l’index d’´equit´e vaut 1.
— donner 2 euros `a 10 personnes : l’index d’´equit´e vaut alors 0, 1, soit 10%. — donner 1 euros `a 20 personnes : l’index d’´equit´e vaut alors 0, 2, soit 20%.
D´efinition 10 (Index de discr´emination). L’index de discrimination est l’index qui mesure l’in´egalit´e d’un r´eseau. Il est donn´e par la formule :
fd(x) = 1 − f (x) C’est le compl´ementaire `a 1 de l’index d’´equit´e.
L’index d’´equit´e permet de mesurer le niveau d’´equit´e d’un syst`eme distribu´e. Nous allons l’appliquer aux r´eseaux Ad-Hoc. Ici le syst`eme est compos´e des noeuds du r´eseau. Pour chaque noeud, nous choisissons d’utiliser le nombre de paquets ´emis ou re¸cus comme mesure de la ressource que nous ´etudions. Ainsi un r´eseau ´equitable sera un r´eseau o`u tous les noeuds ont un taux d’´emission similaire. Ceci correspond `a la notion d’´equit´e donn´ee au chapitre 3.
4.2.4 L’´equit´e pour les simulations de l’algorithme distribu´e
Nous pouvons d’ailleurs tracer l’index d’´equit´e des simulations du chapitre 3. Par exemple,la fi-gure 3.17 qui repr´esente les paquets envoy´es en fonction du temps permet de tracer l’index d’´equit´e :
Figure 4.1 – Index d’´equit´e pour r = 1
Nous remarquons que pour r = 1 nous avons un comportement ´equitable du r´eseau. Ce qui ´etait signal´e dans le chapitre 3. L’index d’´equit´e est coh´erent avec l’intuition que nous avons sur la notion d’´equit´e. Regardons comment ´evolue cette ´equit´e en changeant le param`etre r.
Pour r = 5 nous avons la figure 4.2.
Figure 4.2 – Index d’´equit´e pour r = 5
L’index d’´equit´e est plus faible, environ 0, 8. Ce qui montre que les flux ont des d´ebits diff´erents. La figure 3.18 montre 3 groupes de flux. Le plus important comporte 10 flux sur 15. Il y a donc
10
Pour r = 30 on a un index d’´equit´e qui varie selon la figure 4.3.
Figure 4.3 – Index d’´equit´e pour r = 30
Nous remarquons que l’index d’´equit´e est stable `a 0, 37 ce qui est plutˆot mauvais. En regardant la figure 3.19, nous remarquons qu’il y a 5 flux qui ´emettent r´eguli`erement des paquets. On a donc
5
15 ≈ 0, 33% de flux en ´emissions, ce qui est proche de 0, 37.
Ces quelques exemples montrent que l’index d’´equit´e correspond bien `a la notion intuitive qu’on a de l’´equit´e. L’index permet aussi de mesurer l’importance du comportement ´equitable ou non. Mais ici, on a ´evalu´e l’index d’´equit´e `a partir de simulations. Mais qu’en est-il pour un r´eseau quelconque ? Peut-on donner l’index maximal possible ? Pour essayer de r´epondre `a ces questions, nous proposons de faire une ´etude th´eorique sur des topologies particuli`eres.