3.2 Traces d’automates cellulaires
3.2.3 Ind´ecidabilit´e
Dans cette section, nous allons ´etudier les traces au regard de la cal-culabilit´e. En effet, on cherche `a savoir quelles propri´et´es des traces sont d´ecidables. On pourrait tout d’abord se demander s’il est possible, ´etant donn´ee une r`egle locale d’automate cellulaire, de calculer sa trace. Le probl`eme est qu’en g´en´eral, les sous-shifts ne sont pas finiment repr´esen-tables et donc ne peuvent ˆetre la sortie d’un algorithme. Un algorithme peut cependant, en simulant l’automate sur toutes les configurations, ´enum´erer L(Σ).
Ainsi, les seules questions de d´ecidabilit´e que l’on peut se poser `a pro-pos des traces concernent leurs propri´et´es : le fait que la trace d’un automate cellulaire donn´e soit sofic, le fait que c¸a soit SNtout entier, etc. ´Etudier les propri´et´es d’objets induits par les mod`eles de calculs a d´ej`a ´et´e fait dans d’autres domaines de l’informatique et mˆeme des automates cellulaires. En effet, le th´eor`eme de Rice pour les fonctions r´ecursives prouve que toute propri´et´e non triviale sur les fonctions calcul´ees par les machines de Turing est ind´ecidable (non triviale signifie qu’au moins une fonction calculable a la propri´et´e et au moins une ne l’a pas). Concernant les automates cel-lulaires, dans [21, 5], des th´eor`emes de Rice concernant les propri´et´es des ensembles limites sont d´emontr´ees. On rappelle que l’ensemble limite de l’automate cellulaire f estS
k∈N fk(SZ).
Dans cette derni`ere partie, nous cherchons `a ´etablir un th´eor`eme de Rice concernant les traces des automates cellulaires. Le th´eor`eme en lui-mˆeme ne peut ˆetre «toute propri´et´e non triviale des traces est ind´ecidable» puisque certaines propri´et´es le sont. Par exemple, la propri´et´e «la trace contient le pr´efixe 01» est non triviale et d´ecidable : il suffit de regarder dans la r`egle locale s’il existe u et v tels queλ(u0v) = 1.
Formellement, une propri´et´e est un ensemble quelconque de sous-shifts. Afin d’´eviter les probl`emes de th´eorie des ensembles, nous sup-poserons que les alphabets de ces sous-shifts sont tous sous-ensembles de N. Ainsi, un propri´et´e P est un sous-ensemble de :
{Σ ⊂ NN, les lettres de Σ sont en nombre fini et Σ est un sous-shift} . Nous allons donc nous restreindre aux propri´et´es stables par nilpotence, dont la d´efinition est la suivante :
3.2. TRACES D’AUTOMATES CELLULAIRES 81
D´efinition 19(stabilit´e par nilpotence). Un sous-shift Σ sur l’alphabet S est
nilpotent s’il existe une lettre a ∈ S et un entier n tels que toute configuration x ∈Σ v´erifie ∀k > n, xi = a. En particulier, le sous-shift est fini.
Une propri´et´e P est stable par nilpotence si pour tout sous-shift Σ et tout sous-shift nilpotentΞ, on a :
Σ ∈ P ⇔ Σ ∪ Ξ ∈ P . Dans [11], on prouve le th´eor`eme suivant :
Th´eor`eme 14(J. C. et P. Guillon, [11]). Une propri´et´e P est triviale si pour
tout automate cellulaire f sur un alphabet fini inclus dansN, Tf ∈ Pou si pour tout automate cellulaire f sur un alphabet fini inclus dansN, Tf < P.
Si P est une propri´et´e stable par nilpotence et non triviale, le probl`eme :
instance : un automate cellulaire f sur un alphabet fini inclus dansN ;
question : est-ce que Tf ∈ P?
est ind´ecidable. `
A nouveau, pour d´emontrer ce r´esultat, on commence par prouver un r´esultat plus simple. Ce dernier concerne d’une part les polytraces au lieu des traces et d’autre part la propri´et´e qui contient tous les full-shifts : {SN, S ⊂ N et |S| < ∞}.
Soit F(S), le probl`eme suivant :
instance :un automate cellulaire f sur Snpour un certain n ;
question :est-ce que T×
f = SN?
Pour prouver que le probl`eme F(S) est ind´ecidable, nous allons le r´eduire au probl`eme de savoir si un automate cellulaire est nilpotent, prouv´e ind´ecidable dans [20]. Un automate cellulaire est nilpotent s’il existe k tel que pour toute configuration x, fk(x) =0. Toutefois, nous avons besoin de l’ind´ecidabilit´e d’un probl`eme un peu plus simple. Premi`erement, on res-treint le domaine du probl`eme aux automates cellulaires dont l’´etat 0 est envahissant, ce qui signifie que d`es qu’il apparaˆıt dans le voisinage d’une cellule, alors `a la prochaine it´eration, la cellule prend cet ´etat (pour tout mot u contenant 0 de taille 2r+ 1 o `u r est le rayon de l’automate, l’applica-tion de la r`egle locale sur u donne 0). La preuve de [20] nous permet cette restriction. Deuxi`emement, nous restreignons encore le domaine aux auto-mates cellulaires `a sens uniques, c’est-`a-dire dont la r`egle locale ne d´epend pas des ´etats des cellules `a gauche de la cellule o `u elle s’applique. Ceci ne diminue pas la g´en´eralit´e du probl`eme puisqu’un automate cellulaire quelconque de rayon r est nilpotent si et seulement l’automate cellulaire `a sens unique f ◦σrest nilpotent. Enfin, changer 0 en un autre ´etat ne change pas l’ind´ecidabilit´e ; on l’appellera ´etat de nilpotence.
82 CHAPITRE 3. ´ETUDE DYNAMIQUE DU CHAOS Apr`es ces consid´erations, nous sommes `a mˆeme de prouver la propo-sition suivante :
Proposition 25 (J. C. et P. Guillon, [11]). Pour tout alphabet S, le probl`eme
F(S) est ind´ecidable.
Preuve. Notre m´ethode pr´esente des similarit´es avec la preuve du principal r´esultat de [29].
Soit f un automate cellulaire `a sens unique, de rayon r > 0 sur un alphabet quelconque, dont l’´etat z est envahissant. Quitte `a coder les lettres de f avec des mots sur l’alphabet S, en consid´erant que les lettres mal cod´ees sont l’´etat z pour l’application de la r`egle locale, on peut consid´erer que l’alphabet de f est Sk pour un certain k et que (0, . . . , 0) est l’´etat de nilpotence. Cette modification ne change pas f au regard de la nilpotence. Notons λ la r`egle locale de f . On introduit l’automate cellulaire σ } f de rayon r sur l’alphabet Sk+1par sa r`egle localeµ dont la d´efinition est :
µ : (S × Sk)2r+1 → S × Sk (a0, x0). . . (a2r, x2r) 7→ ( (a1, λ(x0. . . x2r)) si x0, (0, . . . , 0) (0, (0, . . . , 0)) sinon .
Cet automate se comporte presque comme le produit cart´esien du shift et de f , sauf que lorsque la partie correspondant `a f devient (0, . . . , 0), la premi`ere partie devient 0.
Montrons d’abord que si f n’est pas nilpotent, il existe une configu-ration c ∈ (Sk)Z telle que pour toute position i ∈ Z et tout temps t ∈ N, ft(c)i , (0, . . . , 0). En effet, les diagrammes espace-temps sont similaires `a des pavages par tuiles de Wang puisque la r`egle locale devient une contrainte locale : la lettre que l’on peut mettre dans la case (i, t) est enti`erement fix´ee par celles des cases (i − r, t − 1) . . . (i + r, t − 1). Ainsi, s’il existe dans un diagramme espace-temps des motifs de plus en plus grands sans occurrences de l’´etat (0, . . . , 0), on peut en d´eduire par compa-cit´e ou par extraction diagonale un diagramme espace-temps respectant la r`egle locale sans aucune occurrence de (0, . . . , 0). Ainsi, si une telle configu-ration c n’existe pas, cela signifie que pour tout diagramme espace-temps, il existe un entier l tel que, pour toute position i, il existe un temps t ∈ ~0, l et une position j v´erifiant |i − j| 6 l tels que (0, . . . , 0) se trouve sur la case ( j, t). Comme (0, . . . , 0) est envahissant, on en d´eduit que la configuration au temps m = l + dl
re est (0, . . . , 0) et donc que l’automate cellulaire f est nilpotent (plus pr´ecis´ement, fm(x)=(0, . . . , 0) pour toute configuration x).
Si f est nilpotent, alors σ } f aussi et l’´etat de nilpotence est l’´etat (0, (0, . . . , 0)). Dans ce cas, T×
σ} f est aussi nilpotent. Sinon, d’apr`es le pa-ragraphe pr´ec´edent, il existe une configuration c ∈ (Sk)Z telle que pour
3.2. TRACES D’AUTOMATES CELLULAIRES 83 toute position i ∈ Z et tout temps t ∈ N, ft(c)i , (0, . . . , 0). Ainsi, sur la configuration initiale (x, c) pour x ∈ SZ quelconque, σ } f se comporte v´eritablement comme un produit cart´esien car la composante qui applique
f ne contient aucun (0, . . . , 0). Ainsi, T×
σ} f contient toute la trace du shift soit SN, c’est-`a-dire l’ensemble complet. Ainsi, si f est nilpotent la trace de σ } f est nilpotente et sinon c’est SN, ce qui ach`eve de prouver la r´eduction du probl`eme de la nilpotence d’un automate cellulaire `a F(S). Ce r´esultat montre que la propri´et´e particuli`ere «contenir toutes les configurations» est ind´ecidable pour la polytrace. Pour l’´etendre et d´e-montrer le th´eor`eme 14, nous commenc¸ons par prouver l’ind´ecidabilit´e de toute propri´et´e stable par nilpotence et non triviale concernant la polytrace :
Proposition 26 (J. C. et P. Guillon, [11]). Soit P une propri´et´e non triviale,
stable par nilpotence. Le probl`eme :
instance : un automate cellulaire f sur un alphabet fini inclus dansN ;
question : est-ce que T×
f ∈ P? est ind´ecidable.
Preuve. Soit h un automate cellulaire tel que T×
h ∈ P, Sh son alphabet, ~ un automate cellulaire tel que T×
~ < P et S~ son alphabet. Soit R = Sh∪S~. Si RN ∈ P, on choisit g= ~ et sinon, on choisit g = h. On ´etend g `a l’alphabet R en consid´erant les lettres de R \ Sgcomme la plus petite lettre de Sgpour l’application de la r`egle locale. On obtient l’automate cellulaire g0
sur R. Seule la premi`ere lettre de la polytrace de g0
change par rapport `a celle de g et comme P est stable par nilpotence, T×
g0 ∈ P ⇔ T× g ∈ P.
Lors de la preuve du th´eor`eme pr´ec´edent, pour f automate cellulaire `a sens unique donn´e sur un alphabet quelconque, on construit un automate cellulaireσ } f sur l’alphabet Rktel que T×
σ} f est nilpotent si f est nilpotent et T×
σ} f = RNsinon.
On consid`ere l’automate cellulaireσ} f × g0
sur l’alphabet Rk+1, produit cart´esien deσ } f et h0
. Par d´efinition de la polytrace : T× σ} f ×g0 = T× σ} f ∪ T × g0 . Si f est nilpotent, T×
σ} f est nilpotent et comme P est stable par nilpotence, T×
σ} f ×g0 ∈ P ⇔ T×
g ∈ P. Si f n’est pas nilpotent, T×
σ} f = RNet donc T× σ} f ×g0 = RN. Ainsi, T×
σ} f ×g0 ∈ P ⇔ RN ∈ P. Ainsi, si RN < P, on a choisi g tel que T×
g ∈ P, alors f est nilpotent si et seulement si T×
σ} f ×g0 ∈ P. Si RN ∈ P, on a choisi g tel que T×
gh < P, alors f est nilpotent si et seulement si T×
84 CHAPITRE 3. ´ETUDE DYNAMIQUE DU CHAOS On a bien r´eduit le probl`eme de nilpotence `a la d´ecision de la propri´et´e P concernant les polytraces. Notons qu’une preuve analogue et plus simple permet de prouver le mˆeme th´eor`eme en fixant l’alphabet `a {0, 1} ou n’importe quel autre alphabet fini.
Note. La r´eduction pr´ec´edente est une r´eduction many-one, mais le sens de la question d´epend de la propri´et´e puisque cela d´epend de la position de RN. Ceci ´etait pr´evisible puisqu’il est normal que le fait d’ˆetre ´enum´erable ou co-´enum´erable d´epende de la propri´et´e (les r`egles d’automates cellulaires nilpo-tents sont ´enum´erables). Bien s ˆur, il existe des propri´et´es ni ´enum´erables ni co-´enum´erables.
Pour passer de la polytrace `a la trace, comme pour la proposition 24, il est n´ecessaire de d´efinir des bords. Dans ce cas, la construction des bords est simplifi´ee par le fait que la propri´et´e est stable par nilpotence. En effet, on peut par exemple d´efinir le mot du bord comme 10l, pour un l bien choisi. Pour les besoins de la construction, il peut ˆetre n´ecessaire de d´etruire le bord `a la premi`ere it´eration en cas de configuration qui code mal la simulation de l’automate sur Sk par un automate sur S. Ainsi, la trace de l’automate simulant est la polytrace de l’automate simul´e plus le sous-shift {10∞, 0∞, 1∞
} qui est nilpotent. Elle conserve donc le respect ou le non-respect de la propri´et´e.
Parmi les propri´et´es non triviales, stables par nilpotence, on trouve notamment :
– le fait d’ˆetre sofic ;
– le fait d’ˆetre de type fini ; – le fait d’ˆetre de cardinal fini ;
– le fait de ne contenir que des configurations ultimement p´eriodiques. Le fait d’ˆetre stable par nilpotence est en g´en´eral synonyme de propri´et´e asymptotique qui ne d´epend pas du d´ebut de l’´evolution. On peut `a pr´esent se demander quelles sont les propri´et´es non stables par nilpotence qui sont ind´ecidables afin de fournir un th´eor`eme de Rice complet. Par exemple, on peut s’interroger sur l’ind´ecidabilit´e de la propri´et´e «ne contient que des configurations p´eriodiques».
3.3 Perspectives
En ce qui concerne les automates de sable, la classe la plus adapt´ee `a la mod´elisation des tas de sables est celle des automates de sable iso-chores. Son ´etude pourrait donc conduire `a des propri´et´es dynamiques
3.3. PERSPECTIVES 85 int´eressantes et pertinentes. Cependant, on manque d´ej`a dans le cas g´en´eral de r´esultats forts et les probl`emes sont difficiles `a r´esoudre. De plus, la seule diff´erence entre un automate de sable et un automate cellulaire, du point de vue de la r`egle, est la coh´erence. Ainsi, on ajouterait la contrainte d’ˆetre isochore `a un mod`ele dont la dynamique est d´ej`a complexe. Il est donc probable que cela ne complique encore la progression. Une id´ee pour sim-plifier serait de chercher un mod`ele qui respecte de mani`ere intrins`eque les contraintes physiques que l’on souhaite mod´eliser. Naturellement, il faut pouvoir y associer une topologie et obtenir un th´eor`eme de repr´esentation comparable aux th´eor`emes 1 et 11 afin d’en ´etudier la dynamique.
`
A propos des traces, l’´etude n’en est qu’`a ses d´ebuts et de nombreux probl`emes restent `a ´elucider. On peut par exemple ´etudier la trace dont la largeur est sup´erieure `a une cellule, les trace diagonales ou les traces obtenues en se restreignant `a l’ensemble limite. Ce dernier cas correspond `a l’observation du ph´enom`ene une fois la phase transitoire pass´ee, ce qui est souvent le cas, par exemple pour les exp´eriences d’´electricit´e o `u l’on n’observe que le r´egime p´eriodique stable, la phase transitoire ´etant trop courte et trop bruit´ee pour ˆetre pertinente. Enfin, on peut aussi s’int´eresser `a reconstruire, `a partir de la donn´ee de la trace, un automate cellulaire et une projection lettre-`a-lettre tels que la projection de la trace de l’automate soit la trace recherch´ee (formellement, `a partir d’un sous-shift Σ, on cherche un automate cellulaire f et une projection π telle que Σ = π(Tf)). Ceci pourrait mod´eliser le fait que l’on observe rarement la totalit´e des facteurs du ph´enom`ene mais seulement certains.
Index
~·, 10 βp, 60 dC, 10 Dom, 29 EΩ, 60 Mp, 60 O, 9 ϕ0, 31 s, 13 automate cellulaire, 11, 13automate cellulaire `a sens unique, 81 automate de sable, 60
classes de K ˚urka, 15 coh´erence, 64
complexit´e classique, 45 complexit´e d’un objet, 33
complexit´e de Kolmogorov, 27, 28 d´efinition, 31 syst`eme de repr´esentation, 29 configuration, 10 automate de sable, 60 finie, 15 monochromatique, 13 p´eriodique, 13 spatialement p´eriodique, 13 temporellement p´eriodique, 13, 22
conservant le nombre de grain, 67 cylindre, 10 automate de sable, 62 diagramme espace-temps, 13 dimension, 10 distance algorithmique, 51 distance de Besicovitch, 22 distance de Cantor, 10 domaine, 29 ´el´evation, 64 ensemble limite, 42, 80 ´equicontinuit´e, 15 espace de Cantor, 10 espace des phases, 9, 10 ´etat de nilpotence, 81 ´etat envahissant, 81 expansivit´e, 15, 18 fonction calculable, 29 fonction partielle, 29 forte transitivit´e, 19 incompressibilit´e, 35 incompressibilit´e sachant f , 36 isochore, 67 Martin L ¨of, 37 mot bloquant, 16 mot incompressible, 35 mot ind´ependant, 36 motif, 10 orbite, 9 pav´e, 10 permutatif, 18 polytrace, 76 pseudo-distance de Besicovitch, 22 86
INDEX 87 reconnaissance de langage, 45 r`egle locale, 11 relev´e, 60 sensibilit´e, 15, 17 shift, 10 automate de sable, 64 shift-invariance, 10 sous-shift, 72 syst`eme de repr´esentation, 29 additivement optimal, 30 syst`eme dynamique, 9 discret, 9 th´eor`eme de Hedlund, 12 th´eor`eme de Moore-Myhill, 15 th´eor`eme de repr´esentation, 12 topologie de Cantor, 10 trace, 72 transitivit´e, 18, 77 forte, 19 unidirectionnel, 45
Table des mati`eres
Introduction 5
1 Syst`emes dynamiques, automates cellulaires et classification du
chaos 9
1.1 Syst`emes dynamiques . . . 9
1.2 Automates cellulaires . . . 13
1.3 Classification topologique du chaos . . . 15
1.4 Espace de Besicovitch . . . 21
2 Automates cellulaires et complexit´e algorithmique 27 2.1 Complexit´e de Kolmogorov . . . 28
2.1.1 Notions et d´efinitions . . . 29
2.1.2 Relations ´el´ementaires . . . 31
2.1.3 Incompressibilit´e . . . 35
2.2 Aide `a la preuve . . . 38
2.2.1 Incompressibilit´e dans les automates cellulaires . . . 38
2.2.2 Application `a la transitivit´e dans l’espace de Besico-vitch . . . 43
2.2.3 Application `a la complexit´e des automates cellulaires 45 2.3 Complexit´e algorithmique g´en´er´ee par un AC . . . 48
2.3.1 Automate cellulaire `a ´evolution ultime complexe . . 48
2.3.2 Distance algorithmique . . . 50
2.4 Perspectives . . . 57
3 ´Etude dynamique du chaos 59 3.1 Automates de sable . . . 60
3.1.1 Cadre topologique . . . 60
3.1.2 Mod´elisation . . . 63
3.1.3 Propri´et´e des automates de sable . . . 67
3.2 Traces d’automates cellulaires . . . 72
3.2.1 Reconstruction de la r`egle `a partir de la trace . . . 74 89
90 TABLE DES MATI `ERES 3.2.2 De la polytrace `a la trace . . . 79 3.2.3 Ind´ecidabilit´e . . . 80 3.3 Perspectives . . . 84 Bibliographie personnelle 95 Th`ese . . . 95
Conf´erences internationales avec comit´e de lecture . . . 95
Articles de revues internationales avec comit´e de lecture . . . 96
Chapitres de livres . . . 96
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lec-ture
1. Cervelle (J.) et Durand (B.). – Tilings : recursivity and regularity. Dans : Symposium on Theoretical Aspects of Computer Science (STACS), ´ed. par Reichel (H.) et Tison (S.). pp. 491–502. – Springer, 2000.
2. Cervelle (J.), Durand (B.) et Formenti (E.). – Algorithmic information theory and cellular automata dynamics. Dans : Mathematical Founda-tions of Computer Science (MFCS), ´ed. par Sgall (J.), Pultr (A.) et Kolman (P.). pp. 248–259. – Springer, 2001.
3. Blanchard (F.), Cervelle (J.) et Formenti (E.). – Periodicity and tran-sitivity for cellular automata in besicovitch topologies. Dans :