Indépendances et critères graphiques

Un DAG encode des indépendances graphiques via la présence ou absence de flèches. En effet l’absence de flèche entre deux noeuds (V_iV_j) traduit l’indépendance graphique de ceux-ci (notéV_i⊥⊥V_j). Alors que la présence d’une flèche (V_i → V_j ouV_i ← V_j) traduit la dépendance des deux noeuds (noté V_i ⊥6 ⊥V_j). On parle ici d’association directe. Cependant bien que deux noeuds ne soient pas reliés par une flèche, il peut toujours y avoir un chemin ouvertentre les deux, on parle alors d’association indirecte. Dans la figure 1.2b, les noeuds A et D ne sont pas reliés directement par une flèche, cependant ils sont associés graphiquement car il y a un chemin ouvert entre les deux (A→ B → D). Toujours dans la 1.2b, A et C sont indépendants graphiquement de façon directe car il n’y a pas de flèche entre les deux noeuds ; et ils sont également indépendants de façon indirecte car il n’y aucun chemin ouvert entre les deux. En plus des indépendances deux à deux, un DAG encode graphiquement les indépendances conditionnelles des noeuds via la notion ded-séparation. Pour les noeudsV_i,

V_j etV_kdu DAG G, afin de tester l’indépendance deV_i par rapport àV_k sachantV_j, il suffit de voir si le noeudV_j «bloque » tous les chemins entreV_i etV_k.

Définition 1.2.2. d-séparation

Si A, B etC sont trois sous ensembles disjoints de noeuds dans le DAG G, alors Aest dit d-séparé (ou indépendant) de B sachant C (noté A⊥⊥ B|C), si dans chaque chemin entre un noeud de A et un noeud de B il y a un noeud v qui satisfait l’une des deux conditions suivantes :

1. v est un collider et niv ni ses descendants (i.e., tous les noeuds qui ont un chemin ouvert jusqu’àv) appartiennent àC.

2. v appartient àCet n’est pas un collider.

L’idée qu’il y a derrière la d-séparation peut être plus facilement comprise si l’on attribue une signification causale aux flèches du graphe (cf chapitre 2). Dans les chemins

1.2. Théorie des graphes 11

V_i → V_j → V_k et V_i ← V_j → V_k, les deux variables extrêmes sont marginalement dépendantes mais deviennent indépendantes les unes des autres quand l’on conditionne sur la variable du milieu. Graphiquement, conditionner sur une variable qui n’est pas un collider revient à bloquer le chemin entre deux variables puisqueV_i n’a pas d’effet direct surV_k sa-chantV_j. Inversement, quand on a le cheminV_i →V_j ←V_k, représentant deux causes ayant un effet commun, conditionner a l’effet inverse. Si les deux variables extrêmes sont indé-pendantes, elles deviendront alors dépendantes conditionnellement àV_jou à ses descendants.

V₁ (Recevoir sa paye) V₂ (Buffet à volonté) V₃ (Cantine universitaire) V4 (Mal de ventre) V₅ (Spasfon^R ₎

FIGURE1.3 –Un DAG représentant les dépendances entre 5 variables.

Exemple. Dans la figure 1.3, manger à la cantine universitaire ou bien au buffet à volonté est lié au fait de recevoir sa paye. Cependant une fois que l’on sait si on a reçu sa paye (conditionner sur le fait de recevoir la paye), manger au buffet ou au restaurant universitaire devient indépendant ; alors que prédire si l’on va avoir mal au ventre et avoir besoin de Spasfon^R _{rend les restaurants universitaires et le buffet dépendant. Dans la figure 1.3,A=} {V₃}et C = {V₂}sontd-séparésparC = {V₁}, car les deux chemins connectantV₂ et V₃

sont bloqués parC. Le cheminV₂ → V₁ →V₃ est bloqué carV₁car il respecte la condition 2 de la d-séparation, et le cheminV₂ →V₄ ←V₃est bloqué carV₄respecte la condition 1 de lad-séparation(V₄ est un collider et niV₄ ou un de ses descendants appartiennent àC). Remarque. A={V₃}etB={V₂}ne sont cependant pas d-séparés parC’ ={V₁, V₅}. Le cheminV₂ → V₄ ← V₃ n’est pas bloqué parC’puisqueV₅ est un descendant deV₄ et qu’il appartient àC’. La condition 1 de la d-séparation n’est plus respectée.

Suivant les propriétés graphiques décrites dans le paragraphe précédent, il peut arriver que deux DAGs différents encodent les mêmes dépendances. Si l’on reprend le DAG de la figure 1.3, le chemin V₁ → V₂ → V₃ coderait les mêmes indépendances que V₁ ← V₂ ← V₃, à savoirV₁ ⊥6 ⊥(V₂, V₃), V₂ ⊥6 ⊥(V₁, V₃) etV₁ ⊥⊥V₂|V₃. En effet dans les deux DAGs,V₁ est dépendant deV₂ car il y a une flèche orientée, et dépendant deV₃car il y a un chemin ouvert entreV₁etV₃. BloquerV₂dans les deux DAGs rendV₁etV₃indépendants. Dans ce contexte, on va définir ces deux DAGs comme appartenant à la mêmeclasse équivalente de Markov ou bien qu’ils sont Markov équivalents (Verma and Pearl, 1991; Andersson et al., 1997; Chickering, 1995).

Définition 1.2.3. Classe équivalente de Markov

Deux DAGs définis sur le même ensemble de noeudsVsont équivalents si et seulement si ils ont le même squelette et les mêmes v-structures.

Définition 1.2.4. v-structure

Un triplet de variables (V_i, V_j, V_k) est appelé v-structure quand les connexions sont de la formeV_i →V_j ←V_k avecV_iV_k.

Remarque. Une v-structure est une configuration spéciale du triplet non protégé qui est défini lui comme un triplet(V_i, V_j, V_k)avec V_i⊥6 ⊥V_j, V_j ⊥6 ⊥V_k mais avec V_i ⊥⊥V_k (Ramsey et al., 2006) .

Une classe équivalente de Markov ne peut être décrite que par un DAG partiellement complet communément appelé dans la littératurecompleted partially directed acyclic graph (CPDAG) ouessential graph(Andersson et al., 1997; Chickering, 2002a,b). L’interprétation des flèches dans un CPDAG est défini de la sorte : deux noeudsV_i etV_j sont indépendants dans le CPDAG s’ils sont séparés dans au moins un des DAGs de la classe équivalente de Markov . Une flèche dirigée V_i → V_j dans le CPDAG signifie que la flèche V_i → V_j

est présente dans chacun des DAGs de la classe équivalente de Markov. Enfin une flèche bidirigéeV_i ↔ V_j dans le CPDAG signifie qu’il existe un DAG de laclasse équivalente de MarkovavecVi →Vj et un autre DAG avecVi ←Vj.

Exemple. La figure 1.4 représente un CPDAG et les possibles DAGs que l’on peut obtenir à partir de celui ci. On remarque qu’en testant toutes les possibilités de direction des flèches, le DAG 4 crée une nouvellev-structureavec le tripletVj −→Vi ←Vlen introduisantVicomme collider. Le DAG 4 a le même squelette avec une v-structure modifiant les indépendances

1.2. Théorie des graphes 13 V_j V_k V_i V_l (a)CPDAG V_j V_k V_i V_l (b)DAG 1 V_j V_k V_i V_l (c)DAG 2 V_j V_k V_i V_l (d)DAG 3 V_j V_k V_i V_l (e)DAG 4

FIGURE 1.4 –Un CPDAG (a) et saclasse équivalente de Markov(b,c,d) et un DAG n’appartenant pas à laclasse équivalente de Markov(e).

conditionnelles (V_j ⊥6 ⊥V_ldevient V_j ⊥⊥V_l) : il ne fait donc pas parti de laclasse équivalente de Markovencodée par le CPDAG.