Les Q w sont inclus dans Q



^(q

α i,j

)∈R

S×I

;

pour tout α∈S, µ

α 1,1

�· · ·�µ

α 1,d

où

les µ

^α_1,j

sont définis à partir des q

_i,j^α

par les relations (3.6) habituelles







et (pour b�max(�

^d₄²

�+ 1, d+ 1)et) pour w∈^�

α∈S

S

_d

on pose Q

_w

=Q

^�_w

∩D.

Remarque 4.3.10. Par définition des�µ

α

j

(voir l’introduction de la section 4.1) on aD={x∈

R

S×I

; ∀α∈S,∀j∈[[1, d−1]],�

x|�µ

^α_j

�

� ^�x, �µ

^α_j+1

�

}. Ainsi D

^�

est le cône convexe engendré

par les vecteurs �µ

^α_j

−�µ

^α_j+1

.

Proposition 4.3.11. On supposeb�max(�

^d₄²

�+ 1, d+ 1). Alors A

_Qw,g,l

=�ρ

w

+D

w

+C

^�

.

Démonstration. D’après la proposition 4.3.8) on aA

_Q�_w,g,l

=�ρ

w

+D

w

, il suffit donc de montrer

queA

_Qw,g,l

=A

_Q�_w,g,l

+C

^�

.

Siy= (y

α j

)∈A

_Q�_w,g,l

etz= (z

α j

)∈C

�

on écrit

�

α,j

(y

_j^α

+z

_j^α

).�µ

^α_j

−�l=�

α,j

y

_j^α

.�µ

^α_j

−�l+�

α,j

z

_j^α

.�µ

^α_j

et le premier terme de la somme du membre de droite est dans(Q

^�_w

)

^�

. Montrons que le second

terme est dans D

�

: si t ∈ D, on a g(t) = (�

t, �µ

α j

�

) ∈ C (par définition de D et C) donc

� �

α,j

z

_j^α

.�µ

^α_j

, t�

=�

α,j

z

_j^α

.�

�

µ

^α_j

, t�

= �

z, g(t)�

�0. On a montréA

_Qw,g,l

⊇A

_Q�_w,g,l

+C

^�

.

Pour l’inclusion réciproque prenons y = (y

α

j

) ∈ A

_Qw,g,l

. Considérons encore t = (t

α

i,j

) ∈ D

�

tel que ^�

_α,j

y

^α_j

.�µ

^α_j

−�l₋t∈ (Q

^�_w

)

^�

, un tel t existe car Q

^�_w

= (Q

^�_w

)

^�

+D

^�

. On a vu dans la

remarque 4.3.10 que D

^�

est engendré par la famille (�µ

^α_j

−�µ

^α_j+1

)

_{α∈S, 1}�j�d−1

donc test de la

forme^�

_α,j

β

α j

(�µ

α j

−�µ

α j+1

)pour desβ

α j

∈R

+

. D’oùt=�

α

�

d j=1

(β

α j

−β

α j+1

).�µ

α j

où on a posé

β

₀^α

= β

_d^α

. Si z = (z

_j^α

) avec z

_j^α

= β

_j^α

−β

_j^α₊₁

, on a y−z ∈ A

_Q�_w,g,l

. Il suffit donc de montrer

z∈C

^�

. Or si v= (v

^α_j

)∈C on a

�z, v� =�

α,j

z

_j^α

v

^α_j

=�

α d−1

�

j=1

β

_j^α

.(v

^α_j

−v

_j^α₋₁

)�0.

On a montréA

_Qw,g,l

⊆A

_Q�_w,g,l

+C

^�

.

4.3.3 Les Q

_w

sont inclus dans Q

Avant de donner la preuve du théorème 4.3.1, il reste à vérifier que les Q

_w

sont inclus dans

Q. Chaque cône convexe Q

^�_w

est inclus dans Q

_w

donc d’après la remarque 4.3.7, seul le jeu

d’inégalités (III) de la définition deQreste à vérifier. Pour cela on raisonne par récurrence sur

d. Ainsi siw = (w

_α

)∈ ^�

α∈S

S

_d

, il correspond à w une famille (indéxée par S) de tableaux

triangulaires comme dans la figure 4.1. Pour avoir le pas de récurrence, il s’agit de définir un

élément de^�

_α∈S

S

_d−1

correspondant à la famille des tableaux auxquels on retire la première

ligne (et auquels on retire 1à chaque case). C’est l’objet de la sous-section suivante.

4.3. LE CALCUL DEA

_Q,G,L

101

La permutation des perdants

La terminologie de permutation des perdants vient de [Car].

Définition 4.3.12. Soitω∈S

d

.

Pour i∈[[1, d]], on dit que ω(i) est un record de ω, atteint en positioni, si ω(j) < ω(i) pour

toutj < i.

La permutation des perdants de ω est la permutation ω

^�

∈ S

_d−1

définie par récurrence par

ω

^�

(i) = min (ω([[1, i+ 1]])\ω

^�

([[1, i−1]])).

Sid�2 on montre par récurrence surique

ω([[1, i+ 1]])\ω

^�

([[1, i−1]]) ={ω(i+ 1),dernier record de ω apparaissant au plus eni}.

On a le lemme suivant (on rappelle que siω∈S

_d

est une permutation,ω

^∗

est la permutation

définie parω

^∗

(i) =d+ 1−ω

⁻¹

(i)).

Lemme 4.3.13. On suppose d�2. Soient w= (w

_α

) ∈^�

_α∈S

S

d

et ω = (ω

_α

)∈^�

_α∈S

S

d−1

tels que pour toutα, ω

_α^∗

= (w

^∗_α

)

^�

.

Alors pour tousα et (i, j)∈I

^�

={(s, t)∈[[1, d−1]] ; s�t}on a ord

^α_ω

(i, j) =ord

^α_w

(i+ 1, j+

1)−1.

Démonstration. Le lemme se démontre «α parα», on omet donc les indices α. Soit s�2,

on note w

^∗

={t

^�₁

>· · ·> t

^�_s

}. Soit i

0

∈[[1, s]] tel quet

^�_i0

=w

^∗

(s). On a

I

_s

(w)\I

_s−1

(w) =

s

�

i=i0

{i} ×[[d+ 1−t

^�_i

, d−t

^�_i+1

]]

avec t

^�_s+1

= 0.

Siw

^∗

(s) n’est pas un record, on a i

0

>1 et(w

^∗

)

^�

(s−1) =w

^∗

(s) donc

#{j∈[[1, d]] ; ord

w

(1, j) =s}= 0 =w

^∗

(s)−(w

^∗

)

^�

(s−1).

Sinonw

^∗

(s) est un record donci

0

= 1 et(w

^∗

)

^�

(s−1)est le dernier record dew

^∗

avant s−1,

donc vautmax(w

^∗

([[1, s−1]])) et

#{j ∈[[1, d]] ; ord

_w

(1, j) =s}=t

^�_i0

−t

^�_i0+1

=w

^∗

(s)−(w

^∗

)

^�

(s−1).

Dans les deux cas on a#{j∈[[1, d]] ; ord

_w

(1, j) =s}=w

^∗

(s)−(w

^∗

)

^�

(s−1)donc#{(i, j)∈

I ; ord

_w

(i, j) =seti�2}= (w

^∗

)

^�

(s−1)i.e.

#{(i, j)∈I

^�

; ord

_w

(i+ 1, j+ 1)−1 =s−1}= (w

^∗

)

^�

(s−1).

Or sif est la fonctionI

^�

→[[1, d−1]],(i, j)�→ord

w

(i+1, j+1)−1, il est clair que pour remplir

les cases du tableau indexées par I

^�

, on met d’abord #{f = 1} = (w

^∗

)

^�

(1) fois le nombre 1

sur la première ligne dans les (w

^∗

)

^�

(1) dernières colonnes, puis(w

^∗

)

^�

(2) fois le nombre 2 sur

les(w

^∗

)

^�

(2)dernières colonnes le plus haut possible, etc ... (voir la remarque 4.3.6). Ainsi on

af =ord

_ω

.

Les inclusions Q

_w

⊆Q

On peut maintenant utiliser la notion de permutation des perdants pour démontrer les

inclu-sions desQ

_w

dansQ.

Définition 4.3.14. Siω∈S

_d

, on poseP

¹

(ω) =ω

^∗

et pouri∈[[1, d−1]],P

ⁱ⁺¹

(ω) = (P

ⁱ

(ω))

^�

.

Ainsi pour tout ion a P

ⁱ

(ω)∈S

_d+1−i

.

Proposition 4.3.15. Soit w= (w

_α

)∈^�

α∈S

S

_d

. On prend q= (q

_i,j^α

)∈Q

_w

=Q

^�_w

∩D. Pour

α∈S, soientq

α

1

�. . .�q

α

d

tels que pour tout (i, j)∈I, q

α

i,j

=q

α ordα

w(i,j)

. On considère lesµ

α

i,j

associés par les relations (3.6) aux q

_i,j^α

.

Alors pour tousα ∈S et(i, j)∈I on a

µ

^α_i,j

=b.q

₍^α_Pi(wα))−1(d+1−j)+i−1

−q

^F_j^◦α

.

Démonstration. Montrons d’abord la formule pouri= 1. On a

µ

^α_1,j

= b.q

^α_j,j

−q

_j,d^α

+b.

j−1

�

s=1

(q

^α_s,j

−q

_s,j^α ₋₁

)

= −q

^F_j^◦α

+b.

�

_j

�

s=1

q

_ord^α α w(s,j)

−

j−1

�

s=1

q

^α_ordα w(s,j−1)

�

or on montre que {ord

^α_w

(s, j) ; 1� s � j} = {s

^�

∈ [[1, d]] ; w

_α^∗

(s

^�

) � d+ 1−j} qui est de

cardinal j. De même,{ord

α

w

(s, j−1) ; 1�s�j−1} ={s

^�

∈[[1, d]] ; w

^∗_α

(s

^�

) �d+ 2−j}.

Ainsi si j�2, la différence de ces deux ensembles est {(w

^∗

)

⁻1

(d+ 1−j)}. Donc (y compris

sij = 1)

µ

^α_1,j

=b.q

^α_(P1(wα))−1(d+1−j)+1−1

−q

_j^F◦α

.

On fait alors un raisonnement par récurrence : supposons la formule démontrée pour i =

1, . . . , r avec r � d−1, et montrons là pour i = r + 1. On définit q

^�

= (q

_i,j^�α

) ∈ R

S×I�

où

I

^�

= {(i, j) ; 1 � i � j � d−1} par q

^�α

i,j

= q

α

i+1,j+1

. Soit ω = (ω

_α

) ∈ ^�

α

S

_d−1

tel que

ω

_α^∗

= (w

_α^∗

)

^�

. Alors par le lemme 4.3.13 on a q

^�

∈ Q

^�_ω

, avec des notations évidentes. On note

µ

^�_i,j^α

les «µ

^α_i,j

»associés àq

^�

, etq

^�₁^α

�. . .�q

_d^�α₋₁

les réels tels queq

_i,j^�α

=q

_ord^�α α

w(i,j)

.

Ainsi pour s∈[[1, d−1]]on aµ

^�α i,j

=µ

α i+1,j+1

etq

^�α s

=q

α s+1

.

Par l’hypothèse de récurrence on a si r+ 1�j�d,

µ

^α_r+1,j

= µ

^�_r,j^α₋₁

= b.q

₍^�α_Pr(ωα))−1((d−1)+1−(j−1))+r−1

−q

_j^�F₋^◦₁^α

= b.q

₍^α_Pr(ωα))−1(d+1−j)+r

−q

^�_j^F◦α

= b.q

₍^α_Pr+1(wα))−1(d+1−j)+(r+1)−1

−q

_j^�F◦α

ce qui est la formule demandée pouri=r+ 1.

Corollaire 4.3.16. On suppose b�max(�

^d₄²

�+ 1, d+ 1).

Si w∈^�

_α∈S

S

_d

, on a Q

w

⊆Q.

Démonstration. Soit q = (q

_i,j^α

) ∈ Q

_w

. On a Q

_w

= Q

^�_w

∩D. Or les éléments de Q

^�_w

vérifient

les jeux d’inégalités (I) et (II) de la définition de Q (voir la remarque 4.3.7). Il reste donc à

vérifier le jeu (III) d’inégalités pourq. Le jeu (III) est

bq

_j^α_+1,j+1

−q

^F_j+1^◦α_,d

+b

j

�

s=i+1

(q

_s,j^α ₊₁

−q

^α_s,j

)�bq

_j,j^α

−q

^F_j,d^◦α

+b

j−1

�

s=i

(q

^α_s,j

−q

^α_s,j−1

)

4.3. LE CALCUL DEA

_Q,G,L

103

c’est à direµ

α

i+1,j+1

�µ

α

i,j

où les µ

α

i,j

sont définis par les relations (3.6).

On fait un raisonnement par récurrence comme dans la preuve de la proposition 4.3.15. On

reprend les notations de cette proposition. Montrons d’abord que si j ∈[[1, d−1]] etα ∈S,

on aµ

α 1,j

�µ

α 2,j+1

.

On a

µ

^α_1,j

−µ

^α_2,j+1

=b.�

q

^α_(P1(wα))−1(d+1−j)

−q

^α_(P2(wα))−1(d−j)+1

�

+q

^F_j+1^◦α

−q

^F_j^◦α

.

Le second terme du membre de droite est positif. On a deux possibilités : si (P

1

(w

_α

))

⁻1

(d+

1−j)>(P

²

(w

α

))

⁻¹

(d−j) on a bien µ

^α_1,j

�µ

^α_2,j+1

.

Sinon(P

¹

(w

α

))

⁻¹

(d+ 1−j)�(P

²

(w

α

))

⁻¹

(d−j). On va montrer que dans ce second cas on

a µ

^α_1,j+1

=µ

^α_2,j+1

. Notons i

₁

= (P

¹

(w

_α

))

⁻¹

(d+ 1−j) eti

₂

= (P

²

(w

_α

))

⁻¹

(d−j). On a donc

i

₁

�i

₂

,w

^∗_α

(i

₁

) =d+ 1−j et(w

^∗_α

)

^�

(i

₂

) =d−j. Ainsi

d−j= min{w

^∗_α

(i

₂

+ 1),dernier record dew

^∗_α

avant i

2}

={w

^∗_α

(i

₂

+ 1),max(w

_α^∗

[[1, i

₂

]])}.

Or max(w

_α^∗

[[1, i

₂

]]) � w

^∗_α

(i

₁

) = d+ 1−j, donc d−j = w

^∗_α

(i

₂

+ 1), i.e. (w

_α^∗

)

⁻1

(d−j) =

(P

2

(w

_α

))

⁻1

(d−j) + 1. D’où

µ

^α_1,j+1

= b.q

₍^α_P1(wα))−1(d−j)

−q

_j^F₊₁^◦α

= b.q

₍^α_P2(wα))−1(d−j)+1

−q

^F_j+1^◦α

= µ

^α_2,j+1

.

On a bien à nouveauµ

^α_1,j

�µ

^α_2,j+1

puisque par hypothèseq est dansD.

On termine la démonstration par l’étape de récurrence, qui se fait comme dans la preuve

de la proposition 4.3.15.

4.3.4 La démonstration de l’égalité A

Q,g,l

=A

Qmax,g,l

+C

�

On peut maintenant démontrer le théorème 4.3.1.

Démonstration. On suit la stratégie annoncée au début de la section. Montrons d’abord que

A

_Qmax,g,l

+C

^�

⊆A

_Q,g,l

.

On aQ

�

max

⊆Q

�

doncA

_Qmax,g,l

⊆A

_Q,g,l

. Il suffit donc de montrer queA

_Q,g,l

+C

�

⊆A

_Q,g,l

:

soienty = (y

_j^α

)∈A

_Q,g,l

etz= (z

_j^α

)∈C

^�

. Soit également q∈Q. On sait que lesµ

^α_i,j

associés

à q vérifient µ

^α_1,1

�· · ·�µ

^α_1,d

,i.e. ^�q, �µ

^α_1,1

�

�· · ·� ^�q, �µ

^α_1,d

�

ou encore(�

q, �µ

^α_j

�

)∈C. Ainsi

�

α,j

z

^α_j

.�

�

µ

^α_j

, q�

�0. Mais d’autre part^�

_α,j

y

^α_j

.�µ

^α_j

−�l_∈Q

^�

, donc^�

_α,j

y

^α_j

.�

�

µ

^α_j

, q�

� ^��l, q^�_.

D’où^�

_α,j

(y

α j

+z

α j

).�

�

µ

α j

, q�

� ^��l, q^�, pour toutq ∈Q. Doncy+z∈A

_Q,g,l

.

Il s’agit maintenant de montrer l’inclusion réciproque A

_Qmax,g,l

+C

^�

⊇ A

_Q,g,l

. Or la

pro-position 4.3.3 s’applique car le convexeA

_Qmax,g,l

est compact (par le lemme 4.2.7) et le cône

C

^�

ne contient pas de droite affine. À l’aide de la remarque 4.3.5 on obtient

A

_Qmax,g,l

+C

^�

= �

�

ρw∈Ext(A_Qmax,g,l+C�)

(�ρ

_w

+D

_w

+C

^�

)

donc il suffit de vérifier que pour�ρ

w

∈Ext(A

_Qmax,g,l

+C

^�

)on aA

_Q,g,l

⊆�ρ

w

+D

w

+C

^�

(en fait

on montre que cette inclusion est vérifiée pour tous lesρ�

_w

, pas seulement ceux qui sont dans

Ext(A

_Qmax,g,l

+C

�

)). Soit donc w ∈ ^�

_α∈S

S

d

. La proposition 4.3.11 nous permet d’écrire

�

ρ

w

+D

w

+C

^�

= A

_Qw,g,l

pour un cône convexe Q

w

. Le corollaire 4.3.16 assure que Q

w

est

inclus dansQ, donc queA

_Q,g,l

est inclus dansA

_Qw,g,l

. On a obtenu l’inclusion réciproque.

4.4 L’encadrement pour les variétés _Xµ

On termine en donnant les encadrements obtenus, pourdim(X

µ

)d’abord puis pourdim(X

�µ

)

dans la sous-section suivante.

Lemme 4.4.1. Il existe un point q = (q

α

i,j

) du convexe Q tel que les inégalités des jeux (I)

(II) et (III) définissant Q soient strictes pourq.

Démonstration. Il est facile de dessiner une donnée combinatoire qui convient, puis d’en tirer

une formule pour un pointqcomme dans l’énoncé. Ainsi on peut poser par exemple pour tous

α ∈S et(i, j) ∈I, q

^α_i,j

= (d−j)(1−

²_b

) +i. On vérifie que les µ

^α_i,j

associés par les relations

(3.6) sont donnés parµ

^α_i,j

= (d+i)(b−

¹₂

)−bj. Doncq

_i,j^α

−q

_i,j^α₊₁

= 1−

₂¹_b

,q

_i,j^α

−q

_i,j^α₊₁

=

₂¹_b

etµ

^α_i,j

−µ

^α_i+1,j+1

=

¹₂

et toutes les inégalités sont strictes.

Dans la définition suivante la terminologie vient de [Car].

Définition 4.4.2. On dit qu’un élément (µ

^α_j

)∈R

S×[[1,d]]

est b-régulier si pour tout α∈S et

j∈[[1, d−1]],µ

F⁻1◦α

j

−µ

F⁻1◦α

j+1

�b(µ

α

d−j

−µ

α d−j+1

).

On note Reg le cône convexe des élémentsb-réguliers de R

S×[[1,d]]

.

On noteω

₀

la permutation deS

_d

donnée parω

₀

(i) =d+1−i. On posew

₀

= (ω

₀

)

_α

∈^�

α∈S

S

_d

.

Remarque 4.4.3. Le côneRegest inclus dansC : si1�j�d−1, les nombrest

^α_j

=µ

^α_j

−µ

^α_j+1

vérifient pour tous α ∈ S et j ∈ [[1, d−1]], t

α

j

� b.t

F◦α

ω(j)

où on note ω la permutation j �→

ω

0

(j+ 1) de [[1, d−1]]. En prenantr tel queF

^r

◦α =α etω

^r

=Id on obtientt

^α_j

�b

^r

.t

^α_j

ce

qui donne t

^α_j

�0.

On a besoin d’un lemme.

Lemme 4.4.4. On suppose b�max(�

^d₄²

�+ 1, d+ 1).

On a Q

^�_w0

=Q

_w0

=Q

_min

et A

_Qw

0,g,l

=A

_Qmin,g,l

=�ρ

_w0

+Reg

�

.

Démonstration. La première assertion vient du fait que les inégalités définissant les deux cônes

convexes sont les mêmes : Q

_min

est défini (4.1.1) par les jeux

(I) q

_i,j^α₊₁

�q

_i,j^α

(II’) q

α i,j

=q

α

i+1,j+1

.

Orω

₀

est précisément la permutation qui vérifieω

₀^∗

=Id

_[[1,d]]

, doncQ

^�_w0

est bien défini par les

mêmes inégalités. On aQ

_min

⊆Q, donc Q

_w0

=Q

^�_w0

. En particulierA

_Qw

0,g,l

=A

_Qmin,g,l

.

Pour montrer la dernière égalité il suffit d’obtenir D

_w0

=Reg

^�

, puisqu’on a déjà A

_Qw0,g,l

=

�

ρ

_w0

+D

_w0

(proposition 4.3.8). Vu les inégalités définissant Reg, son dual Reg

^�

est engendré

par les vecteurs�h

α

j

=b(�e

α

d−j

−�e

α

d+1−j

)−(�e

F⁻1◦α

j

−�e

F⁻1◦α

j+1

) où (�e

α

j

) est la base canonique de

R

S×[[1,d]]

. Mais

D

_w0

={F+= 0}^�



 ^�

α,1�s�d

�

�

F

_[[1^α_,s]]

�0�^



par la remarque 4.3.5, avec F�

_[[1^α�_,s]]

(y

_j^α

) = �

_s

j=1

y

_j^{F−1◦α�}

−b�

_s

j=1

y

^α_d+1^� _−j

. On vérifie alors que

D

_w0

est engendré par les�h

α

4.4. L’ENCADREMENT POUR LES VARIÉTÉSX

µ

105

Théorème 4.4.5. Soitµ= (µ

α

j

)∈(Z

d

)

S

dominant. On note alors |µ

α

|=�

d

j=1

µ

α j

.

Soit (N) la condition : pour tout α ∈S, si r est le cardinal de l’orbite de α sous l’action de

F, alors

(b

^r

−1)

�

�

�

�

�

�

_r−1

�

k=0

b

^k

.|µ

^F−k◦α

|

�

.

Si µ ne satisfait pas la condition (N), la variété X

µ

est vide. Dans la suite du théorème on

suppose (N) vérifiée.

On suppose également b�max(�

^d₄²

�+ 1, d+ 1).

Alors

(i) il existe des constantes c

1

∈R

+

etc

2

∈Rne dépendant quedetb, telles que siµvérifie

µ

^α_j

�µ

^α_j+1

+c

₁

pour tous α∈S et j∈[[1, d−1]],

min

w∈^�α∈SS_d

��ρ

_w

|µ� −#S·^d(d₂⁻¹⁾−c

₂

�dim(X

µ

).

(ii) on a

dim(X

µ

)� min

w∈^�α∈SSd

��ρ

_w

|µ�+ #S·^d(d−1)

2 ^.

De plus siµ estb-régulier on a

min

w∈^�_α∈SSd

��ρ

w

|µ�=��ρ

w0

|µ�= ²

b+ 1��ρ|µ�

où �ρ est la demi-somme des racines positives de la restriction des scalaires (voir la

définition 4.2.4).

Démonstration. SiX

µ

est non-vide, prenons L= (L

^α

) un de ses E-points. Pour α ∈S, soit

g

_α

une matrice telle queL

α

=g

_α

.Λ

_E

avec Λ

_E

=E[[u]]

d

le réseau standard deE((u))

d

. Notons

v

α

la valuation dedet(g

α

). On a div(g

⁻_α¹

.σ(g

_F−1◦α

)) =µ

^α

donc −v

α

+b.v

_F−1◦α

=|µ

^α

|. Ainsi

r−1

�

k=0

b

^k

.|µ

^F−k◦α

|= (b

^r

−1)v

α

et la condition(N)est vérifiée.

Par le théorème 3.3.10 on a

b

^�_Q,g,l,0,R

(µ)−#S·^d(d−1)

2 �dim(X

µ

)�b

^�_Q,g,l,0,R

(µ) + #S·^d(d−1)

2 ^.

Il s’agit donc d’évaluerb

^�_Q,g,l,0,R

(µ).

Pour la majoration, on a b

^�_Q,g,l,0,R

(µ) � b

_Q,g,l,0

(µ). Mais µ est dans C, donc b

_Q,g,l,0

(µ) =

b

_Q,g,l,0,C

(µ) et ce nombre vaut inf

_{z∈BQ,g,l,0,C}

�z|µ� par la proposition 3.3.7. Mais B

_Q,g,l,0,C

=

A

_Q,g,l

+C

^�

=A

_Qmax,g,l

+C

^�

par le théorème 4.3.1. MaisA

_Qmax,g,l

est compact (c’est une

consé-quence du lemme 4.2.7) doncb

_Q,g,l,0,C

(µ) = min

_{ρ∈Ext(AQmax,g,l)}

�ρ|µ�= min

_w∈^�

α∈SSd

��ρ

_w

|µ�.

Supposons maintenantµ b-régulier. On a Reg⊆C donc

min

w∈^�α∈SS_d

��ρ

_w

|µ�=b

_Q,g,l,0,C

(µ) =b

_Q,g,l,0,Reg

(µ) = inf

or B

_Q,g,l,0,Reg

=A

_Q,g,l

+Reg

�

=A

_Qmax,g,l

+Reg

�

par le théorème 4.3.1 (on a C

�

⊆ Reg

�

).

Mais par le lemme 4.4.4 on aA

_Qmax,g,l

+Reg

^�

=�ρ

w0

+Reg

^�

. Ainsi

inf

z∈BQ,g,l,0,Reg

�z|µ�=�ρ�

w0

|µ�+ inf

z∈Reg�

�z|µ�=�ρ�

w0

|µ�

puisqueµ∈Reg. Enfin on vérifie que�ρ

_w0

=

_b+1²

�ρ.

Pour la minoration on souhaite appliquer la proposition 3.3.9 (avec (Γ, f, U) = (R, g,0)),

dont il faut vérifier les hypothèses. Le lemme 4.4.1 assure que Q possède un point q pour

lequel les inégalités définissantQsont strictes, ainsiQ est d’intérieur non-vide. On en déduit

queQ engendreR

S×I

comme espace vectoriel.

Les ensemblesR∩Ker(g)etKer(g)engendrent le même sous-espace vectoriel deR

S×I

puisque

R etg sont définis sur Q.

Vérifions que µ ∈ g(R). Notons e

^α_j

la base canonique de R

S×[[1,d]]

. Alors pour α

^�

∈ S et

s∈[[1, d]], l’élémentq = (q

_i,j^α

) donné parq

_i,j^α

=

�

1 siα=α

^�

et(i, j) = (s, d)

0 sinon ^est

évidem-ment dansR (voir la définition de R dans la sous-section 3.3.1), et un calcul montre que son

image parg esth

α^�

s

=b.e

α^�

d

−e

F⁻1◦α^�

s

. Une inversion des formules donne

e

^α_j

= ¹

b

r

−1

r

�

k=1

b

^k

.h

^F_d^k+1◦α

−h

^F_j^◦α

donc dans la base(h

^α_j

),µ s’écrit

µ=�

α∈S

1

b

r

−1

�

_r

�

k=1

b

^k

|µ

^{F−k−1◦α}

|

�

.h

^α_d

−^�

α,j

µ

^α_j

.h

^F_j^◦α

.

La condition (N) assure que les coefficients de µ dans la base (h

^α_j

) sont des entiers. Ainsi

on a bien µ ∈ g(R). On peut donc appliquer la proposition 3.3.9 : soit K une maille du

réseau R∩Ker(g) de Ker(g), et soitx

0

∈R

S×I

tel que x

0

+K soit inclus dans Q. On pose

y

₀

= (y

₀^α_,j

) =g(x

₀

). Alorsb

^�_Q,g,l,0,R

(µ)�b

_Q,g,l,0

(µ−g(x

₀

)) + inf

_x∈x0+K

l(x).

Mais b

_Q,g,l,0

est lipschitzienne (de constante de Lipschitz inférieure au maximum des normes

�ρ�où ρ parcourt les points extrémaux deA

Qmax,g,l

+C

^�

) surg(Q), car elle s’écrit

inf

z∈A_Qmax,g,l+C�

�z|·�= min

ρ∈Ext(A_Qmax,g,l+C�)

�ρ|·�

sur cet ensemble. Ainsi pour lesµ tels queµ−g(x

₀

)∈g(Q) on obtient

b

^�_Q,g,l,0,R

(µ)�b

_Q,g,l,0

(µ) + inf

x0+K

l−

�

max

ρ∈Ext(A_Qmax,g,l+C�)

�ρ�

�

.�g(x

₀

)�.

La constantec

₁

va servir à assurerµ∈g(x

₀

)+g(Q): on aC⊆g(Q)donc il suffit d’assurer que

µ∈g(x

₀

) +C,i.e. queµ

α j

−µ

α j+1

�y

α 0,j

−y

α 0,j+1

. On posec

₁

= max

_α∈S,1�j�d−1

(y

α 0,j

−y

α 0,j+1

).

En prenant K contenant0, on a x

₀

∈Q, donc g(x

₀

)∈C etc

₁

�0.

4.5 Une majoration de la dimension pour les variétés _X�µ

Lemme 4.5.1. Soit y= (y

_j^α

)∈A

_Qmin,g,l

. On suppose que pour tous α∈S et j∈[[1, d−1]],

4.5. UNE MAJORATION DE LA DIMENSION POUR LES VARIÉTÉSX

�µ

107

Démonstration. On utilise les caractérisations deA

_Qmax,g,l

et A

_Qmin,g,l

données dans la

pro-position 4.1.11. Soitα∈SetT ⊆[[1, d]]. On souhaite montrer queF

_T^α

(y)�0. Posonss= #T

etT ={t

₁

<· · ·< t

_s

}. On a

F

_T^α

(y) =

s

�

j=1

y

^F_j^−1◦α

−b.

s

�

j=1

y

^α_d+1−tj

−s(d−s) +b





s

�

j=1

t

_j

−^{s(s+ 1)}

2





or y∈A

_Qmin,g,l

donc

F

_[[1^α_,s]]

(y) =

s

�

j=1

y

^F_j^−1◦α

−b.

s

�

j=1

y

_d^α_+1−j

−s(d−s)�0.

On en déduit

s

�

j=1

y

^F_j^−1◦α

−b.

s

�

j=1

y

^α_d+1−tj

−s(d−s)�b.

s

�

j=1

(y

_d^α_+1−j

−y

^α_d+1−tj

)�b.

s

�

j=1

(j−t

_j

)

la deuxième inégalité provenant du fait que t

_j

� j entraîne y

_d^α_+1−tj

−y

_d^α_+1−j

� t

_j

−j par

l’hypothèse du lemme. On a bien obtenu F

_T^α

(y)�0.

Théorème 4.5.2. Soitµ= (µ

^α_j

)∈(Z

d

)

^S

dominant.

On suppose b�max(�

d2

4

�+ 1, d+ 1). Alors

dim(X

_�µ

)� _{b+ 1}² ��ρ|µ�+ #S·^d(d−1)

2 ^.

Démonstration. Le théorème 3.3.10 donne

b

^�_Q,g,l,C�,R

(µ)−#S·^d(d−1)

2 �dim(X

_�µ

)�b

^�_Q,g,l,C�,R

(µ) + #S·^d(d−1)

2 ^.

On a b

^�_Q,g,l,C�,R

(µ) � b

_Q,g,l,C�

(µ) = inf

z∈B_Q,g,l,C�

�z|µ�. Il suffit donc de prouver que �ρ

w0

=

2

b+1

�ρ∈B

_Q,g,l,C�

=A

_Q,g,l

∩C. Il est clair que�ρ

w0

∈C. Par le lemme 4.4.4 on sait également

que �ρ

_w0

∈ A

_Qmin,g,l

. Ainsi le lemme 4.5.1 s’applique et ρ�

_w0

appartient à A

_Qmax,g,l

qui est

inclus dansA

_Q,g,l

. Cela établit la majoration.

Remarque 4.5.3. Il serait souhaitable d’obtenir une minoration de la dimension des variétés

X

�µ

. Pour cela on sait que

b

^�_Q,g,l,C�,R

(µ)−#S·^d(d−1)

2 �dim(X

�µ

)

donc il suffit de trouver un élémentq deQ∩Rtel queg(q)∈µ−C

^�

etl(q)soit « proche » de

�2�ρ|µ�

b+1

(ou d’un terme similaire). C’est ce qui est fait dans le cask=F

p

, dans [Car]. Dansop.

cit., Caruso définit la notion ded-uplet fortement intégralement b-régulier (voir la définition

1), puis il montre que si µ est fortement intégralement b-régulier, on peut construire un q

comme au-dessus vérifiantl(q)�−(d−1)

²

−

^(d−₄²⁾²

+

^�2_b^�ρ₊₁^|µ�

. Nous ne savons pas construire un

analogue deqen général lorsquekest quelconque, l’action du FrobeniusF surScompliquant

les choses.

Bibliographie

[BeD] A. Beilinson, V. Drinfeld, Quantization of Hitchin’s integrable system and

Hecke eigensheaves, à paraître, disponible à http ://www.math.uchicago.edu/

~mitya/langlands/hitchin/BD-hitchin.pdf.

[Bo1] N. Bourbaki,Algèbre, Chap. III,Éléments de mathématique, Hermann.

[Bo2] N. Bourbaki, Groupes et algèbres de Lie, Chap. IV,V,VI, Éléments de mathématique,

Hermann.

[Br1] C. Breuil, Groupes p-divisibles, groupes finis et modules filtrés, Ann. of Math., 152

(2000), pp. 489-549.

[Br2] C. Breuil, Schémas en groupes et corps des normes, non publié, disponible à

http ://www.math.u-psud.fr/∼breuil/publications.html, (1998).

[Car] X. Caruso, Estimation des dimensions de certaines variétés de Kisin, J. reine angew.

Math., à paraître, DOI 10.1515/crelle-2014-0066.

[CDM] X. Caruso, A. David, A. Mézard,Un calcul d’anneaux de déformations potentiellement

Barsotti-Tate, prépublication, arXiv :1402.2616v1.

[Con] B. Conrad,Finite group schemes over bases with low ramification, Compositio Math.,

119 (1999), no. 3, pp. 239-320.

[Fo1] J.-M. Fontaine, Groupes p-divisibles sur les corps locaux, Astérisque 47-48, Soc. Math.

de France, (1977).

[Fo2] J.-M. Fontaine, Représentations p-adiques des corps locaux I, The Grothendieck

Fest-schrift, Vol II, Progr. Math., 87, Birkhäuser Boston (1990), pp. 249-309.

[GHKR] U. Görtz, T. Haines, R. Kottwitz, D. Reuman,Dimensions of some affine

Deligne-Lusztig varieties, Ann. Sci. École Norm. Sup., (4)39(2006), no. 3, pp. 467-511.

[Gör] U.Görtz,Affine Springer Fibers and Affine Deligne-Lusztig Varieties, A. Schmitt (ed.),

Proceedings of Affine Flag Manifolds and Principal Bundles (Berlin 2008), Trends in

Mathematics, Birkhäuser (2010).

[Grü] B. Grünbaum,Convex Polytopes, Springer.

[GoW] U. Görtz, T. Wedhorn,Algebraic Geometry I, Vieweg + Teubner (2010).

[Hel] E. Hellmann,Connectedness of Kisin varieties for GL

₂

, Adv. Math.,228(2011), no. 1,

pp. 219-240.

[Im1] N. Imai,On the connected components of moduli spaces of finite flat models, Amer. J.

Math., 132 (2010), no. 5, pp. 1189-1204.

[Im2] N. Imai, Ramification and moduli spaces of finite flat models, Ann. Inst. Fourier 61

(2011), No 5, pp. 1943-1975.

[Ki1] M. Kisin,Moduli of finite flat group schemes and modularity, Ann. of Math.170(2009),

No 3, pp. 1085-1180.

[Ki2] M. Kisin, Crystalline representations and F-crystals, Algebraic geometry and number

theory. In honour of Vladimir Drinfeld’s 50th birthday, Prog. Math. 253, Birkhäuser

(2006), pp. 459-496.

[Ki3] M. Kisin,Potentially semi-stable deformation rings, J.A.M.S21(2) (2008),pp. 513-546.

[Maz] B. Mazur, Deforming Galois representations, Galois groups over Q, Math. Sci. Res.

Inst. Publ.16, Springer, New York-Berlin (1989), pp. 395-437.

[Mil] J. S. Milne, Reductive groups, version 1.00, non publié, disponible à

http ://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ala.html, (2012).

[PaR] G. Pappas, M. Rapoport,Φ-modules and coefficient spaces, Mosc. Math. J.,9 (2009),

pp. 625-663.

[PaS] C. H. Papadimitriou, K. Steiglitz,The Max-Flow, Min-Cut Theorem inCombinatorial

Optimization : Algorithms and Complexity, Dover (1998), pp. 120-128.

[Ram] R. Ramakrishna, On a variation of Mazur’s deformation functor, Compositio Math.,

87(1993), pp. 269-286.

[Rap] M. Rapoport, A guide to the reduction modulo p of Shimura varieties. Automorphic

forms. I, Astérisque No. 298 (2005), pp. 271-318.

[Rén] A. Rényi,Théorie des éléments saillants d’une suite d’observations, Ann. Fac. Sci. Univ.

Clermont-Ferrand,8 (1962), pp. 7-13.

[Ric] R. Richardson, Affine coset spaces of reductive algebraic groups, Bull. London Math.

Soc.9 (1977), No. 1, pp. 38-41.

[SGA3r] M. Demazure, A. Grothendieck, Schémas en groupes, t. III, édition recomposée et

annotée, Documents Mathématiques8, S.M.F. (2011).

[Spr] T. A. Springer, Linear algebraic groups, Progress in Mathematics, vol. 9, Birkhaüser

Boston (1998).

[Vie] E. Viehmann,The dimension of some affine Deligne-Lusztig varieties, Ann. Scient. Éc.

Norm. Sup.,39(2006), pp. 513-526.

[Win] J.-P. Wintenberger, Le corps des normes de certaines extensions infinies de corps

Dans le document Sur la dimension de certaines variétés de Kisin : le cas de la restriction des scalaires de GLd (Page 103-113)