Les incertitudes expérimentales des PDFs

10 10−3 10−2 10−1 1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 ^Q²^{= 1.9 GeV}² output/ x 4 − 10 10−3 10−2 10−1 1

0 5 10 15 20 2 = 10 GeV 2 Q output/

x 4 − 10 10−3 10−2 10−1 1

0 5 10 15 20 2 = 10 GeV 2 Q output/ x 4 − 10 10−3 10−2 10−1 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 2 = 10 GeV 2 Q output/

Chapitre 2

La méthode Monte Carlo par chaînes de

Markov

)

xg(x,Q

)

xg(x,Q

FIGURE1.5 – Courbes montrant la valeur centrale de la distribution du gluon (1.84) aux échelles

Q

= 1.9 GeV

(gauche) et Q

= 10 GeV

(droite) dans le schéma où tous les quarks lourds sont sans

masses (1.4.1).

Sur la figure1.5, nous constatons que la distribution du gluon augmente très rapidement

à basxlorsqu’on passe de l’échelle d’énergie Q20à l’échelle d’énergie Q2= 10 GeV2: c’est

l’effet de l’évolution de DGLAP.

Il y a quelques années en arrière, la détermination des densités de partons qui ajustent

le mieux les données expérimentales en considération était suffisante pour une étude

phénoménologique pratique. Toutefois, avec l’avènement de nouvelles données issues

des collisionneurs hadroniques, la nécessité d’estimer quantitativement les incertitudes

des PDFs est d’une importance primordiale. Nous allons sans tarder aborder les

diffé-rentes approches pour obtenir les incertitudes expérimentales sur les PDFs.

1.6 Les incertitudes expérimentales des PDFs

Nous allons ici rappeler les différentes approches existantes pour obtenir les

incerti-tudes expérimentales sur les PDFs.

1.6.1 L’approche de Hessien

Dans l’approche HéssiennePUMPLINet collab.[2001a,b], l’incertitude expérimentale

associée aux PDFs s’obtient en définissant la matrice Héssienne :

χ2

−χ2

min≡𝛥χ2

=

d

X

i=1

d

X

i=1

Hi j(q(i)−q(0i))(q(j)−q0(j)) , (1.90)

où Hi j est un élément de la matrice Hessienne défini par :

Hi j= 𝜕2χ2( ˆq, ˆξ)

𝜕q(i)𝜕q(j) . (1.91)

Nous pouvons donc utiliser la formule standard de propagation linéaire des incertitudes

expérimentales des PDFs pour calculer l’erreur sur toute quantité F :

(𝛥F)2=

d

X

i=1

d

X

j=1

𝜕F

𝜕q(i)Ci j( ˆq) 𝜕F

𝜕q(j) , (1.92)

où Ci jest un élément de la matrice de covariance des paramètres libres ˆqdes PDFs :

Ci j( ˆq) =𝛥χ2(H−1)i j . (1.93)

Il est plus pratique et numériquement plus stable de diagonaliser la matrice de covariance

à cause de la symétrie de la matrice Hessienne. Ceci permet donc de travailler dans la base

des vecteurs propres orthogonaux {vi k} définis par :

d

X

j=1

Ci jvj k=²kvi k, (1.94)

d

X

i=1

vi kvi l=δkl, (1.95)

où {²k} sont les valeurs propres. En pratique, la variation très lente duχ2dans certaines

directions de l’espace des paramètres libres ˆq est problématique puisqu’elle détériore la

qualité de l’ajustement. Toutefois, l’approche Hessienne conduit à un ensemble de 2d

distribution de partons noté S±i pour chaque direction du vecteur propre. Par suite

l’in-certitude associée aux PDFs peut se propager dans la quantitéF de la façon équivalente

à (1.92) :

(𝛥F)2= 1

2

d

X

i=1

³

F(S+i )−F(S−i )

´2

à basxlorsqu’on passe de l’échelle d’énergie Q²₀à l’échelle d’énergie Q²= 10 GeV²: c’est

Hi j(q⁽ⁱ⁾−q⁽₀ⁱ⁾)(q⁽^j⁾−q₀⁽^j⁾) , (1.90)

H_{i j}= 𝜕²χ2( ˆq, ˆξ)

(𝛥F)²=

où C_{i j}est un élément de la matrice de covariance des paramètres libres ˆqdes PDFs :

C_{i j}( ˆq) =𝛥χ2(H⁻¹)_{i j} . (1.93)

des vecteurs propres orthogonaux {v_{i k}} définis par :

Ci jv_{j k}=²kv_{i k}, (1.94)

v_{i k}v_{i l}=δkl, (1.95)

distribution de partons noté S^±_i pour chaque direction du vecteur propre. Par suite

(𝛥F)²= ¹

F(S⁺_i )−F(S⁻_i )

quark de valenceu_val(1.85) à l’échelle Q²= 10 GeV².

Mi j=𝜕²χ2( ˆq, ˆξ)

C_sys= H⁻¹MM^|H⁻¹, (1.98)

C_tot= C_q_ξ+C_q, (1.99)

avec C_q= H⁻¹étant la matrice de covariance de l’incertitude statistique (et systématique

(𝛥F)²=

en substituant C par les matrices de covariance appropriées Cq, Cqξ^{et C}totpour obtenir

( ˆq)+λ^ˆF( ˆq) , (1.101)

pour diverses valeurs fixées de {λα^{}. Cette procédure génère une relation paramétrique}