Inuence de la position du centre de masse

Pour chacun des critères de stabilité, on résout le problème de distribution des forces pour diérentes positions du centre de masse en gardant la position des contacts identique. Vu que l'obstacle envisagé est frontal, les résultats sont symétriques selon l'axe longitudinal, on ne les donnera que pour le demi-plan où la position latérale est positive. La position des points de contact est choisie telle que h = 30 cm. An de bien visualiser les zones d'instabilité sur les courbes, on xe la marge à une valeur xe représentée en blanc sur les gure dès que le résultat obtenu est instable. Dans les autres cas, la marge tracée est celle donnée par la résolution du problème de distribution des forces.

Variations sagittales

On a vu à la section 2.2.2 que la variation de position du centre de masse le long de l'axe des forces extérieures ne faisait pas varier les forces de contact. Comme les marges Φt/n et ΦF CR mesurent une grandeur au niveau des points de contact, elles ne varient pas lorsque le centre de masse se déplace verticalement. Par contre, les marges ΦGO et ΦGSO étant basées sur l'estimation de perturbations qui peuvent avoir n'importe quelle direction, elles peuvent varier quel que soit le changement de posture. On voit cependant sur les Fig. 3.7 et Fig. 3.8, donnant les marges ΦGO et ΦGSO en fonction de la position du centre de masse dans le plan sagittal (x0, z0), que la partie horizontale de l'espace de stabilité ne change pas lorsque le centre de masse se déplace verticalement.

3.2. ANALYSE NUMÉRIQUE DES CRITÈRES DE STABILITÉ

Figure 3.7  Espace de stabilité donné par le critère ΦGO pour β = π/2 rad et µ = 0.8

Figure 3.8  Espace de stabilité donné par le critère ΦGSO pour β = π/2 rad et µ = 0.8

Variations horizontales

On trace les marges ΦGO (Fig. 3.9), ΦGSO (Fig. 3.10), Φt/n(Fig. 3.11) et ΦF CR

(Fig. 3.12) en fonction de la position du centre de masse dans le plan horizontal (x0, y0) pour une pente β = π/2 rad et un coecient de frottement µ = 0.8. On remarque d'abord que les espaces de stabilité sont identiques dans les quatre cas, les contraintes de contact sont en eet les mêmes quelle que soit la méthode utilisée, il est donc normal que l'espace pour lequel une solution au problème de distribution des forces existe soit le même. On voit ensuite que les surfaces formées par les marges peuvent avoir des arêtes horizontales, la position optimale peut donc ne pas être unique, c'est un problème lié à l'utilisation des fonctions min et max comme nous l'avons expliqué à la section 2.2.3.

CHAPITRE 3. ÉTUDE DES CRITÈRES DE STABILITÉ

position optimale en bordure de l'espace de stabilité. Cela signie que dans certains cas, une erreur de positionnement du centre de masse peut donner une situation irrécupérable d'instabilité.

Figure 3.9  Espace de stabilité donné par le critère ΦGO pour β = π/2 rad et µ = 0.8

Figure 3.10  Espace de stabilité donné par le critère ΦGSO pour β = π/2 rad et µ = 0.8

Études du domaine de stabilité

On regarde maintenant les eets de diérentes pentes et de diérents coe-cients de frottement sur l'espace de stabilité. Comme celui-ci est identique quelle que soit la marge employée, nous nous contenterons d'observer les résultats donnés par la méthode FCR. On prendra comme élément de comparaison le critère du po-lygone de sustentation [McGhee 68], c'est-à-dire l'espace à l'intérieur du popo-lygone

3.2. ANALYSE NUMÉRIQUE DES CRITÈRES DE STABILITÉ

Figure 3.11  Espace de stabilité donné par le critère Φt/n pour β = π/2 rad et µ = 0.8 (critère à minimiser)

Figure 3.12  Espace de stabilité donné par le critère ΦF CR pour une pente de β = π/2 rad et µ = 0.8

formé par les points de contact. Dans notre cas, cet espace est donné par   −0.3 −0.15 −∞  < p <   0.3 0.15 ∞  

Il est tracé en pointillés noirs sur les Fig. 3.13 et celles qui suivent.

On distingue trois cas. Dans le premier (Fig. 3.13), l'angle de frottement (α = tan−1(µ)) est supérieur à celui de la pente de l'obstacle. Si les forces de contact sont colinéaires aux poids, elles seront à l'intérieur du cône de frottement et aucune force interne ne sera nécessaire au maintien de l'adhérence. Le seul risque d'insta-bilité vient alors du renversement. L'espace de stad'insta-bilité correspond au polygone de sustentation. Le robot est capable d'évoluer sur ce type de terrain même si toutes les pattes du robot se trouvent sur la pente.

CHAPITRE 3. ÉTUDE DES CRITÈRES DE STABILITÉ

Figure 3.13  Espace de stabilité pour β = 0.5 rad et µ = 1.1

Dans le deuxième cas (Fig. 3.14), l'angle de frottement est inférieur à la pente de l'obstacle, le robot doit nécessairement produire des forces internes pour éviter les pertes d'adhérence. L'espace de stabilité est inclus dans le polygone de sustentation mais ne le contient pas forcément dans son intégralité, il se réduit au fur et à mesure que l'angle de la pente augmente et/ou que le coecient de frottement diminue. Le robot est incapable de maintenir l'adhérence si toutes les pattes sont sur de telles pentes, il faut qu'au moins l'une d'entre elles soit sur une pente stable (ie l'angle de frottement est supérieur à la pente) pour permettre la production de forces internes.

Le dernier cas (Fig. 3.15) est une extension du précédent. Si la pente et le coecient de frottement sont susamment importants, le robot peut produire des forces qui, grâce à la friction des roues sur le sol, empêcheront le renversement même si le centre de masse est à l'extérieur du polygone de sustentation. On est alors dans un cas limite où l'interruption des forces internes provoque un renver-sement immédiat du robot. Cependant, la position optimale du centre de masse reste à l'intérieur du polygone de sustentation quelle que soit la marge de stabi-lité considérée. Le cas limite n'est donc pas rencontré lors du franchissement d'un obstacle tel que ceux utilisés lors de nos test.

3.2.2 Résultats numériques des marges de stabilité pour le