2.2 Quelques rappels d’analyse dans les espaces m´ etriques mesur´ es
2.2.2 In´ egalit´ e de Poincar´ e
1 2−ε). On choisit ε de fa¸con `a avoir Cε≤ 1
2. On a ainsi B(xk, 2δ(xk)) ⊂ B(x,12δ(x)) ⊂ Ω ce qui contredit le fait que Bk∩ Ωc 6= ∅.
Corollaire 2.2.8. Si (X, d, µ) est un espace m´etrique mesur´e v´erifiant (D), alors les boules (Bi)i∈I ont la propri´et´e du recouvrement born´e.
Preuve. Fixons i ∈ I. Soit Ji = {j ∈ I : Bi∩ Bj 6= ∅}. Prenons j ∈ Ji, alors il existe z ∈ Bi∩ Bj. Le fait que z ∈ Bj nous donne d(z, xj) ≤ 21δ(xj) et d(z, Ωc) ≥ 12δ(xj). D’autre part , comme z ∈ Bi, d(z, Ωc) ≤ d(xi, Ωc) + d(z, xi) ≤ 32δ(xi). On a ainsi δ(xj) ≤ 3δ(xi). De la mˆeme, on a δ(xi) ≤ 3δ(xj).
On d´eduit alors que si j ∈ Ji, les boules B(xj,ε3δ(xi)) sont deux `a deux disjointes. De plus, B(xj,ε3δ(xi)) ⊂ B(xi, d(xi, xj) +ε3δ(xi)) ⊂ B(xi, (2 +ε3)δ(xi)). Comme X est un espace de type homog`ene (car il v´erifie (D)) (voir [9]) on d´eduit que le cardinal de Ji est major´e par C(2+
ε 3 ε 3
, C0) o`u C0 est la constante de (D).
2.2.2 In´egalit´e de Poincar´e
Soit (X, d) un espace m´etrique. Une courbe γ sur X est une application continue γ : [a, b] → X. La longueur de γ est d´efinie par
l(γ) = sup (n−1 X i=0 d(γ(ti), γ(ti+ 1)) ) ,
o`u la borne sup´erieure est prise sur toutes les partitions a = t0 < t1 < ... < tn = b. On dit que γ est rectifiable si l(γ) < ∞.
Proposition 2.2.9. (Theorem 3.2 de [12]) Si γ : [a, b] → X est une courbe rectifiable, il existe alors une unique courbe (appel´ee param`etre normal de γ) ˜γ : [0, l(γ)] → X telle que
γ = ˜γ ◦ sγ
o`u sγ : [a, b] → [0, l(γ)] est donn´ee par sγ(t) = l(γ|[a,t]).
De plus l(˜γ|[0,t]) = t pour tout t ∈ [0, l(γ)]. En particulier ˜γ : [0, l(γ)] → X est une fonction 1-Lipschitzienne.
D´efinition 2.2.10. Soit γ : [a, b] → X une courbe rectifiable et ρ : X → [0, ∞] une fonction bor´elienne. On definit
Z γ ρ := Z l(γ) 0 ρ(˜γ(t))dt.
D´efinition 2.2.11 (Sur-gradient (ou Upper gradient en Anglais)). Soit u : X → R une fonction bor´elienne. On dit qu’une fonction bor´elienne g : X → [0, ∞] est un sur-gradient de u si
|u(γ(a)) − u(γ(b))| ≤ Z
γ
g
pour tout γ : [a, b] 7→ X rectifiable.
Remarque 2.2.12. Si X est une vari´et´e Riemannienne et u ∈ Lip(X), alors |∇u| est un sur-gradient de u et |∇u| ≤ g pour tout sur-gradient g de u.
D´efinition 2.2.13. Pour u : X → R localement Lipschitzienne d´efinie sur un ouvert de X, on d´efinit
Lip u(x) = (
lim supy→x
y6=x
|u(y)−u(x)|
d(y,x) si x n’est pas isol´e, 0 sinon.
Remarque 2.2.14. Lip u est un sur-gradient de u.
Pour simplifier les notations, nous allons ´enoncer la d´efinition de l’in´egalit´e de Poincar´e dans le cas global. Pour le cas local, nous la d´efinirons au cours des chapitres. D´efinition 2.2.15 (In´egalit´e de Poincar´e). On dit qu’un espace m´etrique mesur´e (X, d, µ) v´erifie une in´egalit´e de Poincar´e faible (Pq,p), 1 ≤ p, q < ∞, s’il existe λ ≥ 1, Cp > 0 tels que pour toute fonction u continue, tout sur-gradient g de u, et pour toute boule B de rayon r > 0 on a:
− Z B |u − uB|qdµ 1 q ≤ Cpr− Z λB gpdµ 1 p (Pq,p). o`u fE = 1 µ(E) Z E f dµ = − Z E f dµ.
Si λ = 1, (Pq,p) sera appel´ee Poincar´e fort. Nous noterons (Pp,p) par (Pp).
Il est clair que si l’espace (X, d, µ) v´erifie une in´egalit´e de Poincar´e (Pq,p)1, alors il v´erifie (Pq0,p) pour tout q0 ≤ q et il v´erifie (Pq,p0) pour tout p0 ≥ p. Donc si l’ensemble des p tels qu’on a (Pq0,p) est non vide, c’est un intervalle non born´e `a droite. On am´eliore les exposants dans les in´egalit´es de Poincar´e avec les deux th´eor`emes suivants:
Th´eor`eme 2.2.16. ([13]) Soit (X, d, µ) un espace m´etrique mesur´e avec µ doublante v´erifiant une in´egalit´e de Poincar´e faible (P1,p). Alors il existe q0 > p tel que X v´erifie (Pq,p) faible pour tout 1 ≤ q < q0. En particulier X v´erifie une in´egalit´e de Poincar´e faible (Pp).
Ainsi (P1,p) ⇔ (Pp) sous les hypoth`eses du Th´eor`eme 2.2.16. En outre, on a le r´esultat r´ecent suivant du `a Keith et Zhong:
Th´eor`eme 2.2.17. ([22]) Soit (X, d, µ) un espace m´etrique mesur´e complet avec µ doublante, satisfaisant (D) et (P1,p) faible. Il existe alors ε > 0 tel que (X, d, µ) v´erifie (P1,q) faible pour tout q > p − ε.
D´efinition 2.2.18. Un espace m´etrique X est dit quasiconvexe s’il existe C > 0 tel que n’importe quels deux points x1, x2 de X peuvent ˆetre joints par une courbe dont la longueur ne d´epasse pas Cd(x1, x2).
Proposition 2.2.19. ([15]) Soit (X, d, µ) un espace m´etrique mesur´e quasiconvexe tel que les boules ferm´ees sont compactes. Si X v´erifie (P1,p) faible, alors X v´erifie (P1,p) faible pour toutes les fonctions u mesurables, c’est `a dire que u continue est remplac´ee par u mesurable dans la d´efinition 2.2.15.
Proposition 2.2.20 ([20]). Soit 1 ≤ p < ∞. On consid`ere (X, d, µ) un espace m´etrique mesur´e complet (ou quasiconvexe propre) avec µ doublante. Alors les propo-sitions suivantes sont ´equivalentes:
1. (X, d, µ) admet une in´egalit´e de Poincar´e faible (P1,p) pour toutes les fonctions mesurables.
2. (X, d, µ) admet une in´egalit´e de Poincar´e faible (P1,p) pour toutes les fonctions Lipschitziennes `a support compact.
3. Il existe Cp > 0, λ ≥ 1 telles que
− Z B |u − uB| dµ ≤ Cpr(− Z λB (Lip u)pdµ )1p.
pour tout u ∈ Lip0 et pour toute boule B de X.
D´efinition 2.2.21. Un espace m´etrique est dit g´eod´esique si tout x1, x2 ∈ X distincts peuvent ˆetre joints par une courbe de longueur ´egale `a d(x1, x2).
Proposition 2.2.22. (Theorem 9.5 de [16]) Soit 1 ≤ p < ∞. Si (X, d, µ) est g´eod´esique, µ doublante et X v´erifie (P1,p) faible alors X v´erifie (P1,p) fort.
Rappelons qu’une fonction f : (Y1, d1) 7→ (Y2, d2) est bi-Lipschitzienne, s’il existe L > 0 telle que pour tous x, y ∈ Y1, on a
1
Proposition 2.2.23. (Proposition 6.0.7 de [20]) Soit (X, d, µ) un espace m´etrique mesur´e complet, satisfaisant (D) et une in´egalit´e de Poincar´e faible (P1,p) pour un 1 ≤ p < ∞. Alors (X, d, µ) est bi-Lipschitzien `a un espace m´etrique g´eod´esique avec la constante de l’application bi-Lipschitzienne d´ependant uniquement de la constante de doublement et celle de Poincar´e.
Corollaire 2.2.24. Soit (X, d, µ) un espace m´etrique mesur´e complet, satisfaisant (D). Si X v´erifie une in´egalit´e de Poincar´e faible (P1,p) pour un 1 ≤ p < ∞ alors X v´erifie (P1,p) fort.
La proposition 2.2.23 d´ecoule des lemmes suivants:
Lemme 2.2.25. (Lemma 6.0.8 de [20]) Soit (X, d, µ) un espace m´etrique mesur´e complet, satisfaisant (D) et une in´egalit´e de Poincar´e faible (P1,p) pour un 1 ≤ p < ∞. Alors (X, d, µ) est quasiconvexe avec la constante de quasiconvexit´e d´ependant uniquement de la constante de doublement et celle de Poincar´e.
Lemme 2.2.26. ([12]) Un espace m´etrique mesur´e (X, d, µ) complet avec µ doublante est propre (c’est `a dire les ensembles born´es ferm´es sont compacts).
On d´eduit la preuve de la proposition 2.2.23 `a l’aide du lemme suivant:
Lemme 2.2.27. ([16]) Un espace m´etrique quasiconvexe propre est bi-Lipschitzien `
a un espace m´etrique g´eod´esique avec la constante de l’application bi-Lipschitzienne d´ependant uniquement de la constante de quasiconvexit´e.
Pour terminer, remarquons qu’il faut faire la distinction entre les in´egalit´es de Poincar´e relatives et les in´egalit´es de Poincar´e locales. Regardons par exemple le cadre des vari´et´es. Soit M une vari´et´e Riemannienne compl`ete et E un sous ensemble mesur´e de M . On dit que E admet une in´egalit´e de Poincar´e relative pour un 1 ≤ p < ∞ s’il existe une constante CE > 0 telle que pour toute boule de rayon r > 0, centr´ee en E, et pour toute fonction f telle que f et |∇f | sont p localement int´egrables sur E on a
Z B∩E |f − fB∩E|pdµ ≤ CErp Z B∩E |∇f |pdµ.
L’in´egalit´e uniforme de Poincar´e relative pour les boules E de rayon r1 > 0 2 implique une in´egalit´e de Poincar´e locale. En effet, soit B une boule de centre x et rayon s ≤ r1. Prenons E = B(x, r1) alors Z B |f − fB|pdµ = Z B∩E |f − fB∩E|pdµ ≤ CEsp Z B∩E |∇f |pdµ = C sp Z B |∇f |pdµ.
En revanche, sur un espace m´etrique mesur´e, une in´egalit´e de Poincar´e locale (ou globale) n’entraˆıne pas une in´egalit´e de Poincar´e relative pour les boules. Voici un exemple qui nous a ´et´e communiqu´e par Juha Heinonen:
On prend un rectangle ferm´e dans le plan de sorte qu’il soit long et maigre, disons 100 × 1. On forme X en enlevant un rectangle ouvert analogue du milieu, disons
98×0, 5. On munit X de la distance Euclidienne induite et µ est la mesure de Lebesgue induite. Cet ensemble compact admet une in´egalit´e de Poincar´e (P1), topologiquement c’est un anneau. Prenons une boule centr´ee sur un des cˆot´es courts et ayant un rayon 90, disons E = B(y, 90). Alors E contient des points x tels que B(x, 30) ∩ E n’est pas connexe. Or la connexit´e est n´ecessaire `a toute in´egalit´e de Poincar´e sur B ∩ E.
2.3 Espaces de Sobolev
Dans cette section, nous allons donner la d´efinition des espaces de Sobolev classiques dans diff´erents cadres g´eom´etriques. Nous allons nous restreindre aux espaces de Sobolev non homog`enes. Pour la d´efinition des espaces de Sobolev homog`enes dans le cadre des vari´et´es Riemanniennes et groupes de Lie voir Chapitre 3. Dans le cas Euclidien la d´efinition des espaces de Sobolev non homog`enes a ´et´e donn´ee dans l’introduction.