Toutefois la solution ˆu2, pour xd > 0, explose de mani`ere exponentielle lorsque |ξ′| → ∞, donc on peut ne pas la consid´erer dans S′. Si on regarde ainsi ˆu1, on a
∂xduˆ1(ξ′, xd) =−|ξ′|U1(ξ′)e−xd|ξ′
|=−|ξ′|ˆu1(ξ′, xd), ce qui implique
∂xdu(x′, 0) =− Op(|ξ′|)u(x′, 0). (2.2.2) On voit ainsi que l’´equation `a l’int´erieur am`ene automatiquement une relation du type (2.2.2) entre la trace Dirichlet, et la trace Neumann. Remarquons qu’ici, on a pas encore utilis´e la condition au bord. Si la condition au bord est ”suffisamment bonne”, c’est-`a-dire, si elle n’est pas colin´eaire `a la relation (2.2.2), alors on a un syst`eme de deux ´equations `a deux inconnues que l’on peut r´esoudre
∂xdu(x′, 0) =− Op(|ξ′|)u(x′, 0) condition au bord,
et ainsi obtenir des estim´ees sur les traces. Ceci est l’id´ee g´en´erale, et on renvoie `a la section4.6.1pour une exposition de la m´ethode avec un op´erateur elliptique d’ordre 2 avec conditions au bord de type Ventcel.
2.3 In´egalit´es de Carleman paraboliques
Pour obtenir l’in´egalit´e d’observabilit´e pour le probl`eme adjoint du contrˆole `a z´ero de la chaleur (cf. th´eor`eme
1.3.3), la m´ethode propos´ee par A. V. Fursikov et O. Yu. Imanuvilov dans [FI96] consiste en l’obtention d’une in´egalit´e de Carleman parabolique globale sur Ω. Pour des in´egalit´es elliptiques locales sur un ouvert U pr`es du bord, on impose `a la fonction poids ϕ les conditions suivantes
• ϕ doit satisfaire la condition de sous-ellipticit´e, • ∇ϕ 6= 0 sur U,
• ∂νϕ < 0 sur ∂Ω∩ U.
Pour les in´egalit´es globales, on aimerait imposer les mˆemes conditions. Toutefois, il serait impossible de construire une fonction poids telle que
• ∇ϕ 6= 0 sur Ω, • ∂νϕ < 0 sur ∂Ω.
Soit ω l’ouvert de contrˆole, sous ouvert de Ω. On impose alors, 1. ϕ doit satisfaire la condition de sous-ellipticit´e sur Ω\ ω, 2. ∇ϕ 6= 0 sur Ω \ ω,
3. ∂νϕ < 0 sur ∂Ω.
On rappelle que pour obtenir (1), il suffit de consid´erer ϕ = eλψ, avec λ assez grand, et ∇ψ 6= 0 sur Ω \ ω (voir le lemme2.1.2). L’id´ee est donc de construire la fonction poids localement sur un voisinage de ∂Ω, et d’en obtenir un prolongement r´egulier sur Ω. Une des difficult´es qui suivent est que l’on ne contrˆole pas la position des points critiques de ce prolongement. Il suffit d’utiliser la densit´e des fonctions de Morse. Leurs points critiques sont en nombre fini, et on peut les d´eplacer dans la zone ω par le biais de la composition par
2.3. IN´EGALIT´ES DE CARLEMAN PARABOLIQUES
un diff´eomorphisme qui pr´eserve ∂Ω. Pour une telle construction, on renvoie `a [Mil63]. Soit ϕ une fonction r´eguli`ere satisfaisant les conditions (1), (2) et (3). Soit T > 0. On pose
˜ ϕ(t, x) = e τ ϕ(x) − eτ K t(T − t) , K > supΩ ϕ. (2.3.1)
On obtient le th´eor`eme suivant
Th´eor`eme 2.3.1 ([FI96]). Il existe C > 0 et τ0> 0 such that
τ3||eτ ˜ϕu||2L2((0,T )×Ω)+ τ||eτ ˜ϕ∇u||2L2((0,T )×Ω)≤ C||eτ ˜ϕ(∂t+ ∆)u||2L2((0,T )×Ω)+ τ3||eτ ˜ϕu||2L2((0,T )×ω)
, pour tout u∈ C∞([0, T ]× Ω) telle que u|(0,T )×∂Ω = 0, et pour tout τ ≥ τ0.
On peut remarquer la pr´esence d’un terme d’observation dans cette in´egalit´e globale, qui est absent dans les versions locales d’in´egalit´es de Carleman telles que le th´eor`eme2.1.1. La d´ependance du poids en temps de la forme (2.3.1) est utilis´ee pour annuler les termes de bord qui pourraient provenir d’int´egrations par parties en temps. Du th´eor`eme2.3.1, on en d´eduit l’in´egalit´e d’observabilit´e du th´eor`eme 1.3.3en utilisant la croissance de l’´energie de la chaleur r´etrograde.
Z Ω|z(0)|2 ≤ T2 Z 3T /4 T /4 Z Ω|v|2.
Les in´egalit´es de Carleman paraboliques de la forme du th´eor`eme2.3.1, sont souvent d´emontr´ees globalement, en utilisant la premi`ere m´ethode de preuve d´ecrite plus haut. Notons toutefois que travailler de mani`ere globale pour montrer des in´egalit´es de Carleman (elliptiques ou paraboliques) n’est pas syst´ematique ; on pourra aussi construire un poids global, mais prouver des in´egalit´es de mani`ere locale, et ainsi recoller par compacit´e. Dans cet esprit, une approche microlocale a ´et´e r´ealis´ee dans [LL12], dans laquelle la condition de sous-ellipticit´e apparait comme n´ecessaire. Une version au bord pour des conditions de Dirichlet a aussi ´et´e d´emontr´ee.
Chapitre 3
R´esultats obtenus dans ce m´emoire
3.1 Structure du m´emoire
Deux parties principales composent ce m´emoire.
La partie II utilise des m´ethodes essentiellement microlocales pour obtenir des in´egalit´es de Carleman elliptiques aux voisinages d’un bord et d’une interface. Elle est compos´ee de deux chapitres. Le premier concerne la stabilisation faible de l’´equation des ondes amorties, pour des conditions au bord de Ventcel. Pour cela, on obtient une in´egalit´e de Carleman au voisinage du bord, pour un op´erateur elliptique de la forme−∆ − σ2 (voir la figure 2.1). Le second s’attache `a l’obtention d’une in´egalit´e de Carleman dans un cadre g´en´eral pour des op´erateurs elliptiques au voisinage d’une multi-interface. On donnera aussi des appli-cations au contrˆole.
Enfin, dans la partie III, on s’int´eresse `a l’obtention d’in´egalit´es de Carleman pour des probl`emes sin-guliers, dans le cadre de domaines polygonaux. Nous d´emontrons une in´egalit´e pour l’op´erateur augment´e −∆ − ∂2
s, et une in´egalit´e pour l’op´erateur avec param`etre spectral−∆ − σ2. On en d´eduit les applications au contrˆole et `a la stabilisation, suivant la strat´egie donn´ee en figure2.1. Enfin, on d´emontre les mˆemes r´esultats pour le Laplacien avec un potentiel en carr´e inverse−∆ − µ|x|−2, en dimension d≥ 3.
En derni`ere section, nous pr´esentons une m´ethode pour obtenir des in´egalit´es d’interpolation ponc-tuelles en temps pour les solutions de la chaleur, qui quantifient le prolongement unique. Ces in´egalit´es sont ´equivalentes `a l’in´egalit´e spectrale. Nous pr´esentons une esquisse d’application `a l’´equation de Crocco. Cette m´ethode permet d’´eviter l’ajout de la variable s suppl´ementaire, et nous esp´erons ainsi pouvoir d´emontrer une in´egalit´e spectrale en utilisant cette m´ethode.