Influence combinée du pas de discrétisation et du degré d’interpolation

Le temps de simulation est maintenant fixé à T=6.6_×10−9 _{s. On compare alors sur les figures2.45à2.48} les distributions spatiales de la composante Ez suivant la droite y = 0.5 pour différentes valeurs du pas de discrétisation (i.e. du nombre de points N définissant la grille cartésienne) et du degré d’interpolation p pour des méthodes GDDT reposant sur des approximations polynomiales de Lagrange et de Solin. Pour un jeu de points de discrétisation du domaine composé de N = 8_{× 8 sommets, les figures} 2.45et 2.46générées par un ordre d’approximation égal à 5 pour les deux bases présentent des défauts sur l’un des principaux sommets de la courbe qui disparaissent si l’on enrichit les méthodes d’un ordre supérieur où si l’on intensifie le raffinement du maillage, comme le montre la figure 2.47. Ce dernier phénomène se ressent particulièrement dans le cas d’approximations polynomiale de Lagrange d’ordres inférieurs, comme par exemple pour une méthode GDDT-P4 où l’on voit sur la figure2.48 l’influence importante du pas de discrétisation sur la précision et le déphasage de la solution approchée.

-2000 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Ez x L5 -2000 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Ez x L6 Méthode GDDT-P5 Méthode GDDT-P6

Figure_{2.45 – Courant source localisé dans l’espace libre (F=2GHz) : méthodes GDDT-P}5et GDDT-P6basées

sur une base de fonctions de Lagrange. Distribution spatiale de la composante Ez suivant la droite y = 0.5.

-2000 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Ez x S5 -2000 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Ez x S6 Méthode GDDT-P5 Méthode GDDT-P6

Figure_{2.46 – Courant source localisé dans l’espace libre (F=2GHz) : méthodes GDDT-P}5et GDDT-P6basées

sur une base de fonctions de Solin. Distribution spatiale de la composante Ez suivant la droite y = 0.5. Maillage

avec N=8 × 8 sommets. -2000 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Ez x L5

Figure_{2.47 – Courant source localisé dans l’espace libre (F=2GHz) : méthode GDDT-P}5 basée sur une base

de fonctions de Lagrange. Distribution spatiale de la composante Ez suivant la droite y = 0.5. Maillage avec

N=10 × 10 sommets. -2000 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Ez x N=8 N=10 N=12

Figure_{2.48 – Courant source localisé dans l’espace libre (F=2GHz) : méthode GDDT-P}4 basée sur une base

2.7

Conclusion

A notre connaissance, aucune étude numérique comparative et détaillée de méthodes d’interpolation polynomiale n’avait été réalisée jusqu’ici dans le cadre de formulations Galerkin discontinues pour la résolution numérique des équations de Maxwell instationnaires sur des simplexes. Afin de tirer profit de la particularité de ces formulations à autoriser naturellement une non-conformité de l’approximation polynomiale, nous avons présenté dans ce chapitre une analyse exhaustive de différentes fonctions de bases locales polynomiales en dimensions 1 et 2, en association avec la méthode entièrement explicite GDDT-Pp décrite au premier chapitre et analysée dans [Fezoui 2005], comme une étude préalable à l’exploitation de la p-adaptivité pour la simulation numérique de problèmes de propagation tridimensionnels. La plupart des méthodes Galerkin discontinues présentes dans la littérature se basent sur une interpolation d’ordre élevé généralement construite à partir des polynômes de Lagrange. De par leur nature nodale, elles sont sujettes au phénomène de Runge et se révèlent peu efficaces et mal adaptées lorsque l’on souhaite faire varier la distribution des degrés de liberté sur les éléments du maillage. En revanche, les fonctions de base hiérarchiques orthogonales nécessitent moins de calculs pour le calcul des intégrales de volume et de surface, conduisent à des matrices locales mieux conditionnées et facilement déductibles les unes des autres lorsque l’ordre d’approximation est enrichi localement.

En dépit des différences notables entre les propriétés et les avantages propres à chaque type d’interpolation polynomiale (base nodale, modale ou hiérarchique), les problèmes instationnaires tests considérés en 1D et en 2D dans cette étude ne font ressortir aucune base en particulier concernant la précision des résultats, quelque soit le schéma d’intégration en temps utilisé. Il apparait donc que le rôle du conditionnement dans les méthodes utilisant un schéma explicite a très peu d’impact sur les résultats, même à l’ordre élevé, et reste faible comparativement aux méthodes implicites nécessitant la résolution d’un système linéaire à chaque pas de temps. Il serait néanmoins intéressant d’étendre l’étude de problèmes instationnaires à des ordres d’approximation supérieurs à 6 pour évaluer l’influence du conditionnement sur des matrices élémentaires de plus grande taille et éventuellement de distinguer plus nettement les bases entre elles selon leur précison.

L’étude numérique monodimensionnelle a fait ressortir l’intérêt à considérer des schémas d’intégration en temps d’ordre plus élevé que le schéma saute-mouton d’ordre 2. Les méthodes intégrées par des schémas en temps d’ordre 4 conduisent sans surprise à une meilleure précision numérique à condition toutefois d’utiliser le schéma approprié dans chacun des cas tests considérés pour lesquels la complexité du signal que l’on propage semble cruciale. Un avantage non négligeable des schémas en temps LF4 et RK4 est leur capacité à disposer de conditions CFL plus élevées que pour le schéma LF2, dictant ainsi un nombre réduit de pas de temps pour chacun des ordres d’approximation, indépendemment de la base polynomiale choisie. A priori, les bases se ne différencient pas les unes des autres sur le critère de stabilité mais une étude théorique de stabilité par une approche formelle est nécessaire afin d’écarter toute hypothèse pouvant être liée à la nature de la base d’interpolations polynomiale. En termes de performances, l’étude bidimensionnelle de problèmes instationnaires plus réalistes montre que les méthodes d’interpolation de Lagrange et de Bernstein sont les plus efficaces et que la base de Sherkin-Karniadakis est de loin la plus coûteuse. Les autres bases hiérarchiques, associées à des méthodes GDDT-P5 et GDDT-P6, se révèlent un peu plus lentes que les bases de Lagrange et de Bernstein pour les même ordres, toutefois cet écart de performance bien que non négligeable se fait moins ressentir pour des ordres d’approximation très élevés. L’élaboration des méthodes GDDT-Ppreposant sur les fonctions de base hiérarchiques à partir de travaux existants n’a pas été aussi simple que prévu d’un point de vue algorithmique et a par conséquent modéré notre étude, qui demeure incomplète, mais qui offre toutefois un cadre préliminaire essentiel à la mise en œuvre de méthodes p-adaptives. D’autres contributions telles que l’étude de cas tests plus compliqués faisant par exemple intervenir des milieux hétérogènes, l’exploitation totale de la p-adaptivité d’un point de vue algorithmique ou encore l’étude de l’influence des bases sur les convergences numériques des méthodes GDDT-Ppassociées peuvent également fournir de précieuses informations sur le choix d’un jeu optimal de fonctions de base et font partie des pistes restantes à explorer. L’objectif à plus long terme, en

continuité avec les travaux de cette thèse, est la construction et l’étude comparative d’estimateurs d’erreur a posteriori pour l’approximation des équations de Maxwell en domaine temporel en vue d’obtenir une méthodologie hp-adaptative pour la simulation numérique de problèmes de propagation tridimensionnels.

High order DGTD method with local

time stepping

Sommaire

3.1 Introduction . . . 119