Agora, apresentaremos duas coleções de matemática para o ensino fundamental, lançadas na década de noventa, que incluem construções geométricas. Não se trata de uma análise global das obras. O nosso interesse se restringe às construções geométricas.
Nos Cadernos da TV Escola, Conversa com o professor – Matemática21, se
reconhece que “a Geometria é uma parte essencial da Matemática.(...) A Aritmética (os números e as operações) e a Geometria (as formas) são dois ramos básicos da Matemática.” Em outro momento, se considera que “o ensino de Geometria vem sendo valorizado porque colabora com o desenvolvimento cognitivo das crianças. Há indícios de que crianças que trabalham com formas geométricas, tornam-se mais organizadas, desenvolvem coordenação motora e visual, melhoram a leitura, compreendem mais rapidamente gráficos, mapas e outras informações visuais”, justificando o estudo de Geometria no ensino fundamental.
Avaliamos que a retomada do ensino da geometria euclidiana, nas últimas décadas, trouxe, para alguns autores de livros didáticos de matemática no Brasil, a preocupação de estar reintroduzindo, de algum modo, construções da geometria euclidiana plana, com régua e compasso; mostrando aos professores outras maneiras de se conduzir a geometria, explorando caminhos não valorizados por outros autores. Um destes caminhos seria o proposto por Euclides, 300 anos antes de Cristo. Quanto a isto, nada de novo.
21 IMENES, Luís Márcio. LELLIS, Marcelo. Conversa de Professor: Matemática. Cadernos da TV Escola. Brasília: Ministério da Educação e do Desporto/Secretaria de Educação à Distância, 1996.
Matemática: idéias e desafios, de Iracema Mori e Dulce Satiko Onaga
As construções geométricas estão inseridas em diversos tópicos da coleção, de 5a a 8a série,Matemática: idéias e desafios, lançada em 1996, pela editora Saraiva. As autoras, licenciadas em Matemática pela USP, ambas professoras de rede pública e particular de ensino do Estado de São Paulo e assessoras de Matemática em escolas da rede pública e particular em São Paulo, atendendo às tendências do ensino de matemática, propuseram trabalhar a geometria ao longo dos 4 anos do 3º e 4º ciclos do ensino fundamental.
As construções geométricas com a utilização de instrumentos de desenho estão presentes nos livros-texto e no caderno de exercícios das 6a, 7a e 8a séries.
O livro dedicado à 6a série traz:
– Traçado de bissetrizes (p. 252);
– Traçado de retas perpendiculares (p. 256-257).
No manual do professor é sugerido que se trabalhe a condição da existência de um triângulo, utilizando a desigualdade triangular e régua e compasso, caso o professor julgue conveniente explorar a construção de triângulos com instrumentos. (p.25)
Para a 7a série:
– Traçado de retas paralelas (p. 162 - 163); – Traçado de perpendicular (p.167);
– Construção de triângulos (p.180).
O manual do professor estimula, em diversas situações, o professor a utilizar as construções geométricas em sala de aula. É lembrado que
“as construções de figuras geométricas com régua e esquadro exigem a manipulação
de materiais para desenho. Essa manipulação subsidia a construção dos conceitos básicos necessários à Geometria Euclidiana, não de uma maneira axiomática, mas numa proposta que se inicia empiricamente medindo, experimentando, analisando – até desenvolver o raciocínio lógico-dedutivo.” (Mori & Onaga, 1996, v.3, p.27)
Para construção de um ponto simétrico a outro em relação a uma reta, o manual do professor sugere que seja realizada com a utilização dos instrumentos de desenho. E no capítulo referente ao estudo dos triângulos se propõe “a construção de triângulos com régua e compasso numa tentativa de dar subsídios aos alunos para a compreensão das condições que determinam a existência de um triângulo: a relação de medidas entre os lados” ( p.29).
Já para a 8a série, a primeira atividade apresentada para se realizar com régua e compasso, no livro texto, é a determinação de pontos na reta real, como a raiz quadrada de 2, calculados, também, com o auxílio do Teorema de Pitágoras.
Após o estudo do Teorema de Tales, existem dois problema para se resolver com régua e compasso: dividir um segmento em 7 partes iguais e determinar um ponto que divida um segmento em dois outros tal que a razão entre eles seja de 4 para 7. Ao se tratar
das figuras semelhantes, é proposta uma atividade para se construir um quadrilátero semelhante a outro dado, em que a razão de semelhança seja 2. O Caderno de Exercícios propõe apenas três atividades para se trabalhar com régua e compasso.
Apesar de as construções geométricas serem apenas sugestões de atividades, pelo fato de se localizarem no livro-texto, podem despertar a curiosidade do aluno. A proposta de se utilizar em alguns momentos a régua e o compasso, sugerida no manual do professor, especialmente na 7a série, demonstra uma preocupação das autoras em resgatar as construções fundamentadas junto à teoria da geometria, proporcionando um aprendizado mais efetivo, explorando e apresentando mais de um tipo de resolução para um determinado problema. O Manual do professor traz sugestões que podem ou não ser seguidas pelo professor. A utilização dos instrumentos de desenho aparecem, em geral na seção livre ou em “Leitura +”, onde as próprias autoras destacam que neste espaço são tratados
“assuntos extracurriculares e interdisciplinares”. Caso o professor não tenha tido a
disciplina Desenho Geométrico durante a sua formação, tanto pode se sentir estimulado a estudar o assunto sozinho ou procurar auxílio com um colega, como pode, simplesmente, ignorar estes tópicos dizendo aos seus alunos que as construções geométricas “não são relevantes” para o estudo que estão fazendo.
O mais importante da coleção Matemática: idéias e desafios, neste estudo, é o fato de termos livros didáticos de matemática que incluem construções geométricas.
Matemática, de Luiz Márcio Imenes e Marcelo Lellis
A coleção Matemática, de 5a a 8a série, foi lançada em 1998 pela editora Scipione. Imenes é mestre em Educação Matemática pela UNESP de Rio Claro, e Lellis é bacharel em Matemática pela IME-USP. Tendo boa aceitação pelos professores, no ano de 1999, a primeira edição já alcançava a sua 7a reimpressão. A coleção tem uma proposta diferente.
Já no primeiro livro do professor, o qual os autores denominam Manual Pedagógico, alerta-se que os capítulos de construções geométricas dentro da coleção, não constituem um curso de Desenho Geométrico, “o aluno usa livremente todos os instrumentos de desenho, além de outros recursos, como papel quadriculado. Além disso, não se faz a distinção teórica entre construção aproximada e construção exata.” No entanto,
“Por meio do desenho, de maneira agradável, os alunos desenvolvem enormemente seus conhecimentos sobre medidas e sobre geometria, além de aprimorar suas habilidades visuais e motoras.” (p.29).
O livro da 5a série já inicia com tópicos de geometria, com o título “Formas geométricas”. Neste primeiro capítulo, primeiramente, são introduzidas as formas espaciais e a planificação de cubos e paralelepípedos. Depois são introduzidas outras formas espaciais, para, posteriormente iniciar o estudo de geometria plana, o que acontece com o conceito de ângulo. São introduzidas as primeiras construções de perpendiculares, paralelas e oblíquas, com a utilização da régua e esquadro. O jogo de esquadros é indicado em uma atividade para medir ângulos. Em seguida é introduzido o uso da régua e do esquadro, com diversas atividades e, posteriormente, o compasso. As construções geométricas param por
aí, sendo retomadas no capítulo 4. Apesar disto, o tópico que trata dos mosaicos pode remeter a atividades com os instrumentos de desenho, mas isto não é proposto pelos autores. A sugestão é que o primeiro capítulo seja trabalhado durante quatro semanas. O capítulo 4, intitulado “Construções geométricas”, com a sugestão de ser desenvolvido em duas semanas, inicia um trabalho com malhas quadrangulares. Depois, são propostas atividades com a utilização de régua e esquadro, para traçar paralelas, perpendiculares e segmentos oblíquos. A seguir, a utilização do compasso para transportar medidas e traçar uma circunferência e um hexágono regular inscrito em uma circunferência.
As construções geométricas são retomadas -- no livro da 6a série, no capítulo 7, tratando de quadriláteros, ampliação e redução de figuras. Nos exercícios são propostas construções de circunferência, triângulos (escaleno e equilátero, dadas as medidas dos lados) e hexágono regular inscrito em uma circunferência. O Manual Pedagógico traz sugestões para o professor do desenvolvimento do capítulo, com a recomendação de se utilizarem os instrumentos de desenho, sendo esta uma condição essencial para os autores, que afirmam:
"os instrumentos, além de desenvolverem a coordenação motora e a organização,
ajudam a perceber certas propriedades geométricas. Desenhando e refletindo sobre os problemas propostos os alunos vão adquirir noções sobre paralelismo, perpendicularismo, distâncias, congruências e semelhança de figuras. Vão ainda aprender propriedades básicas da circunferência. Assim, a construção de figuras geométricas no papel é também uma construção de idéias." (p.42)
Na proposta de plano de curso é sugerido que esse capítulo seja trabalhado durante duas semanas, propondo que o professor desenvolva outras construções com régua e compasso, seguindo os tópicos dados no livro.
O terceiro livro da coleção aborda as construções geométricas no capítulo 4, iniciando com uma dobradura para se obter um triângulo equilátero. Ainda com a dobradura é proposta a construção da bissetriz de um ângulo, perpendiculares, quadrado, medianas de um triângulo. Depois, construções, com régua e compasso: triângulos e atividades que envolvem o traçado de circunferência. Para trabalhar simetrias são utilizados compasso, régua e esquadro. Os autores enfatizam no Manual Pedagógico que
“o capítulo foge um pouco do padrão deste livro porque enfatiza ações e atividades
manipulativas que exigem o uso de instrumentos como esquadros, compasso, tesoura, etc. Assim, as aulas deverão ter uma dinâmica diferente e a avaliação também deve ser especial. (...) Construções geométricas podem ser trabalhadas pelo professor de desenho geométrico ou de educação artística, pois desenvolvem senso estético, habilidades motoras e são, ainda, muito agradáveis para os alunos. Para o professor de Matemática, elas têm mais uma função, bem importante, que é a de fornecer um tipo de vivência que auxilia enormemente a compreensão de diversas propriedades geométricas. (...) Aqui retomamos o trabalho com as construções geométricas de uma maneira bem mais livre que a do desenho geométrico tradicional, propiciando por meio da construção de figuras a construção e descoberta de valiosas idéias geométricas.” (Imenes & Lellis, 1998, v.3, p.25)
O quarto livro da coleção, dedicado à 8a série, trata das construções geométricas, apenas no último capítulo. Neste são apresentadas as simetrias rotacional, central e de rotação; construção de triângulos; quadriláteros regulares e irregulares; determinação do centro de uma circunferência; para depois introduzir o estudo da perspectiva. Esse capítulo colocado por último nos dá a impressão de que não foi ocasional. Os autores estrategicamente deixaram as construções geométricas para o final, permitindo ao professor justificar: “não trabalhei esta unidade por falta de tempo”. Imenes e Lellis, no final de uma série de testes que foram denominados Vestibulinho, afirmam que três tópicos – equações biquadradas, equações irracionais e inequações – não foram tratados na coleção, justificando que os mesmos são mais adequados para serem tratados no ensino médio. O professor pode, também, justificar a omissão do capítulo de construções geométricas em favor dos conteúdos deixados de lado pelos autores, já que no programa de ensino proposto, para o último capítulo, são dedicadas três semanas, tempo que pode ser investido para trabalhar os tópicos omitidos.
Supertestes é uma seção no Manual Pedagógico, com diversas questões extras. Nesta seção, em todos os livros da coleção, não existem exercícios propostos referentes aos capítulos de construção geométrica. Este fato pode sugerir ao professor que as construções geométricas não deverão ser tão valorizadas, mesmo porque também se aconselha a não se fazer uma avaliação convencional em relação aos capítulos dedicados às construções: “uma prova formal não tem sentido e é até indesejável” (Manual Pedagógico da 7a série, p. 62).