7.3 Algorithmes
7.3.4 Implantation
Afin de valider expérimentalement notre approche, nous avons implanté l’algorithme DRM dans les logiciels maple et singular. Nous avons ainsi pu répertorié et comparer les temps de calcul de notre implantation sur la suite d’exemples présentée dans l’article [31].
Les exemples considérés ici sont facilement résolubles par les algorithmes de l’état de l’art. Ils permettent de vérifier que notre algorithme se comporte de manière satisfaisante dans les cas simples, tout en renvoyant une sortie adaptée au calcul de la variété discriminante.
On peut remarquer en table7.1 pour l’implantation en singular que les temps de calcul de notre algorithme de décomposition régulière minimale est plus rapide sur certains exemples et plus lent sur d’autres que les algorithmes de décomposition de singular. Par ailleurs, on peut remarquer que les temps de calcul de cette première implantation sont toujours infé-rieurs à 5 secondes. Dans la table 7.2, on applique ces algorithmes sur les trois principaux exemples traités dans cette thèse. En particulier, on remarque que lorsque le système consi-déré est bien posé, le temps de décomposition régulière minimale est alors négligeable. Ainsi la décomposition systématique par une DRM des systèmes paramétrés ne semble pas péna-liser le calcul général de la variété discriminante lorsque le système considéré est bien posé. Dans le cas du système surdéterminé présenté au chapitre 9, équation 9.7, le calcul de la DRM permet dans un temps raisonnable d’obtenir une représentation compact du système considéré. En particulier, on peut ensuite calculer facilement la composante critique de la variété discriminante correspondant à ce système.
La fonction de décomposition partielle Drm-Sep a été implantée en maple. En table
7.3, on a comparé les temps de calcul des implantations maple de la décomposition régulière minimale complète (fonction Drm) avec celui de la décomposition partielle (fonction Drm-Sep). On observe ainsi en pratique que l’on peut gagner en temps un facteur non négligeable en évitant la décomposition des composantes de petites dimension avec la fonction
Drm-Sep. Pour les systèmes 2, 3, 7, 23, 24 par exemple, on observe un gain de facteur 2 (systèmes 2, 3, 7, 23, 24), et on gagne même un facteur 10 en temps pour le système 16.
minAssGTZ minAssChar equidim equidim-EHV DRM DGP1 13 7 1 1 25 DGP2 20 16 41 16 42 DGP3 3 1 4 5 3 DGP4 9 3 4 2 7 DGP5 37 * 238 * 88 DGP6 7 19 473 * 213 DGP7 12 32 16 16 24 DGP8 3 397 1 1 6 DGP9 32 1916 1 1 6 DGP10 8 * 0 1 7 DGP11 * * 8 6 64 DGP12 43 * 0 0 3 DGP13 19 * 0 1 6 DGP14 4 5 2 1 0 DGP15 22 281 1 0 47 DGP16 330 3721 153 143 410 DGP17 99 * 0 0 5 DGP18 6 213 1 1 11 DGP19 7 * 4 3 14 DGP20 8 304 5 195 26 DGP21 1 1 10 13 5 DGP22 13 13 59 * 42 DGP23 47 40 30 * 44 DGP24 4 8 9 20 3 DGP25 55 142 921 * 242 DGP26 28 * 0 1 16 DGP27 6 21 0 0 2 DGP28 13 11 1 0 1 DGP29 2 0 2499 * 4 DGP30 91 46 8 * 30 DGP31 5 2 0 0 1 DGP32 5 5 68 * 19 DGP33 4 3 2 1 11 DGP34 * * 3 3 62
* signifie que les calculs ont duré plus de 60 secondes (sur un processeur 32 bits, 2.8GHz Intel pentium)
Tab. 7.1 – Temps de décomposition équidimensionnelle des exemples de [31], en singular (en centièmes de seconde)
minAssGTZ minAssChar equidim equidim-EHV DRM
Polynômes creux (Eq. 5.1, k=3) 119 1 0 0 1
Calibration (Eq. 4.1) 0 0 0 0 0
Robots parallèles (Eq. 9.7) * * * * 1362
* signifie que les calculs ont duré plus de 60 secondes (sur un processeur 32 bits, 2.8GHz Intel pentium)
Tab. 7.2 – Temps de décomposition équidimensionnelle des applications de cette thèse, en singular (en centièmes de seconde)
ratio : temps Drm temps Drm-Sep DGP1 1.41 DGP2 2.09 DGP3 2.50 DGP4 1.89 DGP5 1.63 DGP6 1.02 DGP7 2.15 DGP8 1.05 DGP9 1.05 DGP10 1.06 DGP11 1.07 DGP12 1.04 DGP13 0.99 DGP14 0.94 DGP15 1.61 DGP16 10.29 DGP17 1.05 ratio : temps Drm temps Drm-Sep DGP18 0.93 DGP19 0.98 DGP20 1.05 DGP21 1.02 DGP22 1.49 DGP23 2.34 DGP24 2.68 DGP25 1.84 DGP26 1.01 DGP27 1.04 DGP28 1.06 DGP29 1.03 DGP30 0.99 DGP31 0.95 DGP32 1.91 DGP33 1.09 DGP34 1.00
minAssGTZ calcule les idéaux premiers associés à un idéal en utilisant l’algorithme de [50]
minAssChar calcule les idéaux premiers associés à un idéal
en utilisant les ensembles caractéristiques de Ritt-Wu ([136])
equidim calcule une décomposition équidimensionnelle d’un idéal
en utilisant l’algorithme de [50]
equidim-EHV calcule une décomposition équidimensionnelle d’un idéal en utilisant l’algorithme de [36]
Chapitre 8
Complexité des suites
pseudo-régulières
Cette section est destinée à prouver que l’algorithme de calcul d’une décomposition
ré-gulière minimale d’un idéal se place dans une classe de complexité raisonnable vis-à-vis des
méthodes existantes.
On se placera pour cette analyse dans le cas où l’idéal d’entrée est engendré par une suite pseudo-régulière, notion définie en section 8.1. La complexité de l’algorithme 4est plus facile à étudier dans ce cadre particulier dans lequel on peut toujours se ramener (voir lemme
26). Cependant, si nous ne proposons pas de bornes de complexité satisfaisante pour le cas général, cela ne signifie pas pour autant que l’algorithme se comporte moins bien lorsque la suite donnée en entrée n’est pas pseudo-régulière. Notamment, notre étude de complexité se place dans le cas où les polynômes sont représentés sous leur forme dense et ne prend donc pas en compte le caractère creux des polynômes.
L’analyse de complexité en temps et en espace sera exprimée en fonction de la complexité des opérations de bases suivantes :
– le calcul de la dimension d’un idéal I
– le calcul de la saturation d’un idéal I par un polynôme f.
Notamment, on montre que si f1, . . . , fk est une suite pseudo-régulière engendrant un idéal I, de degrés respectifs d1, . . . , dk alors, on peut calculer une décomposition régulière minimale de I :
– telle que ∀(S, F) ∈ D, max(deg(f) | f ∈ S ∪ F ) ≤ d1· · · dk – en Od1···dk+n
n
2
étapes sur une machine de Türing.
8.1 Suite pseudo-régulière
Les suites pseudo-régulières sont introduites sous le nom de rather regular sequences dans [13].
Elles possèdent de bonnes propriétés pour l’étude de complexité qui leur ont valu d’être utilisées pour l’étude d’une variante du Nullstellensatz effectif ([13]) ou encore pour améliorer la borne supérieure du temps de calcul de la décomposition équidimensionnelle ([90]).
Définition 32. (Suite pseudo-régulière)
Soit f1, . . . , fk une suite de polynômes engendrant l’idéal I. On dit que la suite est pseudo-régulière si et seulement si :
i) P ∈ minass(hf1, . . . , fii) \ minass(I) ⇒ fi+1 ∈ P/ ii) ∃P ∈ minass(hf1, . . . , fii) | fi+1 ∈ P/
Remarque 17.
– Une suite régulière est aussi une suite pseudo-régulière.
– Si la codimension de I est c, alors, les c premiers polynômes de la suite pseudo-régulière forment une suite régulière.
Exemple 8. La suite (xy, x(x − 1)) de polynômes de Q[x, y] est pseudo-régulière. En effet,
soit I l’idéal hxy, x(x − 1)i. Ses premiers isolés sont :
minass(I) = {hxi , hx − 1, yi}
Les premiers isolés de hxyi sont hxi et hyi. On remarque que hyi ∈ minass(hxyi) \
minass(I), et x(x − 1) /∈ hyi. Ainsi les conditions i) et ii) de la définition des suites
pseudo-régulières sont satisfaites.
Exemple 9. (Retour sur la courbe gauche)
Soient s1 = xz −y2, s2 = wy −z2, s3 = wx−yz les trois polynômes de Q[x, y, z, w] introduits
dans l’exemple 6 et dont les zéros forment la courbe gauche. Nous allons montrer que la suite
(s1, s2, s3) est pseudo-régulière.
D’abord, on peut remarquer que s1 et s2 n’ont pas de facteur en commun, ce qui satisfait donc les conditions i) et ii) de la définition d’une suite pseudo-régulière pour le cas i = 1.
Ensuite, pour i = 2, si P ∈ minass(hs1, s2i), alors on peut vérifier facilement que s3 ∈ P ⇔ P ∈ minass(hs1, s2, s3i). Ceci nous montre ainsi que la condition i) est satisfaite. Pour la condition ii), il suffit de remarquer que l’idéal hy, zi est un premier isolé de hs1, s2i qui ne contient pas s3
Exemple 10. Soient f1 = xy, f2 = x(x + y − 1), f3 = y(x + y − 1) trois polynômes de Q[x, y] et soit I l’idéal engendré par ces polynômes. On va voir que la suite (f1, f2, f3) n’est
pas pseudo-régulière.
On peut d’abord observer que I est 0-dimensionnel et que ses premiers isolés sont exac-tement :
minass(I) = {hx, yi , hx, y − 1i , hx − 1, yi}
Par ailleurs, les premiers isolés de hf1, f2i sont :
minass(hf1i) = {hxi , hyi}
On peut alors voir que l’idéal premier hxi est bien dans minass(hf1i)\minass(I) et contient f2, ce qui contredit la condition i) de la définition d’une suite pseudo-régulière.
Le lemme suivant montre que étant donné un idéal I, il existe toujours une suites pseudo-régulières engendrant un idéal J tel que √I =√J.
Lemme 26. [13, Lemma 0]
Soit I un idéal engendré par f1, . . . , fm dans K[x1, . . . , xn] où K est un corps de
caracté-ristique 0. Alors il existe une suite pseudo-régulière h1, . . . , hk telle que, quitte à changer les indices :
i) √I =qhh1, . . . , hki
ii) ∀1 ≤ i ≤ k, deg(hi) = deg(fi)
Remarque 18.
– En pratique, une telle suite peut s’obtenir en combinant linéairement et aléatoirement les polynômes f1, . . . , fm.
– Une telle opération n’a pas d’impact significative sur la complexité théorique du calcul. Ce n’est pas le cas en pratique, où le caractère creux de certains polynômes par exemple peut être perdu par cette opération.
Exemple 11. En reprenant les notations de l’exemple 10, la suite : f1, f2+ f3, f3
est une suite pseudo-régulière.
On remarque que f1 et f2 + f3 n’ont pas de facteur en commun, ce qui nous permet de conclure en suivant la même preuve que pour l’exemple 9.
Pour l’étude de complexité qui suit, on supposera que la suite donnée en entrée est pseudo-régulière.