Impl´ementation du SEEK dans NEMO : le logiciel SESAM

5.5.1 Vecteur d’´etat et vecteur d’observation . . . . 82

5.5.2 Un outil de diagnostic : le calcul d’erreur RMS . . . . 82

5.6 Conclusion . . . 83

5.1 Introduction

Nous avons pr´ec´edemment expos´e la th´eorie du filtre de Kalman et du lisseur associ´e. N´eanmoins, les formulations th´eoriques telles qu’elles ont ´et´e ´enonc´ees ne peuvent pas ˆetre appliqu´ees directement `a un probl`eme r´ealiste de g´eophysique et ce `a cause de la taille des syst`emes. En effet, dans un probl`eme g´eophysique (oc´eanographie ou m´et´eorologie par exemple), la dimension des vecteurs d’´etat n peut ˆetre de l’ordre de 106 ou bien plus. Cette dimension d´epend essentiellement de la r´esolution du mod`ele consid´er´e et de la zone ´etudi´ee. Les matrices associ´ees `a la taille du syst`eme (P^f etP^a par exemple) sont alors de dimensionn×n. Les calculs associ´es `a ces matrices et l’espace n´ecessaire pour les stocker s’av`erent beaucoup trop importants compte tenu de la puissance des outils de calcul. Le stockage est encore plus probl´ematique dans le cadre du lissage puisqu’il est n´ecessaire de stocker des matrices de covariances crois´ees suppl´ementaires. La version SEEK (Singular Evolutive Extended Kalman) du filtre a ´et´e d´evelopp´ee parPham et al.(1998) dans le but de parer `a ce probl`eme. Son impl´ementation dans les probl`emes d’oc´eanographie a d´ej`a ´et´e largement renseign´ee (Brasseur et Verron, 2006 etRozier et al., 2007 par exemple). Il existe d’autres m´ethodes de r´eduction d’ordre, comme par exemple le filtre de Kalman d’Ensemble (EnKF : Ensemble Kalman Filter) introduit par Evensen (1994), le filtre racine carr´ee de rang r´eduit (RRSQRT : Reduced-Rank SQuare-RooT filter) d´evelopp´e par Verlaan et Heemink (1997) ou encore l’algorithme d’estimation statistique du sous-espace d’erreur (ESSE : Error Subspace Statistical Estimation) pr´esent´e par Lermusiaux et Robinson (1999). Chacune de ces m´ethodes a ´egalement ´et´e associ´ee `a la mise en place du lissage selon diff´erentes formulations. Citons par exemple le cas du lisseur d’ensemble (EnKF) test´e par van Leeuwen (1999) et van Leeuwen (2001) avec un mod`ele 2-couches quasig´eostrophique.Lermusiaux et Robinson(1999) ont quant `a eux mis en place en lisseur s’apparentant `a un RTS d’apr`es le filtre ESSE, test´e par la suite dans un context r´ealiste d’assimilation haute-r´esolution (Lermusiaux, 1999a ; Lermusiaux, 1999b et Lermusiaux et al., 2002). Cosme et al.(2010) ont impl´ement´e un lisseur SEEK dans une configuration id´ealis´ee boˆıte carr´ee de la circulation oc´eanique.

Nous allons nous concentrer dans ce chapitre sur le sch´ema SEEK (section 5.2) et red´efinir les formulations associ´ees du filtre et du lisseur (section 5.2.4). Nous ´evoquerons ´egalement diverses param´etrisations n´ecessaires `a l’impl´ementation de la version SEEK (section 5.3). Nous terminerons en pr´ecisant la mise en place technique de ces algorithmes grˆace au logiciel SESAM (section 5.4).

5.2 Mise en place du filtre et du lisseur de Kalman dans un

environnement r´ealiste : d´eveloppement du SEEK

Commen¸cons par aborder l’hypoth`ese de la r´eduction d’ordre.

5.2.1 La r´eduction d’ordre

L’objectif principal de la r´eduction d’ordre est de permettre la mise en œuvre num´erique d’un filtre (et par extension d’un lisseur) dans le cadre de probl`emes de grande dimension, tout en conservant les caract´eristiques principales de ces sch´emas d’assimilation. Au-del`a de l’aspect de coˆut de calcul, d’autres arguments justifient ´egalement la r´eduction d’ordre. D’une part, il a ´et´e d´emontr´e que le syst`eme oc´ean peut ˆetre consid´er´e comme un syst`eme

5.2. Mise en place du filtre et du lisseur de Kalman dans un environnement r´ealiste :

d´eveloppement du SEEK 71

dynamique poss´edant un attracteur de dimension finie (Pham et al., 1998). Pour les ´equations de Navier-Stokes, l’existance de cet attracteur a ´et´e d´emontr´ee dansLions et al.

(1997). La g´eostrophie en est l’une des propri´et´es dominantes, ce qui permet d’imposer des contraintes fortes entre certaines variables. Il s’av`ere ainsi inutile de vouloir corriger le mod`ele selon des directions qui vont `a l’encontre de la nature attractive du syst`eme. D’autre part, le nombre d’observations disponibles est g´en´eralement tr`es insuffisant pour d´ecrire compl`etement les statistiques d’erreur du syst`eme. L’utilisation d’un filtre de Kalman de rang complet est donc superflue (Cane et al., 1996).

5.2.2 Formulation SEEK du filtre

La r´eduction d’ordre passe d’abord par la r´e-´ecriture des ´equations grˆace `a une d´ecomposition racine carr´ee de la matrice des covariances d’erreur : P<sup>f</sup> = S<sup>f</sup>S<sup>f T</sup>. La matrice P reste de dimension n×n, mais la matrice Sf est de mˆeme dimension initialement mais peut ˆetre tronqu´ee pour devenir de dimension n×r, avec dans l’id´eal r << n comme nous le verrons un peu plus loin. Le syst`eme reste coh´erent avec la dimension du vecteur d’´etat. Les colonnes deSf contiennent lesr premi`ers modes de Pf, c’est-`a-dire les informations consid´er´ees comme les plus repr´esentatives de la matrice compl`ete. Il existe diff´erentes approches pour d´eterminer les composantes principales de P. Nous d´ecrirons celles que nous allons utiliser au cours de nos travaux dans la section 5.3.2.

Avec la d´ecomposition en racine carr´ee, les ´equations du filtre peuvent ˆetre reformul´ees comme suit (les indices utilis´es sont les mˆemes que dans le cadre du lisseur).

Etape de pr´evision

x^f_k|k−1 = M_k−1,kx^a_k−1|k−1 (5.1)

P^f_k|k−1 = (M_k−1|kS^a_k−1|k−1)(M_k−1|kS^a_k−1|k−1)^T +Q_k−1|k (5.2) Dans cette formulation, le nombre d’int´egrations du mod`ele `a effectuer entre les ´etapes k−1 et k pour propager les covariances d’erreur devient simplement ´egal au nombre de colonnes de la matrice Sa, c’est-`a-dire r, +1 pour la propagation de l’´etat. En revanche, la matrice Q<sub>k−</sub>1|k reste probl´ematique, non pas `a cause de sa dimension mais plutˆot par le manque de connaissance la concernant. Nous reviendrons sur cet aspect dans la section d´ecrivant les diff´erentes param´etrisations n´ecessaires pour le filtre (et le lisseur) SEEK (section 5.3.4). Etape d’analyse Γ_k = (H_kS^f_k|k−1)^TR⁻_k¹(H_kS^f_k|k−1) (5.3) K_k = S^f_k|k−1[I+Γ_k]⁻¹(H_kS^f_k|k−1)^TR⁻_k¹ (5.4) d_k = y_k−H_k+1x^f_k|k−1 (5.5) x^a_k|k = x^f_k|k−1+K_k|kd_k (5.6)

S^a_k|k = S^f_k|k−1(I+Γ_k)^−1/2 (5.7) Dans cette formulation, deux conditions doivent ˆetre v´erifi´ees pour que l’algorithme soit relativement peu coˆuteux.

D’une part,R_k doit ˆetre inversible et `a moindre coˆut. Une hypoth`ese simple est de con-sid´erer cette matrice diagonale (c’est-`a-dire de concon-sid´erer que les erreurs sur les observa-tions ne sont pas corr´el´ees entre elles). Cette hypoth`ese n’est pas toujours justifi´ee dans le cas o`u un mˆeme appareil effectue plusieurs mesures (une erreur sur l’appareillage se r´epercute donc sur chacune des mesures, il existe donc bel et bien une corr´elation entre les erreurs de mesure). N´eanmoins l’approximation diagonale demeure largement utilis´ee. D’autres m´ethodes ont ´et´e mises en place pour garder l’avantage d’une matrice diago-nale tout en param´etrant des corr´elation entre les erreurs (notammentTestut et al., 2003 ;

Brankart et al., 2003 etBrankart et al., 2009).

Le deuxi`eme terme dont l’inversion peut s’av´erer d´elicate est I+Γ<sub>k</sub>. En rang complet, cette matrice est de dimensionn×nce qui est beaucoup trop grand pour un calcul efficace. Dans la formulation SEEK, grˆace `a la r´eduction d’ordre, elle est de dimension r×r.

5.2.3 Formulation SEEK du lisseur

Pour r´e-´ecrire les ´equations du lisseur dans une forme SEEK, nous allons consid´erer les sorties d’un filtre au tempstk−1 (un ´etat analys´e x^a_k−1|k−1 et les covariances d’erreur associ´ees S^a_k−1|k−1 sont donc disponibles). On consid`ere alors une nouvelle observation disponible au temps t<sub>k</sub>. On se place dans une situation o`u l’erreur mod`ele est n´eglig´ee. Cela permet de simplifier les ´equations mais surtout permet de rester coh´erent avec le fait que nous n’utiliserons pas directement de terme d’erreur mod`ele dans nos exp´eriences.

Etape de pr´evision

La d´ecomposition en racine carr´ee permet de r´e-´ecrire les ´equation de pr´evision du lisseur comme suit :

x^f_k|k−1 = M_k−1,kx^a_k−1|k−1 (5.8)

P^{f a}_{k,k−1|k−1} = M_k−1,kS^a_k−1|k−1S^a_k−1|k−1^T =S^f_k|k−1S^a_k−1|k−1^T (5.9)

P^f_k|k−1 = M_k−1,kS^a_k−1|k−1S^f_k|k−1^T =S^f_k|k−1S^f_k|k−1^T (5.10) o`u S^f_k|k−1 = M_k−1,kSa

k−1|k−1 est la matrice de covariance d’erreur de pr´evision du fil-tre au temps t_k. On peut noter que la matrice des covariances crois´ees (P^{f a}_{k,k−1|k−1}) est enti`erement d´etermin´ee par les sorties du filtre.

Etape d’analyse

Les diff´erents termes de l’analyse du lisseur (´equations 4.24 `a 4.27) peuvent ˆetre reformul´es comme suit :

K_k−1|k = (H_kS^f_k|k−1S^a_k−1|k−1^T)^TG⁻_k¹

5.2. Mise en place du filtre et du lisseur de Kalman dans un environnement r´ealiste : d´eveloppement du SEEK 73 = S^a_k−1|k−1[I+Γ_k]⁻¹(H_kS^f_k|k−1)^TR⁻_k¹ (5.11) x^a_k−1|k = x^a_k−1|k−1+K_k−1|kd_k (5.12) P^aa_k,i|k = (I−K_k|kH_k)S^f_k|k−1S^a_k−1|k−1^T = S^f_k|k−1[I+Γ_k]⁻¹S^a_k−1|k−1^T (5.13) P^a_k−1|k = S^a_k−1|k−1S^a_k−1|k−1^T −K_k−1|kH_kS^f_k|k−1S^a_k−1|k−1^T = S^a_k−1|k−1[I+Γ_k]⁻¹S^a_k−1|k−1^T (5.14) avec Γ_k d´efini par l’´equation 5.3 du filtre SEEK. L’´equation 5.14 peut ˆetre r´e-´ecrite en racine carr´ee :

S^a_k−1|k =S^a_k−1|k−1[I+Γ_k]^−1/2 (5.15) De mˆeme, l’´equation 5.13 des covariances d’analyse crois´ees peut ˆetre red´efinie grˆace aux ´equations 5.7 et 5.15 :

P^aa_k,k−1|k=S^a_k|kS^a_k−1|k^T (5.16) On remarque donc que les matrices de covariances et de covariances crois´ees d’analyse sont enti`erement d´efinies par les matrices racine carr´eeSa

k|k etSa k−1|k.

Etape d’analyse r´etrospective g´en´eralis´ee

L’´etape d’analyse du lisseur d´ecrite ci-dessus permet de corriger l’´etat `a la date tk−1

grˆace `a l’observation introduite au tempst<sub>k</sub>. Cette ´etape fournit `a la fois les matrices de covariances d’analyse mais aussi les matrices de covariances crois´ees. Les analyses du lisseur peuvent alors ˆetre ´etendues `a n’importe quel ´etat ant´erieur au temps i(aveci < k−1). Il s’agit alors de d´eterminer l’´etat liss´ex<sup>a</sup><sub>i|k</sub> et les covariances d’erreur associ´ees S<sup>a</sup><sub>i|k</sub> `a partir des sorties de l’analyse du filtre (x^a_k−1|k−1 etS^a_k−1|k−1) et du lisseur (x^a_i|k−1 etS^a_i|k−1). Le lisseur suit alors les mˆemes ´etapes que celles d´ecrites pr´ec´edemment. Avec les indicesi, la matrice crois´ee de pr´evision et d’analyse peut alors se r´e-´ecrire :

P^{f a}_k,i|k−1 = M_k−1,kS^a_k−1|k−1S^a_i|k−1^T =S^f_k|k−1S^a_i|k−1^T (5.17) De mˆeme que le gain du lisseur et la matrice racine carr´ee des covariances d’analyse s’´ecrivent :

K_i|k = S^a_i|k−1[I+Γ_k]⁻¹(H_kS^f_k|k−1)^TR⁻_k¹ (5.18)

S^a_i|k = S^a_i|k−1[I+Γ_k]^−1/2 (5.19) Finalement, les matrices des covariances d’analyse et des covariances crois´ees d’analyse s’´ecrivent :

P^a_i|k = S^a_i|kS^a_i|k^T (5.20)

P^aa_k,i|k = S^a_k|kS^a_i|k^T (5.21) Et l’´etat analys´e par le lisseur au tempsiavec les observations disponibles jusqu’au temps ksera d´efini par :

ce qui compl`ete la formulation SEEK du lisseur.

Les ´equations d´efinies ci-dessus permettent donc de mettre en place le filtre SEEK et le lisseur SEEK (de rangs r´eduits) dans un contexte g´eophysique de grande dimension. La section suivante r´esume le sch´ema d’assimilation SEEK et pr´ecise l’´etape d’initialisation du sch´ema d’assimilation.

5.2.4 R´esum´e des ´equations du filtre et du lisseur SEEK

Le d´eveloppement des ´equations du filtre et du lisseur SEEK expos´ees pr´ecedemment est r´esum´e dans le tableau 5.1. La figure 5.1 rappelle de fa¸con sch´ematique le principe du lissage tel que nous l’utilisons.

tk-1 tk tk+1 x^a x^a x^a x^f x^f y x^s1 x^s2 x^s1 y y

Figure5.1 – Sch´ematisation du principe de filtrage s´equentiel (en noir) et du lissage (en rouge),

compte-tenu de divers observations (croix bleues) disponibles aux datesti. Les pointsxad´esignent

les analyses du filtre, les pointsxf d´esignent les pr´evisions, les pointsxsi d´esigne lesieme analyses r´etrospectives du lisseur.

Notons que le lisseur repr´esente uniquement 3 ´etapes suppl´ementaires en plus du filtre, son impl´ementation pratique est donc relativement peu coˆuteuse sous cette formulation. Il ne n´ecessite pas d’int´egration mod`ele suppl´ementaire. Il pr´esente ´egalement l’avantage d’ˆetre ind´ependant du filtrage, cela signifie que le lisseur peut ˆetre appliqu´e en mˆeme temps ou apr`es le filtre sans besoin de nouvelle it´eration mod`ele (`a condition d’avoir acc`es `

a toutes les sorties et statistiques issues du filtrage). Cet aspect est par exemple un atout majeur dans le cadre de r´eanalyses ayant d´ej`a ´et´e effectu´ees, le lisseur pourrait permettre de r´eanalyser les sorties du filtrage pour ´eventuellement les am´eliorer.

L’algorithme d´efini ci-dessus n´ecessite une phase d’initialisation (conditions initiales du probl`eme) et d’autres param´etrisations que nous allons exposer dans la section suivante.

5.3. Param´etrisations du filtre et du lisseur SEEK 75 Initialisation xa 0 etSa 0 Etape de pr´evision x^f_k|k−1 = M_k−1,kx^a_k−1|k−1 propagation de l’´etat (5.23)

S^f_k|k−1 = M_k−1,kS^a_k−1|k−1+Q propagation des erreurs (5.24)

Etape d’analyse du filtre

Γ_k = (H_kS^f_k|k−1)^TR⁻_k¹(H_kS^f_k|k−1) (5.25)

K_k = S^f_k|k−1[I+Γ_k]⁻¹(H_kS^f_k|k−1)^TR⁻_k¹ gain de Kalman (5.26)

d_k = y_k−H_k+1x^f_k|k−1 calcul de l’innovation (5.27)

x^a_k|k = x^f_k|k−1+K_k|kd_k analyse du filtre (5.28)

S^a_k|k = S^f_k|k−1(I+Γ_k)^−1/2 covariances d’analyse (filtre) (5.29)

Etape d’analyse du lisseur

K_i|k = S^a_i|k−1[I+Γ_k]⁻¹(H_kS^f_k|k−1)^TR⁻_k¹ gain de Kalman (lisseur) (5.30)

x^a_i|k = x^a_i|k−1+K_i|kd_k,i∈Σ_k analyse du lisseur (5.31)

S^a_i|k = S^a_i|k−1[I+Γ_k]^−1/2,i∈Σ_k covariances d’analyse (lisseur) (5.32)

Table5.1 –Les diff´erentes ´etapes du filtre de Kalman.

5.3 Param´etrisations du filtre et du lisseur SEEK

5.3.1 Initialisation : l’´etat xa

0

L’´etat initial du syst`eme est g´en´eralement issu d’une exp´erience de simulation libre pass´ee (dans le cadre d’un probl`eme de mod´elisation) ou climatique. Il est ´egalement parfois issu d’une exp´erience d’assimilation pass´ee. Il peut ˆetre parfaitement en accord avec la r´ealit´e ou pr´esenter une certaine erreur ou incertitude quant `a sa v´eracit´e (ce qui est g´en´eralement le cas). Ainsi, cet ´etat repr´esente uneestimation de l’oc´ean au temps t0.

5.3.2 Initialisation : Sa

0 et m´ethode de r´eduction de la matrice des

co-variances d’erreur

L’initialisation de la matrice des covariances d’erreurPasous sa forme racine carr´eeSa 0

est une phase d´elicate et importante (Ballabrera-Poy et al., 2001) puisque toutes les analy-ses vont ˆetre li´ees `a elle.S<sup>a</sup><sub>0</sub>, qui est de rangr, doit repr´esenter les directions principales des erreurs. Pour choisir ces directions, il existe diverses m´ethodes dont une couramment em-ploy´ee : la d´ecomposition en EOFs (Empirical Orthogonal Functions). Cette d´ecomposition permet de trier et classer les modes de variabilit´e d’apr`es une s´erie d’´etats. G´en´eralement,

cette s´erie correspond `a une succession d’´etats issus d’une simulation libre sur plusieurs ann´ees afin de pouvoir capter toute la variabilit´e du syst`eme. Chaque EOF repr´esente une colonne deSa

0 (ou une direction d’erreur) et est associ´ee `a une valeur propre permettant de les classer par ordre d’importance. La r´eduction d’ordre va pouvoir ˆetre effectu´ee en gar-dant uniquement lesr premi`eres EOFs repr´esentant les modes principaux de l’erreur. En pratique, plusieurs crit`eres peuvent permettre de d´efinir le nombre d’EOFs `a s´electionner. Dans le cas o`u la contrainte de coˆut de calcul est forte (notamment avec un filtre ´evolutif), rest choisi le plus petit possible. Ainsi, seules les directions d’erreur les plus globales seront conserv´ees (et les erreurs li´ees `a des ph´enom`enes de plus petites amplitudes ou ´echelles spatiales seront filtr´es).

Si la contrainte num´erique est moins forte, un crit`ere plus objectif peut ˆetre choisi en admettant par exemple qu’il faut conserver assez d’EOFs pour repr´esenter au moins 80% de la variance du signal total. r est alors tr`es variable et d´epend de la forme du signal. Si ce dernier est domin´e par quelques modes principaux, alors ils suffiront `a repr´esenter `a eux-seuls suffisamment de la variance totale. En revanche si le signal est contrˆol´e par de nombreux ph´enom`enes ind´ependants et d’´echelles comparables, alors la d´ecomposition en EOFs ne fera pas forc´ement ressortir de grands modes principaux. Il faudra dans ce cas en garder un grand nombre pour repr´esenter suffisamment bien le signal de base.

Un autre crit`ere, comparable `a celui ´enonc´e ci-dessus, consiste `a s´electionner les EOFs jusqu’`a ce que leur valeur propre atteigne un seuil minimum. En-dessous de ce seuil, elles sont consid´er´ees comme peu repr´esentatives et ne sont pas s´electionn´ees.

L’utilisation de la d´ecomposition en EOFs pour initialiser la base des covariances d’erreur repose sur diverses hypoth`eses implicites (Brankart et al., 2003) :

• la covariance associ´ee `a la variabilit´e du syst`eme est repr´esentative de l’erreur initiale

• la variabilit´e du mod`ele est assimilable `a la variabilit´e du syst`eme

• la s´erie d’´etats ´echantillonn´ee est suffisante pour repr´esenter correctement la vari-abilit´e du syst`eme

• l’information contenue dans les EOFs non s´electionn´ees est n´egligeable.

Bien entendu ces hypoth`eses ne sont parfois pas totalement respect´ees. Nous aurons l’oc-casion de mettre en place une m´ethode de ce type dans les exp´eriences du chapitre 7 et d’en discuter les limites.

5.3.3 Evolutivit´e des covariances d’erreur : les diff´erents types de filtres

Dans la formulation SEEK du filtrage, la matrice racine carr´ee des covariances d’er-reur S `a un instant t<sub>k+1</sub> est d´etermin´ee par deux termes (´equation 5.24) : d’une part la propagation par le mod`ele des covariances d’erreur issues des analyses ant´erieures (M_k−1,kS^a_k−1|k−1M^T_k−1,k), et d’autre part un terme d’erreur li´e aux approximations du mod`ele (Q<sub>k−1,k</sub>). L’aspect propagatif des erreurs peut amener plusieurs probl`emes. Selon la taille de la matrice, malgr´e la r´eduction d’ordre, cette propagation par le mod`ele peut se r´ev´eler tr`es coˆuteuse num´eriquement (il faut autant d’it´erations du mod`ele suppl´ementaires `

a chaque ´etape de pr´evision qu’il y a de membres dans la matriceS). De plus, dans le cas o`u une analyse serait mal param´etr´ee et entraˆınerait de mauvaises corrections (mauvaises corr´elations des observations suite `a la troncature de P), les covariances d’erreur S^a

is-5.3. Param´etrisations du filtre et du lisseur SEEK 77 t₀ t₀₊₁ t₀₊₂ S0 x0 S^a S^f S^a S^f t₀ t₀₊₁ t₀₊₂ S0 x0 S^a S^f S^a S^f a xf xf t₀ t₀₊₁ t₀₊₂ S0 x0 S^a S₀ S^a x^a xf xf S₀ a) filtre évolutif b) filtre statonnaire c) filtre fixe x^a a xf xf

Figure 5.2 – Sch´ematisation des diff´erents types de filtrage en fonction de la propagation o`u

non des covariances d’erreur : a) pleinement propag´ee (Sf = MSaMT +Q) ; b) non propag´ee

explicitement par le mod`ele mais l’information est tout de mˆeme prise en compte d’une ´etape

`a l’autre (Sf = Sa+Q) ; c) non propag´ee, les covariances d’erreur de pr´evision sont toujours

identiques et ´egale `a la matrice de covariances initiale (Sf =S0).

sues de cette analyse en seraient tout autant d´et´erior´ees. Leur prise en compte pour des analyses post´erieures seraient donc dans ce cas probl´ematique.

Ces diff´erentes contraintes ont justifi´e la mise `a place de diverses formulations de filtrage dont nous donnons ci-dessous les caract´eristiques de trois principaux (illustr´es par la figure 5.2) :

Le filtre stationnaire : il s’agit du cas le plus simple o`u les covariances d’erreur sont d´efinies constantes quelle que soit l’´etape d’analyse. Cela revient `a d´ecrire les covari-ances d’erreur (´equation 4.11 ) par : S^f_k|k−1 =S0. Cette formulation est comparable `a de l’interpolation optimale. On note tout de mˆeme que les matrices issues des analyses peuvent ˆetre utilis´ees `a des fins diagnostiques.

Le filtre fixe : cette formulation ´elimine le coˆut de propagation des covariances. Les analyses pr´ec´edentes sont prises en compte, mais pas la propagation dynamique des

covariances. Ainsi, l’´equation 4.11 se reformule par : S^f_k|k−1=S^a_k−1|k−1+Q_k−1,k.

Le filtre ´evolutif : cette formulation est en fait la formulation g´en´erale du filtrage. Les covariances d’erreurs issues des analyses sont prises en compte et propag´ees explicite-ment par le mod`ele. L’´equation 4.11 reste donc inchang´ee dans la formulation du filtrage.

Dans le cadre de la mise en place du lisseur, l’´evolution des erreurs est th´eoriquement indispensable (comme pr´ecis´e dans le chapitre pr´ec´edent). Nos travaux utiliseront donc de pr´ef´erence un filtre ´evolutif dans un premier temps, mais nous verrons dans le dernier chapitre de ce document que l’utilisation du lissage bas´e sur de l’interpolation optimale, qui est tr`es r´epandue dans l’oc´eanographie op´erationnelle, peut ´egalement donner se r´ev´eler avantageux.

5.3.4 La prise en compte de l’erreur mod`ele Q

Comme nous l’avons pr´ecis´e dans le chapitre pr´ec´edent, l’erreur mod`eleQdoit g´en´eralement ˆetre prise en compte pour d´ecorr´eler efficacement les modes d’erreur avec le temps. N´eanmoins cette erreur est souvent mal connue, il faut donc la prendre en compte diff´eremment, sous forme d’une param´etrisation par exemple. Il existe diverses m´ethodes permettant de pren-dre en compte indirectement l’erreur mod`ele, comme par exemple Verlaan et Heemink

(1997) et le filtre RRSQRT ou encoreLermusiaux (1999b) et le filtre ESSE. Dans le cadre du filtre SEEK, une approche simple (et souvent utilis´ee) est celle de l’inflation des covari-ances (au lieu de prendre en compte la matriceQ). Dans cette approche, l’´equation 5.24 du filtre devient :

S^f_k|k−1= √¹_ρM_k−1,kS^a_k−1|k−1 (5.33)

avecρ un facteur “d’oubli”positif et inf´erieur `a 1 (dans le cas o`uρ= 1, le mod`ele est con-sid´er´e comme parfait). En revanche pour le lisseur, l’ajout d’un facteur d’oubli se r´epercute sur deux ´equations, le gain de Kalman et les covariances d’analyse :

K_i|k=√_ρSa

i|k−1[I+Γ_k]⁻¹(H_kS^f_k|k−1)^TR⁻_k¹ (5.34)

Sa

i|k=√_ρSa

i|k−1[I+Γ_k]−1/2,i∈Σ_k (5.35)

Le probl`eme est qu’avec cette d´efinition deS<sup>a</sup><sub>i|k</sub>, il n’est plus possible de remonter directe-ment `a la matrice de covariances d’analyse du lisseur (P^a_i|k = S^a_i|kS^a_i|k^T). Pour retrouver cette matrice il faut la red´efinir sous la forme Pa

i|k = Sa i|kTa i|kTa i|k^TSa i|k^T o`u Ta i|k doit ˆetre d´efinie de mani`ere r´ecursive (pour plus de d´etails, se reporter `a Cosme et al., 2010). N´eanmoins, la matriceP<sup>a</sup><sub>i|k</sub> n’est pas n´ecessaire au lisseur (elle est utilis´ee uniquement `a