Impl´ementation

III.1

Equation du transfert de rayonnement´

L’atmosph`ere est un milieu stratifi´e, que nous pouvons mod´eliser en couches de diff´erentes densit´es, compositions et temp´eratures. Afin de calculer des spectres synth´etiques de l’´emission thermique sortante mesur´ee avec une g´eom´etrie de vis´ee quelconque (limbe ou nadir), il est n´ecessaire de mod´eliser le transfert de rayonnement `a travers les diff´erentes couches de l’atmo- sph`ere.

III.1.1 D´efinitions et formalisme

La grandeur fondamentale du transfert radiatif est la radiance (ou l’intensit´e sp´ecifique), I, qui est par d´efinition la quantit´e d’´energie traversant une surface dS `a travers un angle solide dΩ en un temps dt. On utilise plus fr´equemment la radiance monochromatique `a un nombre d’onde donn´e, Iσ, d´efinie comme Iσ = dI_dσ. L’´equation du transfert de rayonnement doit

traduire les ´echanges mati`ere-rayonnement au niveau macroscopique, c’est `a dire les ph´enom`enes d’absorption, d’´emission et de diffusion de photons par les couches d’atmosph`ere. Dans le do- maine thermique, la taille des mol´ecules ´etant bien plus petite que la longueur d’onde du rayon- nement incident, la diffusion mol´eculaire est n´egligeable. La taille des particules (a´erosols) dans la stratosph`ere est ´egalement tr`es petite : elle a ´et´e estim´ee `a 0,1 µm parWest[1983] et 0,15 µm par Karkoschka and Tomasko[1993] et Ortiz et al. [1996]. Par la suite, nous consid´erons donc le cas sans diffusion.

Absorption

L’atmosph`ere est un milieu absorbant. La fraction de rayonnement absorb´ee au point s le long d’un chemin optique ´el´ementaire ds est proportionnelle `a l’intensit´e entrante et s’exprime :

dIσ(s) = −κσ(s)ρ(s)Iσ(s)ds (III.1)

Dans cette ´equation, ρ est la masse volumique du milieu travers´e, en kg.m−3, et κσ est le

coefficient d’absorption massique de l’atmosph`ere, en m2_.kg−1_{. Ce coefficient rend compte de}

l’absorption propre aux diff´erentes mol´ecules et particules pr´esentes. Son calcul fait appel `a la spectroscopie mol´eculaire et est d´etaill´e sectionIII.2. On peut ´egalement caract´eriser l’absorption par une section efficace σabsexprim´ee en m2.mol´ecule−1. On a alors κρ = σabsn o`u n est la densit´e

particulaire en mol´ecules.m−3. Par la suite, nous ne noterons plus explicitement la d´ependance en nombre d’onde σ (sauf pour la d´efinition des nouvelles quantit´es) et la localisation en s afin d’all´eger l’´ecriture.

On d´efinit l’´epaisseur optique (ou profondeur optique) ´el´ementaire le long de ds par la re- lation dτs,σ = ρκσds. L’´epaisseur optique int´egr´ee d’un niveau s jusqu’en haut de l’atmosph`ere

s’exprime τs =R_s∞ρκds. Cette relation permet de r´e-´ecrire l’´equation III.1 sous la forme sim-

plifi´ee : dI(τs) = −I(τs)dτs.

´

Emission

Les diff´erentes couches atmosph´eriques ´emettent ´egalement un rayonnement qui d´epend de leur temp´erature et de leur opacit´e. Le rayonnement ´emis le long d’un chemin optique ds s’ex- prime :

dIσ = ǫσρds (III.2)

o`u ǫσ est l’´emissivit´e spectrale. On d´efinit la fonction source, Sσ par Sσ = _κǫσ_σ. Dans notre

corps noirs et la fonction source est assimil´ee `a la fonction de Planck d´efinie par Bσ(T ) =

2hσ3c2 exp(−hcσkT ) − 1

.

L’´equation III.2 se r´e-´ecrit sous la forme dI(τs) = B[T (τs)]dτs, o`u T (τs) est la temp´erature

de la couche au niveau τs.

Bilan

Pour une couche situ´ee `a un niveau τs, le bilan du transfert de rayonnement entre absorption

du rayonnement incident et ´emission propre le long de ds s’´ecrit donc : dI(τs)

dτs = −I(τs

) + B[T (τs)] (III.3)

Cette ´equation correspond `a un cas tr`es g´en´eral et n’est pas sp´ecifique `a la physique atmo- sph´erique. La solution formelle de cette ´equation, int´egr´ee entre deux niveaux τ1 et τ2, s’´ecrit :

I(τ2) = I(τ1)e−(τ2−τ1)+

Z τ2

τ1

B[T (τ′)]e−(τ2−τ′)

dτ′ (III.4)

III.1.2 Vis´ee au nadir et approximation plan parall`ele

Solution de l’´equation de transfert de rayonnement

Nous cherchons `a r´e-exprimer l’´equation III.3 dans le cas du rayonnement sortant de l’at- mosph`ere mesur´e avec un angle de vis´ee θ par rapport `a la verticale (cas des donn´ees au nadir). Si cet angle est faible, il n’est pas n´ecessaire de prendre en compte la g´eom´etrie sph´erique du probl`eme. On fait alors l’approximation que les couches d’atmosph`ere sont planes et parall`eles entre elles (voir sch´ema III.1). Dans le cas de Saturne, cette approximation est valable pour θ . 70. Pour des angles plus importants, il est n´ecessaire de prendre en compte la g´eom´etrie sph´erique.

Figure <sub>III.1 – Sch´ema du transfert de rayonnement dans l’approximation plan-parall`ele. Le</sub> trajet optique correspond au cas d’une vis´ee au nadir avec un angle de vis´ee θ par rapport `a la verticale.

Sous cette approximation, le trajet optique ´el´ementaire ds s’exprime ds = dz/ cos θ = dz/µ, o`u dz est l’´epaisseur verticale d’une couche. L’´epaisseur optique augmente lorsque l’altitude diminue, `a travers l’augmentation de la densit´e atmosph´erique, de sorte que dτz est de signe

oppos´e `a dz. Utilisant cette convention propre aux atmosph`eres, l’´epaisseur optique le long de ds se r´e-´ecrit : dτs = −κρdz/µ = −dτz/µ o`u τz est l’´epaisseur optique le long de dz. Sous cette

nouvelle formulation, l’´equationIII.3 devient donc : µdI(τz)

dτz

= I(τz) − B[T (τz)] (III.5)

C’est cette ´equation que nous allons r´esoudre num´eriquement. Dans le cas du rayonnement sortant mesur´e hors de l’atmosph`ere (µ > 0, τ = 0), la solution de cette ´equation s’obtient en multipliant les deux membres par e−τz/µ_{. En int´egrant du bas (τ = τ}

1) au haut (τ = 0) de

l’atmosph`ere, on trouve l’expression de l’intensit´e sortante suivante : I(τ = 0, µ > 0) = I(τ1)e−τ1/µ+ 1 µ Z τ1 0 B[T (τz)]e−τz/µdτz (III.6)

Cette ´equation peut se traduire ainsi : le rayonnement sortant est ´egal `a la somme du rayon- nement ´emis par le sol ou le plafond nuageux (situ´e au niveau τ1) att´enu´e par l’extinction due

`

a la totalit´e de l’atmosph`ere situ´ee le long de la ligne de vis´ee, plus la somme des contributions individuelles de toutes les couches interm´ediaires dont l’´emission thermique est att´enu´ee par la partie d’atmosph`ere situ´ee entre celles-ci et le sommet de l’atmosph`ere le long de la ligne de vis´ee. Dans notre cas, le plafond nuageux est situ´e `a une profondeur optique telle que sa con- tribution au rayonnement sortant est quasi-nulle. On se ram`ene `a un cas dit d’une atmosph`ere semi-infinie o`u τ1 → ∞ : I(τ = 0, µ > 0) = _µ1

R∞

0 B[T (τz)]e−τz/µdτz. Notons que plus l’angle de

vis´ee augmente, plus l’´epaisseur d’atmosph`ere travers´ee est grande et plus l’opacit´e et l’absorp- tion le long de la ligne de vis´ee sont importantes. Nous allons voir que ceci a une cons´equence forte sur les niveaux d’altitude sond´es.

Fonction poids et fonction de contribution

L’´emission sortante mesur´ee est donc une combinaison de contributions individuelles de l’ensemble des couches d’atmosph`ere. Pourtant, ces couches ne contribuent pas de mani`ere ´egale au rayonnement sortant. En effet, bien que les basses couches d’atmosph`ere, tr`es denses, ´emettent un rayonnement intense, celui-ci est en grande partie absorb´e avant d’atteindre le sommet de l’atmosph`ere. `A l’inverse, le rayonnement ´emis par les hautes couches d’atmosph`ere est peu ab- sorb´e mais est peu intense par nature en raison de la faible opacit´e de ces couches. Ce sont donc des couches d’altitudes interm´ediaires qui vont le plus contribuer `a l’´emission sortante.

Afin de quantifier ce ph´enom`ene et de d´eterminer l’altitude des couches o`u la contribution est maximale, nous introduisons deux nouvelles fonctions : la fonction poids et la fonction de contribution. La fonction poids, not´ee W Fσ (pour “weighting function”), est d´efinie comme

la variation de la transmission (Tσ = e−τσ/µ) en fonction de l’altitude (donc du logarithme de

la pression p) :

W F (p) = −_{d ln(p)}dT = 1 µe

−τ /µ dτ

d ln(p) (III.7)

Avec ces notations, l’´equation du transfert de rayonnement pour une atmosph`ere semi-infinie se r´e-´ecrit : I(τ = 0, µ > 0) = Z ∞ 0 B[T (p)]W F (p)d ln(p) = Z ∞ 0 CF (p)d ln(p) (III.8)

o`u la fonction CF (p) = B[T (p)]W F (p) est appel´ee fonction de contribution. Sous cette forme, nous voyons que l’expression de l’´emission sortante correspond `a la somme de la contri- bution de chaque couche multipli´ee par l’´epaisseur de la couche.

La position du maximum de CF (p) nous donne donc le niveau de pression de la couche qui contribue le plus au rayonnement sortant. Si les variations de B(T (p)) avec la pression sont assez faibles, le maximum de la fonction poids (plus facile `a estimer que celui de la fonction de contribution) nous donne ´egalement acc`es `a l’altitude des couches de contribution maximale. En utilisant la loi d’´equilibre hydrostatique, on a dτ = −κρdz = κgdp d’o`u d ln(p)dτ = pdτdp = pκg = τ ,

si κ ne varie pas avec p. On obtient donc une expression tr`es simple de la fonction poids : W F (p) = τz

µe

−τz/µ _(III.9)

Cette fonction, du type xe−x, est appel´ee fonction de Chapman. Elle pr´esente une courbe en cloche avec un maximum pour x = 1, soit τz = µ, et une largeur de ∆ ln(p) ∼ 1, soit ∆z ∼ H

(voir figure III.2). En r´ealit´e, l’atmosph`ere n’est pas isotherme et B[T (p)] peut varier assez rapidement avec la pression. La fonction de contribution r´eelle est donc diff´erente de la fonction de Chapman mais garde une forme en cloche avec un maximum autour de τz= µ.

Figure <sub>III.2 – Fonction de Chapman, de forme similaire `a la fonction poids, qui pr´esente un</sub> maximum en τ = µ et une largeur d’une ´echelle de hauteur. Plus l’angle de vis´ee augmente, plus µ diminue et plus ce maximum est situ´e `a des altitudes ´elev´ees car l’opacit´e diminue avec l’altitude.

Le rayonnement sortant `a un nombre d’onde σ provient donc majoritairement de la couche d’atmosph`ere o`u τσ,z = µ. L’altitude de cette couche d´epend de l’angle de vis´ee et du nombre

d’onde. En effet, `a angle de vis´ee constant, observer `a des nombres d’onde correspondant `a des opacit´es bien diff´erentes permet de sonder diff´erents niveaux : plus l’opacit´e est forte le long de la ligne de vis´ee et plus le rayonnement provient de couches ´elev´ees en altitude (l’´emission des basses couches est tr`es absorb´ee et ne contribue plus `a l’´emission sortante). `A l’inverse, mesurer le rayonnement dans une r´egion du spectre o`u l’opacit´e est faible permet de sonder des couches atmosph´eriques plus profondes.

En revanche, `a nombre d’onde constant, plus l’angle de vis´ee est ´elev´e, plus µ diminue et plus on sonde des niveaux d’altitude ´elev´es. En effet, en vis´ee nadir verticale, θ = 0, µ = 1 et l’on sonde le niveau τz = 1. En vis´ee avec un angle θ > 0, µ < 1, on sondera le niveau τs = 1

qui est atteint en τz = µ < 1 situ´e plus haut en altitude.

Varier les mesures `a des angles d’´emission et/ou nombres d’onde diff´erents permet donc de sonder diff´erentes altitudes. N´eanmoins, au nadir et `a la r´esolution spectrale assez faible de CIRS, l’´etendue verticale des niveaux sond´es dans la stratosph`ere reste limit´ee. En effet, l’approximation plan-parall`ele restreint l’analyse des observations nadir `a des angles de vis´ee inf´erieurs `a 70➦, ce qui situe le niveau le plus haut sond´e au niveau τz = cos(70) = 0, 34. Le

niveau plus bas sond´e ´etant en τz = 1, cela repr´esente une faible gamme d’´epaisseurs optiques.

L’altitude de ces niveaux varie selon le nombre d’onde mais globalement la gamme de pressions sond´ees s’´etale entre 50 et 0,5 mbar.

En r´esum´e, au nadir avec Cassini/CIRS, l’information verticale est limit´ee et on ne peut sonder plus haut que le niveau 0,5 mbar dans la stratosph`ere de Saturne.

III.1.3 Vis´ee au limbe et g´eom´etrie sph´erique

Pour calculer des spectres synth´etiques acquis au limbe, la g´eom´etrie en plan parall`ele n’est plus r´ealiste (avec θ =90➦ la masse d’air 1/µ serait infinie) et il est indispensable de prendre en compte la g´eom´etrie sph´erique de la plan`ete (voir sch´ema III.3).

Figure_{III.3 – Sch´ema du transfert de rayonnement en g´eom´etrie sph´erique. Le trajet optique} correspond au cas de vis´ee au limbe. On remarque bien que l’´epaisseur d’atmosph`ere travers´ee est bien plus importante que dans le cas de vis´ee au nadir.

La forme de la solution de l’´equation du transfert de rayonnement est similaire au cas pr´ec´edent, except´e qu’`a pr´esent le trajet optique traverse toute l’atmosph`ere de part et d’autre du point tangent. En int´egrant entre τs= 0 et τs= τs(z0), l’opacit´e int´egr´ee totale `a une altitude

tangente de z0, on obtient l’expression du rayonnement sortant : I =

Rτs(z0)

0 B(τs)e−τsdτs. Dans

cette g´eom´etrie, le calcul de ds (et de dτs) est diff´erent pour chaque couche. D’apr`es le sch´ema

III.3, on a ds = q (z + dz)2_{− z}2 0− q z2_{− z}2 0 = d( q z2_{− z}2 0) (III.10)

o`u z0 est l’altitude tangente de la ligne de vis´ee. Dans cette g´eom´etrie, les expressions de

par : τs= 2 Z ∞ z0 κρ z pz2_{− z}2 0 dz (III.11) W F (p) = e−τs dτs d ln(p) = −He −τsdτs dz = He −τs_2κρ z pz2_{− z}2 0 (III.12) La fonction poids est donc maximale en z = z0. Cela signifie que l’´emission sortante provient

majoritairement de la couche situ´ee autour de l’altitude tangente, tant que l’atmosph`ere est optiquement mince (τs < 1). Cette couche de forte contribution est l´eg`erement plus piqu´ee que

dans le cas au nadir, ce qui fournit une meilleure r´esolution verticale (typiquement de 0,7 ´echelle de hauteur contre une ´echelle de hauteur dans le cas nadir).

On peut ´egalement calculer le facteur d’augmentation de l’opacit´e totale le long de la ligne de vis´ee entre une vis´ee au limbe et verticale. Pour Saturne, on trouve de l’ordre de

q

2πR

H ∼ 80.

Grˆace `a cette forte augmentation de l’´epaisseur optique int´egr´ee au limbe, on obtient un bon rapport signal `a bruit mˆeme `a des altitudes tangentes assez ´elev´ees, jusqu’au niveau 1 µbar, alors qu’au nadir on ne peut sonder plus haut que le niveau 0,5 mbar.

Le niveau le plus bas que l’on peut sonder est ´egalement contraint par l’´epaisseur optique int´egr´ee. Lorsque l’altitude tangente diminue, τs augmente et on sonde des niveaux de plus en

plus profonds. Or lorsque τsdevient sup´erieur `a 1, le rayonnement ´emis par la couche `a z0 est en

grande partie absorb´e avant d’atteindre le haut de l’atmosph`ere. La couche qui contribue le plus au rayonnement sortant provient alors d’un niveau d’altitude plus ´elev´ee que z0; on dit qu’il y a

saturation. De la mˆeme mani`ere qu’en vis´ee nadir, ce niveau de saturation d´epend du nombre d’onde `a travers le coefficient d’absorption : plus ce coefficient est ´elev´e, plus la saturation se produit `a une altitude tangente ´elev´ee. De mani`ere g´en´erale, dans notre cas, cette saturation se produit entre 1 et 10 mbar.

En r´esum´e, pour une vis´ee au limbe `a une altitude tangente donn´ee situ´ee au-dessus du niveau de saturation (∼10 mbar), l’´emission sortante provient majoritairement de la couche d’atmosph`ere situ´ee `a l’altitude tangente. Les r´egions les plus ´elev´ees sond´ees peuvent atteindre le niveau `a 1 µbar si le rapport signal `a bruit est bon. En combinant des observations `a diff´erentes altitudes tangentes, il est donc possible de sonder la quasi-totalit´e de la stratosph`ere de Saturne grˆace aux donn´ees au limbe.

Nous allons voir dans la section suivante comment est d´etermin´e le coefficient d’absorption κσ, qui joue un rˆole primordial dans le calcul des opacit´es, et quelle est sa d´ependance exacte

en nombre d’onde.

III.2

Spectroscopie infrarouge

Le calcul de l’opacit´e occupe une place importante et gourmande en temps de calcul. Cette opacit´e r´esulte de la capacit´e qu’ont les atomes et mol´ecules `a interagir avec le rayonnement via l’absorption ou l’´emission de photons. Dans cette section, nous nous pla¸cons au niveau mol´eculaire (nous mettons de cˆot´e le cas des atomes), ce qui n´ecessite l’appel `a la physique quantique. Nous ne d´etaillerons pas ces calculs mais l’objectif est plutˆot de comprendre les grandes lignes du calcul des sections efficaces d’absorption σabs et la d´etermination de trois

param`etres-cl´es qui gouvernent la forme d’un spectre : position, intensit´e et forme des raies observ´ees.

III.2.1 Position des raies

Une mol´ecule `a N atomes poss`ede au total 3N degr´es de libert´e, correspondant `a ses mouve- ments de translation (3 degr´es de libert´e, suivant les 3 directions de l’espace) et ses mouvements internes de rotation et de vibration possibles. Une mol´ecule lin´eaire ne poss`ede que deux degr´es de libert´e de rotation, puisqu’il est impossible de distinguer la rotation autour de son axe prin- cipal, tandis qu’une mol´ecule non-lin´eaire en poss`ede trois. Le nombre de degr´es de libert´e de vibration restant est donc 3N −5 pour les mol´ecules lin´eaires et 3N −6 pour les autres mol´ecules.

`

A chaque mode de rotation et de vibration peut ˆetre associ´ee une ´energie. Ces niveaux d’´energie sont quantifi´es. Une mol´ecule peut changer d’´etat vibrationnel et/ou rotationnel en absorbant ou en ´emettant un photon `a un nombre d’onde σ d’´energie ´egale `a la diff´erence d’´energie entre son ´etat final (Ef) et initial (Ei) : σ = ∆E/hc = (Ef− Ei)/hc. On observe donc des raies d’´emission

ou d’absorption `a des nombres d’onde bien pr´ecis. Ces changements d’´etats sont appel´es des transitions et sont r´egis par des r`egles de s´election tr`es strictes.

´

Energie des modes vibrationnels d’une mol´ecule

L’exemple le plus simple `a traiter est celui d’une mol´ecule diatomique qui ne poss`ede qu’un degr´e de libert´e, celui associ´e `a la vibration le long de son unique liaison. Il n’y a donc qu’un mode de vibration. Les ´energies possibles de ce mode sont d´etermin´ees au premier ordre en assimilant le syst`eme `a un oscillateur harmonique classique1_{. Les ´energies des diff´erents niveaux}

sont donn´es par : En= hνvib(n +1₂), o`u νvib est la fr´equence de vibration du mode fondamental.

La diff´erence avec le cas classique est l’introduction d’un nombre quantique, n, qui prend des valeurs enti`eres et quantifie les ´energies possibles du syst`eme. L’espacement entre deux niveaux d’´energie successifs est constant et vaut En+1− En= hνvib. En r´ealit´e, la liaison s’´etire lorsque

la mol´ecule vibre et il faut ajouter des termes anharmoniques. L’´energie totale d’un niveau de vibration s’´ecrit alors :

En= hνvib "  n + 1 2  − a  n + 1 2 2 + ... # (III.13) Cet ´ecart `a l’harmonicit´e fait que les niveaux d’´energie ne sont plus ´egalement espac´es. Dans le cas d’une mol´ecule polyatomique, les modes de vibration possibles sont bien plus nombreux et sont d´ecompos´es en modes normaux ´el´ementaires num´erot´es ν1, ν2, .... On

retrouve des modes d’´elongation le long de l’axe des liaisons, comme pour le cas diatomique, mais ´egalement des modes de pliage des liaisons. Si la mol´ecule est plane, on distingue les pliages dans le plan (on parle de mode parall`ele) des pliages hors plan (mode perpendiculaire). L’´energie vibrationnelle totale est alors la somme des ´energies des diff´erents modes de vibration : Evib =Pkhνk(nk+1<sub>2</sub>). Il est `a noter que selon la sym´etrie de la mol´ecule, certains modes sont

d´eg´en´er´es, c’est-`a-dire qu’ils ont la mˆeme ´energie. Par exemple, le m´ethane, constitu´e de N = 5 atomes, poss`ede 3×5 − 6 = 9 modes normaux mais seulement 4 sont ind´ependants.

´

Energie des modes rotationnels d’une mol´ecule

En reprenant le cas diatomique, les ´energies de rotation d’une mol´ecule sont donn´ees en consid´erant le syst`eme en premi`ere approximation comme un rotateur rigide. Le calcul classique

1. Dans le traitement quantique complet du probl`eme, ces niveaux d’´energie sont d´etermin´es par la r´esolution de l’´equation aux valeurs propres de Schr¨odinger, HΨ = EΨ o`u H est l’hamiltonien du syst`eme, Ψ la fonction d’onde d´ecrivant l’´etat du syst`eme et E l’´energie correspondante.

donne : Erot= 1₂Iω2= (Iω)

2

2I = L

2

2I, o`u ω est la vitesse angulaire de rotation et I est le moment

d’inertie. La quantit´e la plus pertinente `a consid´erer ici est le moment angulaire total, L. Le passage `a la m´ecanique quantique donne les ´energies des ´etats de rotation suivants : Erot = ~2

2IJ(J +1) = hcBJ(J +1), o`u J est un nouveau nombre quantique li´e au moment angulaire total

Dans le document Température et composition de la stratosphère de Saturne à partir des données de Cassini/CIRS (Page 44-64)