Hybridation des algorithmes PHD et MHT
2.3 Impl´ ementation du filtre CPHD par m´ elange de gaus- gaus-siennesgaus-siennes
No seu livro de 1638, “Diálogos Acerca de Duas Novas Ciências”, Galileu Galilei explicou, pela primeira vez, que o movimento de um projétil no ar pode ser decomposto na sobreposição de dois movimentos: o movimento da projeção do projétil num eixo horizontal e o movimento da sua projeção num eixo vertical. A figura 1.10 é igual à figura 108 no livro de Galileu e representa um objeto que foi lançado numa plataforma horizontal, abandonando a plataforma no ponto b. a b c d e i o g l n f h
Figura 1.10.:Trajetória de um projétil, tal como foi explicada por Galileu. Galileu também descobriu que, quando a resistência do ar pode ser despre- zada, por exemplo, se o projétil tem forma compacta e a sua trajetória não é muito comprida, o movimento da projeção horizontal é retilíneo e uniforme. Ou seja, em intervalos de tempo iguais, os deslocamentos horizontais do objeto são ab, bc, cd, de, etc, todos com o mesmo comprimento. Na direção vertical, as distâncias que o objeto cai durante esses intervalos de tempo aumentam quadraticamente; isto é, durante o primeiro intervalo de tempo a distância descida é ci, durante o segundo intervalo já tem descido uma distância total df, que é quatro vezes maior que ci e durante o terceiro intervalo a distância total descida é eh, nove vezes maior do que ci. A componente vertical da velocidade aumenta, mas como os deslocamentos verticais nos intervalos de tempo iguais, bo, og, gl e ln, estão na proporção 1, 3, 5 e 7, então a componente vertical da aceleração (aumento da componente vertical da velocidade) é constante. Galileu também observou que essa aceleração é igual para todos os objetos, independentemente do seu tamanho
ou da sua massa, e é a aceleração da gravidade, representada pela letra g. O valor da aceleração da gravidade é ligeiramente diferente em diferentes locais na superfície da Terra, mas é aproximadamente igual a 9.8 m/s2. A
resistência do ar produz outra aceleração que contraria o movimento, mas quando essa resistência for desprezável, admite-se que o valor da aceleração é constante e igual a g.
A aceleração tangencial produzida pela gravidade pode ser positiva, negativa ou nula, já que pode fazer aumentar ou diminuir a velocidade do objeto, e pode ter um valor menor que g se a trajetória não for vertical, mas a componente vertical da trajetória é sempre g e a componente horizontal é nula. Se o eixo dos y for definido na vertical e apontando para cima, então as componentes da aceleração são ay= −9.8 m/s2e ax = 0.
Exemplo 1.4
Atira-se uma pedra desde uma ponte que está 5 m acima de um rio, com velocidade de 15 m/s e dirigida 36.9◦ para cima da horizontal.
Determine a velocidade que terá a pedra quando entrar na superfície do rio e a altura máxima da sua trajetória, medida desde a superfície do rio (admita que a resistência do ar pode ser desprezada).
Resolução. A componente horizontal da velocidade inicial é 15 cos 36.9◦ = 12.0 m/s e a componente vertical é 15 sin 36.9◦= 9.0 m/s. é conveniente
escolher o eixo dos x na horizontal, seguindo a direção da projeção horizontal da velocidade, e o eixo dos y na vertical e apontando para cima. A origem pode ser escolhida no ponto onde a pedra foi lançada, mas neste caso vamos escolhê-la diretamente por baixo desse ponto e sobre a superfície do rio. Nesse sistema de coordenadas, a posição inicial é x = 0 e y = 5 (unidades SI), as componentes da velocidade são vx = 12, vy= 9 e as componentes da
aceleração são ax = 0, ay= −9.8.
Os dois movimentos ao longo dos dois eixos podem ser analisados indepen- dentemente. Como o movimento ao longo do eixo dos y é uniformemente acelerado, podem usar-se as equações 1.14, 1.15 e 1.16. No entanto, mostraremos como resolver o problema usando o método de separação de variáveis, que pode ser aplicado em mais casos.
O valor constante de aypode substituir-se na segunda e quartas equações1.23
(usando y em vez de x), obtendo-se duas equações diferenciais ordinárias de primeira ordem:
−9.8 = dvy
dt − 9.8 = vy dvy
Para obter a velocidade da pedra quando entra na água, é necessário resolver a segunda equação, que pode ser feito separando as variáveis y e vyaos dois
lados da equação
−9.8 d y = vydvy
A seguir, integra-se o lado esquerdo da equação, desde a altura inicial y = 5, até à altura final y = 0 e o lado direito integra-se desde a velocidade inicial vy = 9 até o seu valor final, vf, ainda desconhecido
− 0 w 5 9.8 d y = vf w 9 vydvy
Calculam-se estes dois integrais (no Maxima usa-seintegrate(9.8,y,5,0) e
integrate(vy,vy,9,vf)) e o resultado é 9.8 × 5 = v 2 f 2 − 81 2 =⇒ vf = − √ 98+ 81
(a segunda solução, +√98+ 81, corresponde à velocidade que a pedra teria se tivesse sido lançada para cima desde o rio, passando pela ponte com componente vertical da velocidade igual a 9 m/s e para cima).
Assim sendo, a componente vertical da velocidade quando a pedra entra no rio é vf = −13.38 m/s. Como o movimento na horizontal é uniforme, a
componente horizontal da velocidade é sempre igual ao seu valor inicial 12.0 m/s e a velocidade com que a pedra entra no rio é
v =√13.382+ 122= 18.0 m/s
No ponto da trajetória onde a altura é máxima, a componente vertical da velocidade é nula, porque a pedra pára de subir e começa a descer. Os mesmos dois integrais já calculados podem ser calculados novamente, mas mudando o ponto final do integral do ponto onde a pedra entra no rio, para o ponto onde está na sua altura máxima, com valor de y ainda desconhecido, mas com componente vertical da velocidade vy nula
− ym w 5 9.8 d y = 0 w 9 vydvy
onde ymé a altura máxima. Resolvem-se esses integrais e obtém-se assim o
valor da altura máxima 9.8(5 − ym)= −
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Perguntas
1. A aceleração tangencial de um objeto é at = 4 t (unidades SI). Se no
instante inicial t = 0 a velocidade for igual a 4 m/s, qual será a velocidade 3 segundos mais tarde?
A. 22 m/s B. 18 m/s
C. 40 m/s D. 36 m/s
E. 4 m/s
2. Em qual dos seguintes casos é possível afirmar, sem lugar a dúvida, que a rapidez do objeto está a diminuir?
A. v = 3 m/s, at= 5 m/s2
B. v = −3 m/s, at= 5 m/s2
C. vy = 3 m/s, ay= 5 m/s2
D. vy= −3 m/s, ay = 5 m/s2
E. vy= −3 m/s, ay = −5 m/s2
3. A expressão da velocidade de uma partícula que se desloca no eixo dos x é vx = 2 x2. Qual é a expressão correta para a aceleração tangencial ax?
A. 8 x3
B. 4 x C.
2x2
t D. 2 xE. 2 x3
4. O gráfico mostra a velocidade de um corpo, em função do tempo. Determine a distância percorrida desde t = 0 até t = 5 s.
0 t (s) v (m/s) 3 5 9 2 4 A. 1 m B. 12 m C. 7 m D. 5 m E. 19 m
5. Num gráfico da velocidade em função da posição na trajetória, o declive em cada ponto representa:
A. A aceleração tangencial. B. A velocidade.
C. A aceleração tangencial dividida pela velocidade. D. A velocidade vezes a aceleração tangencial.
E. A velocidade dividida pela aceleração tangencial.
Problemas
1. A posição de um objeto na sua trajetória é dada pela expressão s = 2t3− 6t2+ 10 (unidades SI). Determine o tempo, posição e aceleração
tangencial nos instantes em que a velocidade do objeto é nula (v = 0). 2. A aceleração de um objeto que se desloca no eixo dos x é ax= −4 m/s2.
Se em t = 0, vx= +24 m/s e x = 0, determine a velocidade e a posição
em t = 8 s e a distância total percorrida entre t = 0 e t = 8 s.
3. Em t0 = 0, um objeto encontra-se em repouso na posição s0 = 5 cm
num percurso. A partir desse instante o objeto começa a deslocar-se no sentido positivo de s, parando novamente num instante t1. A expressão da
aceleração tangencial, entre t0e t1, é: at= 9−3t2, onde o tempo mede-se
em segundos e a aceleração em cm/s2. Determine: (a) O instante t 1em
que o objeto volta a parar. (b) A posição no percurso nesse instante. 4. A aceleração tangencial de uma partícula é dada pela expressão at =
−k/s2, onde k é uma constante positiva. A partícula parte do repouso
em s = 800 mm, e em s = 500 mm a sua velocidade é −6 m/s. Determine: (a) O valor de k. (b) A velocidade da partícula em s = 250 mm.
5. A aceleração de um objeto que oscila no eixo dos x é ax = −k x, onde k
é uma constante positiva. Determine:
(a ) O valor de k para que a velocidade seja vx= 15 m/s em x = 0 e vx =
0 em x = 3 m.
6. A aceleração tangencial de um objeto é at= −4 s (1+ k s2)(unidades SI),
onde s é a posição ao longo da trajetória e k uma constante. Sabendo que o objeto passa pela origem s = 0 com velocidade v = 17 m/s, determine a velocidade em s = 4 m, para os seguintes valores da constante k: (a) k = 0, (b) k = 0.015, (c) k = −0.015.
7. O quadrado da velocidade v de um objeto diminui linearmente em função da posição na sua trajetória, s, tal como se mostra no gráfico. Calcule a distância percorrida durante os dois últimos segundos antes do objeto chegar ao ponto B. 0 s (m) v2 (m/s)2 100 400 2500 900 A B
8. A aceleração tangencial de um objeto é at= −0.4 v, onde até medida
em mm/s2e v em mm/s. Sabendo que em t = 0 a velocidade é 30 mm/s,
determine:
(a ) A distância que o objeto percorre desde t = 0 até parar. (b ) O tempo necessário para o objeto parar.
(c ) O tempo necessário para que a velocidade diminua ate 1 por cento do seu valor inicial.
9. A posição de uma partícula que se desloca no eixo dos x é aproximada pela relação x = 2.5 t3− 62t2+ 10.3 t (unidades SI).
(a ) Encontre as expressões para a velocidade e a aceleração em função do tempo.
(b ) Determine os valores do tempo, a posição e a aceleração nos instantes em que a partícula está em repouso (vx= 0).
(c ) Trace os gráficos da posição, da velocidade e da aceleração, em 0 ≤ t ≤20.
10. Um projétil é lançado desde o topo de um prédio com 7 m de altura, com velocidade de 15 m/s, inclinada 56.3◦, como mostra a figura. Admitindo
que a resistência do ar pode ser desprezada, determine:
(a ) O tempo de voo, ou seja, o tempo desde o inicio do lançamento até quando o projétil bate no chão.
(b ) O alcance horizontal, ou seja, a distância R na figura.
7 m 15 m/s 56.3°
R
11. Um berlinde é lançado sobre a superfície horizontal no topo de umas escadas e sai no início das escadas com velocidade horizontal igual a 3 m/s. Cada degrau tem 18 cm de altura e 30 cm de largura. Qual será o primeiro degrau onde o berlinde bate?
12. A aceleração tangencial de um objeto em queda livre no ar, incluindo a resistência do ar, é dada pela expressão at = g − C v2/m, onde C e m
são constantes. Sabendo que o objeto parte do repouso em t = 0, (a ) Demonstre que a velocidade num instante posterior t é
v= r m g C tanh r C g m t !
(b ) Determine a expressão da velocidade do objeto após ter caído uma distância s.
(c ) Porquê será que a velocidade vt = pm g/C chama-se velocidade
Respostas
Perguntas: 1. A. 2. B. 3. A. 4. C. 5. C. Problemas
1. t= 0, s = 10 m, at= −12 m/s2e t = 2 s, s = 2 m, at= 12 m/s2.
2. Velocidade −8 m/s, posição x = 64 m e distância percorrida 80 m. 3. (a) 3 s (b) 25.25 cm.
4. (a) 24 m3/s2(b) 11.49 m/s.
5. (a) 25 s−2(b) ±11.18 m/s (o objeto oscila).
6. (a) ±15 m/s, porque o objeto oscila (b) ±14.74 m/s, porque o objeto oscila. (c) 15.25 m/s, unicamente positiva porque o objeto desloca-se sempre no sentido positivo. (Para saber se o objeto oscila ou não, pode obter-se a expressão de v em função de s e observar-se o seu gráfico). 7. 65.33 m
8. (a) 75 mm (b) infinito (c) 11.51 s.
9. (a ) vx= 7.5 t2− 124t+ 10.3 t, ax = 15 t − 124
(b ) Em t = 0.0835 s, x = 0.429 m, ax = −123 m/s2. Em t = 16.4 s, x =
−5480 m, ax =123 m/s2 (c ) Os gráficos são os seguintes
x t -6000 -5000 -4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 0 5 10 15 20 vx t -600 -400 -200 0 200 400 600 0 5 10 15 20 ax t -150 -100 -50 0 50 100 150 200 0 5 10 15 20 10. (a) 3.39 s. (b) 28.2 m. 11. No quarto. 12. (b) v = r m g C p 1 −e−2 C s/m
(c) Porque após um tempo elevado, v aproxima-se para: lim
t→∞v=
r m g
2. Cinemática vetorial
Quando um objeto se desloca no espaço sem seguir uma trajetória deter- minada, a sua posição já não pode ser definida com uma única variável como nos exemplos estudados no capítulo anterior. No século XVII, o matemático Gottfried Leibniz escreveu que seria desejável criar uma área da matemática que descrevesse a posição diretamente, assim como na álgebra usam-se variáveis para representar valores numéricos. Na mesma época, Isaac Newton enunciou a lei do paralelogramo para somar forças. No entanto, o conceito de vetor usado hoje em dia, que permite concretizar o sonho de Leibnitz, só foi inventado muitos anos depois, no século XIX.
2.1. Vetores
Uma grandeza que tem sempre o mesmo valor, quando é medida por dife- rentes observadores em diferentes referenciais, chama-se escalar. Algumas das grandezas usadas no capítulo anterior são escalares; por exemplo, o deslocamento ∆ s e o intervalo de tempo ∆ t.
a a b P1 P2 P5 P6 P3 P4
Figura 2.1.:Vetores livres. Alguns exemplos de grandezas físicas que
não são escalares são as componentes da posição, velocidade e aceleração ao longo de um eixo. Alterando a direção, o sentido ou a origem desse eixo, os valores dessas grandezas também se alteram. É útil escre- ver as equações da física de forma a que sejam iguais em qualquer referencial e os vetores permitem atingir esse objetivo. Um exemplo típico de vetor é o vetor desloca- mento, que é um segmento de reta orientado entre dois pontos P1e P2no espaço, em que
o primeiro ponto é considerado a origem do segmento e o outro ponto o fim. Por exemplo, na figura2.1está representado
o vector com origem num ponto P1 e fim num ponto P2; a seta indica qual é
o ponto final e por cima da letra usada para representar o vetor coloca-se também uma seta, ®a, para que fique claro que se trata de um vetor e não de uma variável algébrica comum.