Implémentations de la NAH transitoire

Les manières d’implémenter l’holographie acoustique transitoire en champ proche sont comparées dans cette section. Plus précisément, les différentes manières d’échantillonner la fonction de Green et d’effectuer la déconvolution sont comparées. Pour chaque technique présentée, un schéma représentant le synopsis de la méthode est présenté en annexe.

2.1.4.1 Time Method

L’implémentation de la Time Method proposée par Deblauwe et al. [26] est l’une des pre- mières techniques proposées pour utiliser l’holographie acoustique en régime transitoire. Elle se base sur une formulation dans le domaine nombre d’ondes–fréquences. L’acquisition de la pression p(x, y, d, t) est utilisée pour calculer le spectre temporel p(x, y, d, ω). Pour chaque fréquence ωi, la méthode de Williams est appliquée et permet de reconstruire v(x, y, 0, ωi).

Dans cette implémentation, la fonction de Green est échantillonnée dans le domaine nombre d’onde–fréquence. Une fois que tout le spectre du champ de vitesse est recontitué, une trans- formée de Fourier inverse est utilisée pour visualiser le signal de vitesse dans le domaine temporel. Cette méthode ne tient pas compte des fuites spectrales causées par l’échantillon- nage de la fonction de Green dans le domaine kx − ky − ω. Étant donné qu’elle effectue

une déconvolution circulaire, les phénomènes de recouvrement (appelé wrap-around dans la littérature) peuvent également générer d’importantes erreurs de reconstruction. De plus, la technique suppose d’utiliser une fenêtre d’acquisition temporelle suffisamment longue pour capter la totalité du signal. Cette méthode est donc applicable aux signaux transitoires, mais lorsque l’on étudie de longs signaux non-stationnaires, le nombre de données à traiter devient considérable.

2.1.4.2 Time Domain Nearfield Acoustical Holography

La méthode Time-Domain Nearfield Acoustical Holography (TD-NAH) a été proposée par Hald pour être implémentée sur le système Non-stationary Spatial Transformation of Sound Fields commercialisé par Brüel & Kjaer [27]. Elle permet de calculer l’évolution temporelle de chaque composante fréquentielle du champ rétro-propagé grâce à l’application d’une trans- formée de Fourier à court terme. L’idée est de découper le signal mesuré en blocs temporels centrés sur des instants ti, et de prendre leur transformée de Fourier, après avoir appli-

qué un fenêtrage adéquat. Pour chaque fréquence ωj, on connait alors le champ de pression

p(x, y, d, ωj)|ti pour les instants ti successifs. Chacune de ces composantes est rétro-propagée

pour obtenir v(x, y, 0, ωj)|ti. En sortie, on obtient l’évolution de chaque composante de fré-

quence ωj en fonction des différents instants ti. Le signal temporel v(x, y, 0, t) peut ensuite

être reconstruit par transformée de Fourier inverse à court terme.

Cette technique dépasse certaines limitations de la Time Method : il est en effet possible de rétro-propager des signaux longs, étant donné qu’elle traite le champ de pression par petits blocs temporels successifs. En revanche, le principe d’incertitude prévoit que la taille des blocs est un facteur limitant pour obtenir une bonne résolution fréquentielle, ce qui est nécessaire à la bonne reconstruction dans le domaine temporel. De plus, l’étape de rétro-propagation est identique à celle utilisée dans la Time Method. Les signaux reconstruits sont donc également affectés par la fuite spectrale et le recouvrement.

2.1.4.3 Transient Nearfiled Acoustical Holography

Jean-François Blais (un ancien étudiant du LAVA) et Annie Ross [28] proposent une tech- nique de rétro-proagation des grandeurs acoustiques adaptée aux signaux transitoires. Cette méthode repose sur une formulation de l’holographie acoustique exprimée dans le domaine de Laplace qui est initialement conçue pour résoudre le problème direct (i.e. calculer le champ de pression sur un plan de côte z > d). La fonction de Green est exprimée dans le domaine nombre d’ondes–paramètre de Laplace :

g(kx, ky, d, s) = − iρ0s kz eikzd _(2.26) avec s = −σ + iω, et k2 z = s2

c2 − k_x2− k2_y. Le facteur σ est un facteur d’amortissement positif

et sert à atténuer l’effet du recouvrement. Une méthode a été proposée par Attendu et Ross pour choisir de manière efficace le facteur qui optimise la qualité de la convolution [29]. Si cette formulation dans le domaine de Laplace est très efficace en propagation directe, elle est sensiblement plus délicate à mettre en place en rétro-propagation [30], car il est nécessaire

d’effectuer une double régularisation de Tikhonov. La première est analogue à celle appliquée dans les méthodes basées sur la transformée de Fourier et consiste à limiter la contribution des ondes évanescentes à la vitesse reconstruite dans le domaine de Laplace ˜v(x, y, 0, s). La seconde a pour but de contrecarrer l’instabilité intrinsèque à la transformée de Laplace inverse qui implique une multiplication du signal par eσt_{. De plus, un fenêtrage dans le domaine de}

Laplace est parfois nécessaire pour éviter le phénomène de Gibbs. En outre, l’échantillonnage de la fonction de Green dans le domaine des nombres d’ondes génère de la fuite spectrale et du recouvrement spatial.

2.1.4.4 Real Time Nearfiled Acoustical Holography

La méthode temps réel (RT-NAH) permet une résolution du calcul en temps réel. Ori- ginellement développée pour résoudre le problème direct [31], cette formulation a ensuite été utilisée pour reconstruire la pression dans le champ proche de la source [32], puis a été adaptée par Zhang et al. pour calculer la vitesse normale de la source [33]. Une fois que le champ de pression p(x, y, d, t) est mesuré, sa transformée de Fourier spatiale p(kx, ky, d, t) est

calculée. Pour chaque couple de nombre d’ondes (kx, ky), la pression est mise en relation avec

la vitesse à l’aide d’un opérateur Toeplitz. Cet opérateur est régularisé par la méthode de Tikhonov pour retrouver v(kx, ky, 0, t). Une fois que cette opération est effectuée pour toutes

les combinaisons de nombres d’ondes, le champ de vitesse est exprimé dans le domaine direct par transformée de Fourier inverse selon x et y. Lors de la construction de l’opérateur G, la fonction de Green est échantillonnée dans le domaine nombre d’ondes–temps. Son expression est : g(kx, ky, d, t) = ρ0cδ(t − R c) − ρ0c 2_t q k2 x+ k2y q t2_{− (d/c)}2J1  cqk2 x+ ky2 q t2_{− (d/c)}2_{H(t −}R c) (2.27) où J1 est la fonction de Bessel du premier type d’ordre 1, et H est la fonction de Heaviside. Le

fait d’échantillonner la fonction de Green dans le domaine k − t supprime l’effet de fuite spec- trale dans la dimension du temps, puisqu’aucune transformée de Fourier inverse temporelle n’est appliquée. De plus, l’opérateur G représente bien une convolution linéaire le long de la dimension temporelle, l’effet du recouvrement temporel est donc annulé. Cependant, la fuite spectrale et le recouvrement causés par les opérations dans le domaine des nombres d’ondes n’est pas évitée avec cette formulation. De plus, les travaux de Grulier et al. suggèrent qu’une étape de filtrage de la fonction de Green est nécessaire lors de son échantillonnage. La forme du filtre semble avoir un effet significatif sur la reconstruction des signaux, bien que cela ne soit pas mentionné dans l’article de Zhang. Outre ces inconvénients, la RT-NAH ne suppose

pas l’acquisition du signal sur la totalité de sa durée, et permet de reconstituer le champ de vitesse à un pas de temps donné sans avoir besoin d’attendre la fin de l’acquisition, d’où son appellation "temps réel".

2.1.4.5 Time–Space Domain Nearfiled Acoustical Holography

La méthode TSD-NAH est une technique proposée par Attendu et Ross [34]. Comme son nom l’indique, elle repose sur une formulation dans le domaine temps–espace qui permet de déterminer la pression sur un plan parallèle à la source. Dans le cas où ce plan de re- construction est situé plus loin de la source que le plan de mesure, il est démontré que la reconstruction est quasiment exempte d’erreurs, et que ces erreurs sont indépendantes de la distance de propagation [35]. Dans le cas du problème inverse, lorsque le plan de reconstruc- tion est situé entre le plan de mesure et la source, une méthode est également proposée pour reconstruire efficacement le champ de pression [36].

Dans ce formalisme, la relation de convolution qui lie la pression sur le plan de mesure pm et sur le plan de reconstruction ps est exprimée par une matrice Toeplitz par blocs

circularisée [37]. L’opération de circularisation est explicitée en annexe sur un cas simple uni- dimensionnel. Ce formalisme permet une déconvolution linéaire dans le domaine temporel et spatial. Son efficacité computationnelle vient du fait qu’il n’est pas nécessaire de construire explicitement la matrice G, ce qui permet de rétro-propager des signaux constitués de plu- sieurs millions de points. En outre, il est montré que les techniques de régularisation classiques (régularisation de Tikhonov et parimonieuse) sont compatibles avec ce formalisme [19, 36]. De plus, cette méthode suppose un échantillonnage de la fonction de Green dans le domaine temps–espace (voir équation (2.5)), ce qui permet de s’affranchir des problèmes de recouvre- ment et de fuite spectrale dans les trois dimensions. En dépit de ces avantages, la méthode TSD-NAH ne permet pas de reconstruire les signaux de manière continue comme la RT-NAH, et elle ne permet pas de traiter des signaux de plus de quelques millisecondes sans faire aug- menter considérablement le temps de calcul. Elle est uniquement adaptée à la reconstruction de champs transitoires causaux, et pas à des signaux non-stationnaire à variation lente. Cette méthode est pour le moment la plus performante pour la reconstruction de champs de pression non-stationnaires et causaux, mais elle n’a pas encore été étudiée pour calculer des hologrammes de vitesse normale. Il serait donc intéressant d’adapter ce formalisme pour retrouver la vitesse normale de la plaque, et de vérifier si la suppression du recouvrement et de la fuite spectrale améliorent significativement la qualité de la reconstruction.

2.2 Méthodes d’identification inverse de défauts