Implémentation de la méthode dans les solveurs BLIM2D et BLIM3D

Dans ce chapitre, l’objectif est de présenter la méthode numérique qui a été développée et mise en œuvre afin de résoudre le modèle intégral établi dans les chapitres précédents. Celle-ci doit être robuste et adaptée à des géométries complexes de type profils givrés, le but étant ensuite de l’im-plémenter dans un outil de simulation d’accrétion de givre tel qu’IGLOO3D. Ainsi, la nature du système d’équations intégrales 2D a été analysée afin de vérifier son hyperbolicité et la possibilité de le résoudre par une méthode de Volumes-Finis bien adaptée pour les géométries complexes. Ensuite, une "méthode de contrôle" a été développée en 2D pour éviter la singularité de Goldstein, et donc rendre le code robuste au passage du décollement de la couche limite. Une méthode de résolution de type Volumes-Finis a alors été développée et mise en œuvre en 2D dans un premier temps. Il a notamment fallu s’assurer que la méthode était suffisamment précise au voisinage du point d’arrêt sachant que, comme on l’a déjà souligné, la précision de la solution dans cette zone a une grande influence sur la forme de givre finale. De plus, la méthode a été adaptée afin qu’elle soit toujours capable de fournir une solution sur la totalité de la géométrie, même si elle est inexacte

dans les zones de couche limite décollée. En effet, la précision de la solution dans ces zones a peu d’influence sur la forme de givre finale. Enfin, la méthode de résolution Volumes-Finis a été étendue en trois dimensions.

Il est important de noter que j’ai développé et mis en œuvre la totalité de la méthode en deux dimensions. J’ai aussi grandement participé au développement du modèle 3D. En revanche, l’ex-tension de la méthode de résolution en 3D et son implémentation ont été effectuées, dans le cadre d’autres projets ou de stages, par Nikolaos Bempedelis, Ghislain Blanchard, Emmanuel Radenac et Thomas Marchal. Elles sont présentées dans cette thèse car elles sont basées sur le modèle que j’ai développé.

5.1. Étude théorique du système 2D

Comme le système intégral 3D est très complexe, son analyse théorique conduirait à des calculs lourds et difficilement exploitables. C’est pourquoi, dans le cadre de cette thèse, l’analyse a été faite uniquement en deux dimensions. On admettra que le modèle 3D possède des propriétés analogues à celles du modèle 2D. De plus, la mise en œuvre de la méthode numérique a d’abord été traitée en 2D, ce qui a donné lieu au développement d’un solveur nommé BLIM2D, avant d’être étendue en 3D avec le solveur BLIM3D. C’est également de cette manière qu’elle est présentée dans ce chapitre.

5.1.1. Formulation bidimensionnelle du système d’équations intégrales

Le modèle 2D peut être facilement déduit du modèle 3D en annulant tous les termes et les dérivées liés à la direction transverse c. En effet, pour un cas bidimensionnel, l’écoulement de couche limite est dans le même plan que l’écoulement extérieur. Le plus naturel est alors de se placer dans le repère (s, y) où s est le vecteur tangent à la paroi, orienté dans le sens de la vitesse extérieure, et y le vecteur normal à la paroi (voirfigure 5.1). Dans ce repère, la version 2D du système d’équations intégrales (2.4) et (3.17) s’écrit :

direction de l'écoulement longitudinal

ligne de courant extérieure

5.1. Étude théorique du système 2D          ∂(uesδ1s) ∂t +^∂(ues²θss) ∂s = −uesδ1s ∂ues ∂s +¹₂ues²C_{f s} ∂(ues²θss) ∂t +^∂(ues³δ3ss− u_es3θss) ∂s = (ues²δ1s− u_es²θss)^∂ues ∂s ⁻ 1 2^ues³Cf s+ 2ues³CDs (5.1a) (5.1b) ∂((Te− T_p)δ1T) ∂t + ^∂((Te− T_p)uesθ_{T s}) ∂s = −^Φp ρc_p ⁻ 1 c_p^ues 3C_Ds (5.1c)

Pour la partie dynamique, il n’est composé que d’une équation intégrale de quantité de mouvement selon la direction s et de l’équation intégrale de l’énergie cinétique. Les deux variables primaires associées sont δ1s et θss. Les inconnues δ3ss, Cf s et CDs sont fermées par les relations (2.24a) , (2.24b) et (2.24c) pour une couche limite laminaire et (2.30), (2.31) ou (2.32) et (2.33) pour une couche limite turbulente. Ce système peut être associé à l’équation intégrale de l’énergie si la partie thermique est résolue par la méthode intégrale (développée uniquement en laminaire dans cette thèse). Dans ce cas, la variable primaire associée est δ1T et Φp est fermé par la relation (3.28), associée à (3.23a) et (3.24). Le terme (Te− T_p)uesθ_{T s} est intégré numériquement à partir des profils de vitesse (2.21) et de température (3.27). L’expression 2D de ces relations de fermeture s’obtient en annulant Cf c. La couche limite thermique peut aussi être résolue par la méthode simplifiée. Le développement de la méthode numérique associée au modèle thermique simplifié (voir section 3.1) ne sera pas traité dans ce chapitre puisqu’il repose sur des formules quasi-analytiques très simples à implémenter.

Le système (5.1) peut encore s’écrire sous une forme plus générale de la manière suivante :

∂U ∂t +^{∂F(s, U)} ∂s = S(s, U) (5.2a) ∂UT ∂t + ^∂FT(s, UT) ∂s = ST(s, UT) (5.2b) avec U = ^uesδ1s ues²θss ! = ^U1 U2 ! ; F = ^U2 uesU2(f(H) − 1) ! ; S =    −U₁^∂ues ∂s +¹ 2^ues²Cf s (uesU₁− U₂)^∂ues ∂s ⁻ 1 2^ues³C_{f s}+ 2ues³C_Ds    ; U_T = (Te− T_p)δ1T ; F_T = (Te− T_p)uesθ_{T s} ; S_T = ^−Φp ρc_p ⁻ 1 c_p^ues 3C_Ds

où U et UT correspondent aux variables résolues, F et FT aux termes de flux et S et ST aux termes sources. La fonction f(H) = δ3ss/θss vaut fl(H) pour une couche limite laminaire et ft(H) pour une couche limite turbulente (voir (2.24a) et (2.30)).

découplées, ce qui est une conséquence de l’hypothèse ρ = cte. Ainsi, dans le code, la couche limite thermique n’est résolue que dans un deuxième temps, c’est-à-dire après avoir obtenu une solution convergée pour la couche limite dynamique. C’est pourquoi ces deux parties du modèle sont traitées séparément dans ce chapitre.

5.1.2. Étude de l’hyperbolicité du système d’équations 2D

L’objectif de cette section est de montrer que le système (5.2) est hyperbolique et de calculer les valeurs propres du système d’équations. Ceci permettra de montrer que le problème est a priori bien posé1 et de connaître les zones d’influence et de dépendance en fonction du signe des valeurs propres pour pouvoir ensuite choisir un schéma de discrétisation adapté. La partie thermique étant découplée de la dynamique, on peut se limiter à l’étude des valeurs propres du système dynamique dans cette section.

L’équation (5.10a) peut s’écrire de la manière suivante :

∂U

∂t + ∇UF(s, U)^∂U

∂s = S(s, U) (5.3)

où ∇UF(s, U) est la jacobienne de F par rapport à U. Pour que le système soit hyperbolique, il faut que les valeurs propres de ∇UF(s, U) soient réelles et distinctes. Or, la jacobienne s’écrit :

∇_UF(s, U) =    0 1 u_esU₂f^0∂H ∂U₁ ^uesU2f 0∂H ∂U₂ + ues(f − 1)    avec f0= ^df

dH. On peut constater que l’hyperbolicité du système dépend de la relation de fermeture choisie pour le terme ues³δ_3ss (c’est-à-dire f dans notre cas). Sachant que H = ^δ1s

θss = ^uesU₁ U2 , la jacobienne de F par rapport à U se simplifie en :

∇_UF(s, U) = ^{0 1}

u_es²f⁰ u_es(f − Hf0−1)

!

Les valeurs propres λi de la jacobienne ∇UF(s, U) sont les solutions de l’équation caractéristique suivante :

λ²− λu_es(f − Hf0−1) − ues²f⁰ = 0 (5.4) Or, pour que les valeurs propres soient réelles et distinctes, il faut que le discriminant ∆ de l’équa-tion (5.4) soit strictement positif :

∆ = ues² h

(f − Hf0−1)2+ 4f0i

(5.5) On peut constater sur lafigure 5.2que le discriminant ∆ adimensionné par ues², qui n’est fonction que de H, est toujours strictement positif pour une très large gamme de valeurs du facteur de forme (au moins pour 1 < H < 50), quel que soit le régime de la couche limite. Le système de couche limite intégrale associé aux relations de fermeture choisies est donc hyperbolique pour des écoule-ments laminaires et turbulents. Le problème linéarisé est donc bien posé, à condition d’imposer le 1. En réalité, l’hyperbolicité du système est seulement une condition nécessaire. Il n’existe pas aujourd’hui de théorie générale pour les systèmes hyperboliques non-linéaires.

5.1. Étude théorique du système 2D bon nombre de conditions limites.

D’autre part, les valeurs propres du système sont tracées sur la figure 5.3 pour les deux types d’écoulements. Elles valent :

λ^± = ^ues(f − Hf0−1) ±^√∆

2 ^(5.6)

On s’attend à ce qu’elles soient toutes les deux positives pour une couche limite attachée et qu’elles soient de signes opposés dans une zone décollée. En effet, l’information se propage uniquement vers l’aval dans le premier cas et dans les deux directions (amont et aval) dans le second. Pour le cas turbulent, le modèle de fermeture, basé sur le profil de vitesse présumé (2.25), ne permet pas le décollement de la couche limite (ubs(η) ≥ 0 pour 0 ≤ η ≤ 1) et les valeurs propres sont effectivement toujours toutes les deux positives. Pour le modèle laminaire, les deux valeurs propres sont bien positives pour les faibles valeurs du facteur de forme, puis λ− devient négative dans la zone de décollement. On peut montrer facilement, d’après (5.6) et (5.5), qu’elle s’annule pour

f⁰(H) = 0, c’est-à-dire à l’endroit où la singularité de Goldstein apparait (voirsection 4.2où f(H) est notée H32(H)). Cependant, on a vu dans lasection 4.2que le point où cette singularité apparait ne coïncide pas forcément parfaitement avec le point où le coefficient de frottement s’annule. C’est le cas ici, puisque la valeur propre s’annule pour H = 4.43 alors que le coefficient de frottement s’annule pour H = Hdec = 4.02923. Il existe donc une zone, entre H = Hdec et H = 4.43 où le coefficient de frottement est négatif (c’est-à-dire où la couche limite est détachée) alors que les valeurs propres sont toutes les deux positives. Comme l’explique Cousteix [26], la taille de cette zone dépend des relations de fermeture choisies.

En revanche, le modèle laminaire ne semble pas cohérent pour des valeurs du facteur de forme supérieures à 25.34 puisqu’au delà de cette valeur, les valeurs propres redeviennent toutes les deux positives et l’une d’elles devient supérieure à la vitesse extérieure, ce qui signifierait que l’informa-tion se propage plus vite que la vitesse extérieure. Dans le code, la valeur de H est donc limitée à 25 pour une couche limite laminaire et les valeurs supérieures ne sont donc pas autorisées. En pratique, ce n’est pas pénalisant car le plus souvent la couche limite a transitionné avant d’at-teindre de telles valeurs du facteur de forme. De plus, même si la couche limite ne transitionne pas, de telles valeurs du facteur de forme ne peuvent être atteintes que dans le cas d’un décollement massif qui n’est de toute façon pas modélisé précisément par la méthode développée dans cette thèse.

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 H 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 ∆/u_es² 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 H 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 ∆/u es 2

Figure 5.2. – Discriminant adimensionné de l’équation caractéristique en fonction du facteur de forme H pour une couche limite laminaire (gauche) et turbulente (droite)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 H 0 0.5 1 1.5 2 λ/u es λ⁺/u_es λ^-/u es 0 10 20 30 40 50 H -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 λ/u es λ⁺/u es λ^-/u es

Figure 5.3. – Valeurs propres adimensionnées du système d’équations en fonction du facteur de forme H pour une couche limite laminaire (gauche) et turbulente (droite)

5.1.3. Traitement de la singularité de Goldstein et de la zone décollée pour le système 2D

On a vu dans la section précédente que le système d’équation pour la couche limite dynamique peut s’écrire sous la forme :

∂U ∂t + ∇UF(s, U)^∂U ∂s = S(s, U) avec ∇_UF(s, U) = ^{0 1} ues²f⁰ ues(f − Hf0−1) !

Or, le déterminant de la jacobienne de F par rapport à U vaut det = −ues²f⁰. Celui-ci est donc susceptible de s’annuler si f0, c’est-à-dire la dérivée de f par rapport à H, s’annule. Les dérivées des fonctions fl pour le modèle laminaire et ft pour le modèle turbulent sont tracées en fonction du facteur de forme sur la figure 5.4. On constate que dans le cas d’une couche limite turbulente,

f⁰ (= f0

t) ne s’annule jamais. En revanche, pour une couche limite laminaire, f0 s’annule pour

H = 4.43, proche de la valeur limite pour laquelle la couche limite décolle2. Ainsi, pour H = 4.43, la fonction f(H) atteint un minimum, le déterminant de la jacobienne de F par rapport à U s’annule (l’une des deux valeurs propres devient nulle comme on l’a vu dans la section précédente) et les équations intégrales stationnaires deviennent singulières. On retrouve donc ici la singularité de Goldstein [37] qui est décrite dans la section 4.2 (où la fonction f(H) est notée H32(H)). En pratique, cela se traduit par le fait qu’une solution stationnaire ne peut pas être atteinte en présence d’un décollement de couche limite laminaire. La manière habituelle d’éviter cette singularité est, comme on l’a vu, de coupler le solveur couche limite au solveur fluide parfait. Il existe différentes méthodes de couplage qui sont présentées dans la section 4.4. Mais l’approche adoptée dans cette thèse est une méthode directe sans couplage, car les méthodes de couplage sont souvent coûteuses en temps de calcul et relativement complexes à mettre en œuvre en particulier en 3D. De plus, la zone décollée n’a pas besoin d’être calculée précisément.

Une "méthode de contrôle" a donc été développée pour éviter que les équations ne deviennent singulières au passage du décollement. Celle-ci consiste à rajouter artificiellement un terme dans les équations de manière à pouvoir contrôler la valeur du déterminant de la jacobienne de F et ainsi éviter qu’il ne s’annule. Ce terme doit évidemment être nul dans les zones de couche limite 2. La dérivée de f s’annule aussi pour H = 25.34 mais, comme discuté précédemment, la valeur de H pour une couche limite lamainaire est seuillée à 25 dans le code.

5.1. Étude théorique du système 2D 0 5 10 15 20 25 H -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 f_l’(H) 0 5 10 15 20 25 H -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 f t’(H)

Figure 5.4. – Dérivée de f en fonction de H pour une couche limite laminaire (gauche) et turbu-lente (droite)

attachée afin qu’il ne modifie pas la solution dans les zones où celle-ci est déterminante pour le calcul d’accrétion de givre. Cependant, il est clair que la solution dans les zones de couche limite décollée ne correspondra pas réellement à la solution attendue. Ceci constitue la limite principale de cette méthode mais elle n’est pas trop contraignante pour des applications givrage. En effet, le givre se forme principalement dans la zone de bord d’attaque, peu propice au décollement. De plus, la transition laminaire-turbulent est généralement située en amont du point de décollement laminaire. La singularité de Goldstein est donc souvent évitée dans les faits, à l’état stationnaire. La méthode proposée ici est principalement utile pour la phase transitoire précédant l’état stationnaire. Le système d’équations intégrales, auquel on a ajouté les termes de contrôle uesv_θss et ues²v_δ1s, s’écrit maintenant :          ∂(uesδ1s) ∂t +^∂(ues²θss) ∂s = −uesδ1s ∂ues ∂s + ¹₂ues²Cf s+ uesvθss ∂(ues²θss) ∂t +^∂ues³(δ3ss− θ_ss) ∂s = ues²(δ1s− θ_ss)^∂ues ∂s ⁻ 1 2^ues³Cf s+ 2ues³CDs+ ues²vδ1s (5.7a) (5.7b) avec v_θss = α(H)ues ∂θss ∂s et v_δ1s = α(H)ues ∂δ1s ∂s

où α est une fonction de H qui sera déterminée par la suite. L’expression de ces deux termes vθss et vδ1s a été choisie de manière à ce qu’ils permettent de contrôler le signe du déterminant de la jacobienne de F par rapport à U qui est calculé ci-dessous. En effet, ces termes font intervenir les dérivées des variables primaires δ1s et θss par rapport à s. Ils sont traités comme des termes sources mais ils ont vocation à modifier les termes de flux. Les calculs détaillés dans l’annexe F montrent d’ailleurs qu’on peut définir la nouvelle jacobienne de F par rapport à U, basée sur ces flux modifiés, de la manière suivante :

∇_UF(s, U) = ^{0 (1 − α)}

u_es2(f0− α) ues(f − Hf0−1)

!

La fonction α(H) peut alors être vue comme un paramètre de contrôle. En effet, il permet de jouer sur le signe du déterminant de la jacobienne qui devient :

Dans le cas d’une couche limite laminaire attachée (pour H < Hdec), α doit être nul pour ne pas dégrader la solution. On retrouve bien dans ce cas que le déterminant de la jacobienne vaut det = −ues²f⁰ et qu’il est strictement positif car f0

l <0. Comme celui-ci ne doit jamais s’annuler, il faut donc qu’il reste toujours strictement positif quelle que soit la valeur du facteur de forme. De plus, on choisit α < 1 pour que les termes de contrôle ne soient pas trop importants et modifient le moins possible les équations. Pour que le déterminant reste toujours strictement positif, il faut alors que α soit strictement supérieur à f0

l. Pour répondre à toutes ces contraintes, le paramètre α est choisi comme une fonction de H de la forme :

α(H) = c^1 + tanh^{H − H}dec

0.25



avec c < 0.5 de manière à ce que α soit strictement inférieur à 1. La forme de la fonction α(H) a été choisie pour que sa valeur évolue de manière assez rapide de 0 à 2c dans la zone autour de Hdec. De plus, c est une constante qui doit être choisie de telle sorte que α soit toujours strictement supérieur à f0 et que le système d’équations soit toujours hyperbolique. En effet, l’équation caractéristique (5.4) du système devient :

λ²− λu_es(f − Hf0−1) − ues²(f0− α)(1 − α) = 0 (5.8) et son discriminant vaut :

∆ = ues² h

(f − Hf0−1)2+ 4(f0− α)(1 − α)i

(5.9) On peut montrer numériquement que pour que le discriminant ∆ soit toujours strictement positif, il faut que c soit inférieur à 0.02457 (voir figure5.5(a)). De plus, pour que α soit toujours strictement supérieur à f0

l (pour H < 25), il faut que c soit strictement supérieur à 0.01994 (voir figure5.5(b)).

0 5 10 15 20 25 H -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 ∆/u es 2 α pour c = 0.00 α pour c = 0.02 α pour c = 0.02457 α pour c = 0.04

(a) Étude de l’hyperbolicité du modèle laminaire en fonction de la valeur de c 0 10 20 H 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 f_l’(H) f_l’(H) α pour c = 0.015 α pour c = 0.01994 α pour c = 0.023

(b) Superposition de α et de f_l⁰ pour différentes valeurs de c

Figure 5.5. – Détermination de α pour que le modèle laminaire soit hyperbolique et qu’il ne soit jamais singulier

Finalement, on obtient une condition sur c pour que le modèle laminaire soit hyperbolique et qu’il ne soit jamais singulier :

5.2. Mise en œuvre d’une méthode de résolution Volumes-Finis bidimensionnelle On choisit de prendre c = 0.020. Le paramètre de contrôle s’exprime alors comme suit :

α(H) = 0.020^1 + tanh^{H − H}dec

0.25



Les valeurs propres sont toujours exprimées par la relation (5.6) mais cette fois, ∆ est donné par (5.9). Elles sont tracées sur la figure 5.6pour une couche limite laminaire. Comme prévu, elles restent toutes les deux positives, quelle que soit la valeur de H (H < 25), alors que la couche limite décolle à partir de H = Hdec (Cf s devient négatif).

0 5 10 15 20 25 H 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 λ/u es λ⁺/u es λ^-/u es

Figure 5.6. – Valeurs propres adimensionnées du système d’équations modifié par la méthode de contrôle en fonction du facteur de forme H pour une couche limite laminaire Comme il a été mentionné précédemment, les termes de contrôle sont en pratique traités comme des termes sources. Ainsi, dans toute la section 5.2 relative à la discrétisation du système 2D, on remplacera le système (5.2) par le nouveau système d’équations suivant :

∂U ∂t +^{∂F(s, U)} ∂s = S(s, U) + Sc(s, U) (5.10a) ∂U_T ∂t +^∂FT(s, UT) ∂s = ST(s, UT) (5.10b) avec Sc(s, U) = ^uesv_θss u_es²v_δ1s !

En revanche, cette méthode de contrôle, qui rend le code robuste au passage du décollement, n’a pas été étendue en trois dimensions dans cette thèse. Son extension est prévue dans le prolongement de cette thèse. À l’heure actuelle, la valeur du facteur de forme est seuillée de manière brutale à Hdec

dans le code 3D, de manière à éviter qu’il n’atteigne la singularité qui se produit pour H = 4.43.

5.2. Mise en œuvre d’une méthode de résolution Volumes-Finis

bidimensionnelle

Une méthode de type Volumes-Finis a été choisie pour la résolution du système d’équations inté-grales car elle est particulièrement bien adaptée aux systèmes hyperboliques de lois de conservation. De plus, cette méthode est couramment utilisée dans la littérature pour résoudre les modèles inté-graux de couche limite, notamment dans les travaux les plus récents (voirsection 4.3). On présente

dans cette section la méthode développée en 2D. Son extension en 3D sur un maillage non structuré sera présentée dans la section suivante.

5.2.1. Définition du domaine de calcul

Le domaine de calcul utilisé dans le solveur 2D BLIM2D est schématisé sur la figure 5.7. Les N cellules sont parcourues à partir du bord de fuite intrados (i = 1) jusqu’au bord de fuite extrados (i = N). Deux cellules fictives i = 0 et i = N +1 sont ajoutées aux extrémités du domaine de calcul pour pouvoir définir des conditions limites. Le vecteur y est toujours perpendiculaire à la paroi et le vecteur s0 est tangent à la paroi et orienté dans le sens de parcours des cellules. Il est important de noter pour la suite qu’avec cette définition, on a s0 = s à l’extrados et s0 = −s à l’intrados. Dans la sectionsection 5.2, pour alléger les notations, on écrira ues pour ues0 = qe· s0. De même, on notera δ1s, θss, Cf s, CDs et θT s pour δ1s0, θs0s0, Cf s0, CDs0 et θT s0. Ainsi, la vitesse extérieure

ues= qe· s⁰est positive sur la partie extrados du profil mais elle est négative sur la partie intrados.

Figure 5.7. – Définition du domaine de calcul pour la méthode 2D sur un profil d’aile sans incidence

5.2.2. Discrétisation du système d’équations

Pour l’approche 2D structuré présentée dans cette section, le système d’équations (5.10) est intégré sur une cellule i de longueur ∆s0

i : ∂ ∂t Z C_iU(t) ds0+h −F(s0 i−1/2, U_i−1/2(t)) + F (s0 i+1/2, U_i+1/2(t))i =^Z C_i S(s0 , U(t)) + Sc(s0 , U(t))
ds0 ∂ ∂t Z Ci U_T(t) ds0+h −F_T(s0 i−1/2, U_{T ,i−1/2}(t)) + FT(s0 i+1/2, U_T,i+1/2(t))i =^Z Ci S_T(s0, U_T(t)) ds0

Le théorème de flux-divergence dans sa version simplifiée 1D a été utilisé pour transformer l’intégrale de la dérivée des termes de flux en une différence de flux exprimés aux nœuds de la cellule i. On suppose de plus que, dans chaque cellule i, U et UT sont constants et égaux à leur valeur moyenne

U_i et UT ,i au centre s0

i de la cellule. Elles sont définies par :

U_i(t) = _∆s¹₀ i Z s⁰_i+1/2 s⁰_i−1/2 U(s0, t) ds0 ; UT ,i(t) = _∆s¹₀ i Z s⁰_i+1/2 s⁰_i−1/2 U_T(s0, t) ds0

5.2. Mise en œuvre d’une méthode de résolution Volumes-Finis bidimensionnelle D’autre part, on définit les flux numériques Gi+1/2 et GT ,i+1/2 en s0

i+1/2 comme étant une approxi-mation des flux F et FT sur la face i + 1/2 de la maille i. On a alors :

∆s0 i dUi(t) dt +h G_i+1/2(t) − Gi−1/2(t)i = ∆s0 i(Si(t) + Sci(t)) ∆s0 i dU_{T ,i}(t) dt +h G_{T ,i+1/2}(t) − GT ,i−1/2(t)i = ∆s0 iS_{T ,i}(t) (5.11a) (5.11b) Les grandeurs Si, Sci et ST ,i représentent les valeurs moyennes de S, Sc et ST dans la cellule i :