Implémentation

Dans ce qui suit, la notation |E| désigne le cardinal d'un ensemble ni E ⊆ X.

On explique ici comment se déroulent les itérations successives de l'algorithme. À chaque étape, l'arbre t est augmenté d'une génération et l'encadrement de p est mis à jour à travers le calcul des quantités p−_{(t) et p}+_{(t) dénies en (4.4) et (4.5). On se donne un nombre}

maximal n ∈ N∗ _{d'appels à la fonction g et l'algorithme s'arrête lorsque ce budget est}

atteint.

L'étape d'initialisation consiste à poser t = ∅ et à aecter l'étiquette A à la racine. La hauteur de l'arbre initial est donc nulle et on a : I(t) = O(t) = ∅ et A(t) = {∅}.

Au début de l'étape k ∈ N∗_{, l'arbre t est de hauteur k − 1, de sorte que les feuilles}

appartenant à I(t) ∪ O(t) sont de profondeur au plus k − 2 et celles appartenant à A(t) sont de profondeur k − 1. Ces dernières constituent la dernière génération de t et sont assimilées à des cubes dyadiques de longueur 1

2k−1. On note nk−1 le nombre d'appels à la

fonction g déjà eectués, avec n0 = 0.

L'algorithme construit la génération k de t et retourne une approximation de p comme décrit ci-dessous :

 Classication des feuilles de la dernière génération

Soit ˜A(t) un ensemble de feuilles que l'on initialise à ∅ au début de chaque étape. Pour tout u ∈ A(t) de profondeur k − 1,

 Si nk−1 < n, alors on évalue g au centre cQ du cube dyadique Q(u) et on

actualise le nombre d'appels à la fonction : nk−1 ← nk−1+ 1.

On applique l'hypothèse (H1) :

 Si g(cQ) > T + ₂Lk, alors u est etiqueté I :

I(t) ← I(t) ∪ {u}.  Si g(cQ)≤ T − ₂Lk, alors u est étiqueté O :

O(t) ← O(t) ∪ {u}.  Si |g(cQ)− T | ≤ ₂Lk, alors u est étiqueté A :

˜

A(t) ← ˜A(t) ∪ {u}.

 Si nk−1 = n, alors aucune évaluation de g n'est eectuée au centre de Q(u) et u

est, par défaut, étiqueté A : ˜

 Mise à jour de l'arbre

On construit la génération k de t : ce sont des feuilles de profondeur k qui sont les enfants de ˜A(t) et qui sont étiquetées A. Le nouvel ensemble A(t) vérie alors :

|A(t)| = 2d| ˜A(t)|.  Mise à jour des probabilités

On met à jour les approximations de la probabilité de défaillance p en calculant : p−(t) = X u∈I(t) P X∈ Q(u)
et p+(t) = p−(t) + X u∈A(t) P X∈ Q(u)
.  On actualise le nombre d'appels à la fonction : nk = nk−1. L'algorithme s'arrête

si nk = n.

Remarque 4.3.1. En pratique, d'autres critères d'arrêt que le nombre d'appels à la fonc- tion g peuvent être pris en compte. Par exemple, quand bien même le budget d'évaluations de g ne serait pas épuisé, l'algorithme doit s'arrêter à la n d'une étape si, pour une va- leur  > 0 xée, les approximations p−_{(t) et p}+_{(t) vérient : p}+_{(t) − p}−_{(t) < .}

4.3.4 Exemple

An d'illustrer le principe de fonctionnement de l'algorithme, on propose ici un exemple simple en dimension d = 1 pour lequel la valeur de la probabilité de défaillance p est connue. En haut à gauche de la gure 4.7, on a représenté la fonction g (courbe noire), le seuil T (droite en pointillés rouges), la densité fX de la loi PX (courbe bleue) et la probabilité p

(aire bleue) que l'on cherche à estimer. On a précisement ici :

g(x) = (0.8x − 0.3) + exp − 11.534x1.95
_{+ exp − 2(x − 0.9)}2
.

On rappelle que si g : I ⊂ R → R une fonction dérivable en tout point et supx∈I|g0(x)| ≤ L,

alors g est L-lipschitzienne. Ici, L = sup_x∈[0,1]|g0_{(x)| = 1.61. En prenant X ∼ N} 1 5,

1 5

2
et T = 1.3, la probabilité p est égale à 2.08 × 10−3_.

À l'étape k = 1, une première évaluation de g est eectuée au point 1

2. On en déduit la plus

petite (resp. grande) valeur que peut prendre g dans l'intervalle [0, 1]. D'après (H1), elle

vaut g 1

2
−L2 (resp. g 12
+L2). On compare ces quantités à la valeur du seuil T et on a bien

entendu g 1

2
−T

 ≤ L

2. Comme représenté en haut à droite de la gure4.7, cela signie que

la ligne de niveau T traverse les courbes représentatives des fonctions x 7→ g 1

2
+L|x−12|

et x 7→ g 1

2
− L|x − 12|. Dans l'arbre étiqueté t en bas à droite, on conclut :

I(t) = ∅, O(t) = ∅ et A(t) = {(1), (2)}. À ce stade, les approximations p−_{(t) et p}+_{(t) vérient donc :}

A ∅ A (1) A (2) A (2,1) A (2,1,1) A (2,1,2) O (2,1,2,1) alive (2,1,2,2) A (2,1,2,2,1) A (2,1,2,2,2) A (2,2) A (2,2,1) A (2,2,1,1) A (2,2,1,1,1) A (2,2,1,1,2) S (2,2,1,2) S (2,2,2)

Figure 4.7 La probabilité p que l'on cherche à estimer correspond à l'aire bleue sous la courbe de la densité de la loi PX. Étape 1 : l'algorithme évalue g au point 12. On a I(t) = ∅, O(t) = ∅ et

A(t) = {(1), (2)}. Par conséquent, on a p−_{(t) = 0 et p}+_{(t) = p}−_{(t) + P X ∈ 0,}1 2 ∪ 

1

2, 1
= 1.

Sur la gure 4.8, on montre comment procède l'algorithme à l'étape k = 2 : une pre- mière évaluation est eectuée au point 1

4 et on observe que : g 1 4
+

M

4 ≤ T, c'est-à-dire

que g(x) ≤ T , pour tout x ∈ 0,1 2



. Plus aucune évaluation de g ne sera eectuée dans le sous-domaine 0,1

2



et on aecte l'étiquette O au n÷ud (1). Après une évaluation supplémentaire de g au point 3

4, on a :

I(t) = ∅, O(t) = {(1)} et A(t) = {(2, 1), (2, 2)}. On met à jour les approximations de p :

p−(t) = 0, et p+(t) = p−(t) + P X ∈ 1₂,3₄ ∪ 3₄, 1
.

Sur les gures 4.9 à 4.11, on a représenté de la même façon les étapes 3 à 5. À partir de l'étape 4, on remarque que l'algorithme commence à identier des sous-domaines de X inclus dans le domaine de défaillance et dans lesquels plus aucune évaluation de g n'est eectuée par la suite. Sur la gure4.12, on donne à gauche le résultat de l'algorithme après 35évaluations de g. On constate que celles-ci sont concentrées autour de l'unique point xT

A ∅ O (1) A (2) A (2,1) O (2,1,1) A (2,1,2) O (2,1,2,1) A (2,1,2,2) A (2,1,2,2,1) A (2,1,2,2,2) A (2,2) A (2,2,1) A (2,2,1,1) A (2,2,1,1,1) A (2,2,1,1,2) I (2,2,1,2) I (2,2,2)

Figure 4.8 Étape 2 : l'algorithme évalue g aux points 1 4 et

3

4. On a I(t) = ∅, O(t) = {(1)} et

A(t) = {(2, 1), (2, 2)}. Plus aucune évaluation de g ne sera eectuée dans l'intervalle0,1 2  . On a par conséquent p−_{(t) = 0 et p}+_{(t) = p}−_{(t) + P X ∈ }1 2, 3 4 ∪  3 4, 1 
.

A ∅ O (1) A (2) O (2,1) A (2,2) A (2,2,1) A (2,2,1,1) A (2,2,1,1,1) A (2,2,1,1,2) I (2,2,1,2) A (2,2,2)

Figure 4.9 Étape 3 : l'algorithme évalue g aux points 5 8et

7

8. On a I(t) = ∅, O(t) = {(1), (2, 1)}

et A(t) = {(2, 2, 1), (2, 2, 2)}. Par conséquent, p−_{(t) = 0 et p}+_{(t) = p}−_{(t) + P X ∈ }3 4, 7 8 ∪  7 8, 1 
.

tel que g(xT) = T, et que les intervalles en lesquels elles sont eectuées sont de longueur

très petite. À droite, on a représenté les approximations successives de p, avec p+_{(t) en}

A ∅ O (1) A (2) O (2,1) A (2,2) A (2,2,1) A (2,2,1,1) A (2,2,1,1,1) A (2,2,1,1,2) A (2,2,1,2) I (2,2,2)

Figure 4.10  Étape 4 : l'algorithme évalue g aux points 13 16 et

15

16. On a I(t) = {(2, 2, 2)},

O(t) = {(1), (2, 1)} et A(t) = {(2, 2, 1, 1), (2, 2, 1, 2)}. Plus aucune évaluation de g ne sera eectuée dans l'intervalle 0,3

4 ∪  7 8, 1

 _{(orange et vert). On a alors p}−_{(t) = P X ∈ }7 8, 1 
_{et p}+_{(t) =} p−_{(t) + P X ∈ }3 4, 13 16 ∪  13 16, 7 8 
.

A ∅ O (1) A (2) O (2,1) A (2,2) A (2,2,1) A (2,2,1,1) A (2,2,1,1,1) A (2,2,1,1,2) I (2,2,1,2) I (2,2,2)

Figure 4.11  Étape 5 : l'algorithme évalue g aux points 25 32 et

27

32. On a I(t) =

{(2, 2, 2), (2, 2, 1, 2)}, O(t) = {(1), (2, 1)} et A(t) = {(2, 2, 1, 1, 1), (2, 2, 1, 1, 2)}. Plus aucune éva- luation de g ne sera eectuée dans l'intervalle 0,3

4 ∪  13 16, 1  (orange et vert). On a p−_{(t) =} P X ∈ 1316, 7 8 ∪  7 8, 1 
et p+_{(t) = p}−_{(t) + P X ∈ }3 4, 25 32 ∪  25 32, 13 16]
.

Figure 4.12  À gauche : résultat de l'algorithme une fois le budget de n = 35 évaluations atteint. À droite : approximations successives en fonction du nombre d'appels à la fonction g. En bleu : la vraie probabilité de défaillance p. En gris : l'approximation par excès p+_{(t). En vert :}

l'approximation par défaut p−_(t).

Remarque 4.3.2. À chaque itération, l'algorithme eectue un certain nombre d'appels à la fonction g aux centres de cubes dyadiques. On peut envisager deux façons d'ordon- ner les évaluations en fonction des cubes. Soit on respecte l'ordre de numérotation imposé par l'arbre (c'est le cas dans l'exemple ci-dessus), soit on ordonne les cubes de façon à explorer en priorité ceux de plus forte probabilité. Ainsi, si le budget est atteint au cours d'une itération, on aura tranché sur les cubes de forte probabilité et cela peut impacter considérablement la valeur estimée de p.