Impact des points fantômes

Globalement, le code de calcul Incompact3d permet de reproduire avec précision les statistiques que l’on trouve dans les bases de données pour le canal plan tubulent. Comme on l’a évoqué dans la section 2.4, on utilise des points fantômes pour calculer le gradient de pression dans la direction normale à la paroi. On discute dans cette sous-section l’impact qu’ils ont. Soulignons que les points fantômes tels qu’utilisés dans le code sont équivalents à des hypothèses sur la parité des variables dérivées et interpolées.

L’équation de conservation de la quantité de mouvement dans la direction normale à la paroi est : ∂tuy = − ∂i(uiuy) + ui∂iuy 2 − ∂yp + 1 Re∂iiuy (3.21)

À la paroi, la vitesse est nulle. Lorsque l’on s’en rapproche, l’accélération et la convection tendent donc vers 0. On a alors un équilibre entre la diffusion visqueuse de uy et la dérivée

de la pression dans la direction y. Or, l’hypothèse de parité faite sur la pression (elle est paire) impose une dérivée nulle dans la direction y.

D’un point de vue physique, on brise ainsi l’équilibre qu’il y a dans l’équation de Navier- Stokes. D’un point de vue mathématique, il y a une perte de consistance. Bien entendu, cette inconsistance est localisée à proximité immédiate de la paroi. On est ainsi face à une couche-limite numérique : les schémas numériques utilisés imposent une contrainte supplémentaire et non physique sur l’écoulement au voisinage de la paroi. Les travaux de Guermond et al. [23] illustrent très bien cette problématique. Soulignons tout de même que cette inconsistance n’impacte pas les champs moyens : la pression moyenne est paire.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 y −0.03 −0.02 −0.01 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 ∂yp ∂iiuy/Re 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 y −0.020 −0.015 −0.010 −0.005 0.000 0.005 0.010 0.015 ∂yp ∂iiuy/Re

Figure3.18 – Profil instantané pour le gradient de pression normal à la paroi et la diffusion visqueuse associée à uy. Gauche : 0 ≤ y ≤ 2. Droite : Zoom sur la paroi à 0 ≤ y ≤ 0.1.

La figure 3.18 illustre bien le déséquilibre qui est présent sur les champs instantanés. La couche-limite numérique se traduit ainsi par de légères oscillations visibles à proximité de la paroi. Pour pallier à cette inconsistance, nos calculs utilisent un maillage relativement dense à proximité de la paroi. On parvient ainsi à obtenir des bilans équilibrés pour les tensions de Reynolds qui ne présentent pas d’artefacts numériques. En effet, pour tous les tests menés à résolution marginale (y+ _{≥ 1 pour la première cellule), les bilans des}

tensions de Reynolds Ryy et Rxy sont entachés d’oscillations. Les termes impactés par ces

oscillations sont la corrélation vitesse-gradient de pression et la diffusion visqueuse associée à ces tensions de Reynolds.

La corrélation vitesse-gradient de pression fait intervenir directement le gradient de la pression fluctuante, elle est donc particulièrement sensible aux oscillations qu’il peut por- ter. En ce qui concerne la diffusion visqueuse, elle est proportionnelle à la dérivée seconde de la tension de Reynolds. Bien que les profils de la tension de Reynolds semblent lisses, à résolution marginale, ils sont porteurs d’oscillations de faible amplitude. Or, l’opérateur de dérivée seconde amplifie fortement les grands nombres d’onde. On obtient ainsi, à ré- solution marginale, une diffusion visqueuse oscillante pour les tensions de Reynolds Rxy

et Ryy. C’est la signature d’oscillations sur le champ de vitesse dans la direction y.

L’utilisation d’un maillage dense près de la paroi est le palliatif le plus simple à ces oscillations. D’autres solutions existent. Tout d’abord, on peut réduire l’ordre des schémas de dérivation et d’interpolation sur maillage décalé. Ainsi, avec des schémas d’ordre 2, aucune hypothèse de parité n’est faite pour le calcul de la divergence de la vitesse. Mais dégrader l’ordre du schéma c’est perdre en précision. On a alors besoin d’augmenter la finesse du maillage pour obtenir des résultats aussi précis que ceux obtenus avec des schémas d’ordre 6.

Nous avons également envisagé des modifications du schéma de prédiction-correction. Entre autres, des variantes du schéma de type rotationnel avec incrément de pression (section 3.3 dans Guermond et al. [23]). La pression auxiliaire utilisée dans ce schéma vérifie la bonne hypothèse de parité. Ce schéma s’appuie sur un terme visqueux totalement

implicite en temps.

Nous avons effectué des développement préliminaires pour implémenter un schéma d’avancement temporel avec une diffusion totalement implicite s’appuyant sur la méthode des directions alternées. Bien que les résultats soient encourageants, les incertitudes concer- nant la lourdeur, l’efficacité et la complexité de tels développements étaient fortes. Face à la nécessité d’obtenir des résultats, nous avons opté pour la simplicité : l’utilisation d’un maillage dense à proximité de la paroi.

Chapitre 4

Canal plan turbulent avec

transport d’un scalaire passif et

transfert thermique conjugué

Ce chapitre est dédié à la thermique dans le cas du canal plan turbulent. La section 4.1 présente les équations et les conditions aux limites liées à la thermique résolues dans nos simulations. L’étude que nous faisons de ces dernières est de nature fondamentale : l’analyse mathématique permet de démontrer ce que l’intuition physique suggère et ce que nos résultats montrent. La section 4.2 est dédiée aux simulations ne comportant pas de thermique solide. Les résultats des calculs avec transfert thermique conjugué se trouvent dans la section 4.3.

Champ instantané de température

En guise d’introduction à ce chapitre et à titre illustratif, on a tracé figure 4.1 le champ de température issu d’un calcul avec transfert thermique conjugué. Le champ instantané brut (figure 4.1a) montre que chaque domaine solide est froid à son bord extérieur alors que le fluide est chaud. La partie fluctuante (figure 4.1b) du champ est plus riche. On observe des structures chaudes et froides. Les fluctuations de forte amplitude sont localisées dans le fluide et pénètrent dans le solide. Ce dernier les absorbe rapidement : au bord extérieur du solide, on ne distingue pas de fluctuations. Pour mettre en valeur la thermique solide, il faut utiliser une palette logarithmique (figure 4.1c). On voit ainsi apparaitre des spots de fluctuations dans le solide. Ces derniers, en pénétrant dans le solide, s’annihilent ou fusionnent, formant ainsi de grandes structures thermiques dont l’amplitude est réduite.