Z= u i Z=R
ZC= 1 jCω ZL=jLω
Syst`eme lin´eaire du premier ordre. ´Etude fr´equentielle
Figure–Circuit RC.
Obtention de la fonction de transfertH=se : Passage de l’´equation diff´erentielle aux complexes.
s(1 +jRCω) =e Puis par simplification parexp(jωt) :
s0(1 +jRCω) =e0
H= 1
1 +jRCω
En utilisant directement la notation complexe et les imp´edances caract´eristiques.
H= ZC
ZC+ZR = 1 1 +jRCω (Et retour possible `a l’´equation diff´erentielle.)
Syst`eme lin´eaire du premier ordre. ´Etude fr´equentielle
Figure–Circuit RC.
Obtention de la fonction de transfertH=se : Passage de l’´equation diff´erentielle aux complexes.
s(1 +jRCω) =e Puis par simplification parexp(jωt) :
s0(1 +jRCω) =e0
H= 1
1 +jRCω
En utilisant directement la notation complexe et les imp´edances caract´eristiques.
H= ZC
ZC+ZR = 1 1 +jRCω (Et retour possible `a l’´equation diff´erentielle.)
Syst`eme lin´eaire du premier ordre. ´Etude fr´equentielle
H= 1
1 +jRCω = 1 1 +jωω
0
= 1
1 +jx
Figure–Diagramme de Bode du filtre passe bas du premier ordre.
GdB= 20 log(|H|) etϕ=arg(H)
Syst`eme lin´eaire du premier ordre. ´Etude fr´equentielle
Etude du comportement basse fr´equence.
A priori :C´equivalent `a un interrupteur ouvert doncuR = 0 ets(t) =e(t). Par ´equivalent deH:Quandω→0,H'1 doncGdB'0 etϕ'0 Etude du comportement haute fr´equence.
A priori :C´equivalent `a un fil donts(t) = 0.
De plus, le filtre se comporte comme un int´egrateur. Etude du comportement pourω=ω0.
H(ω0) = 1+j1 doncGdB' −10 log(2)' −3dBetϕ(ω0) =−π4
D’apr`es la d´efinition de la pulsation de coupure,ω0est la pulsation de coupure.
Syst`eme lin´eaire du premier ordre. ´Etude fr´equentielle
Etude du comportement basse fr´equence.
A priori :C´equivalent `a un interrupteur ouvert doncuR = 0 ets(t) =e(t).
Par ´equivalent deH:Quandω→0,H'1 doncGdB'0 etϕ'0 Etude du comportement haute fr´equence.
A priori :C´equivalent `a un fil donts(t) = 0.
De plus, le filtre se comporte comme un int´egrateur. Etude du comportement pourω=ω0.
H(ω0) = 1+j1 doncGdB' −10 log(2)' −3dBetϕ(ω0) =−π4
D’apr`es la d´efinition de la pulsation de coupure,ω0est la pulsation de coupure.
Syst`eme lin´eaire du premier ordre. ´Etude fr´equentielle
Etude du comportement basse fr´equence.
A priori :C´equivalent `a un interrupteur ouvert doncuR = 0 ets(t) =e(t).
Par ´equivalent deH:Quandω→0,H'1 doncGdB'0 etϕ'0 Etude du comportement haute fr´equence.
A priori :C´equivalent `a un fil donts(t) = 0.
De plus, le filtre se comporte comme un int´egrateur.
Etude du comportement pourω=ω0.
H(ω0) = 1+j1 doncGdB' −10 log(2)' −3dBetϕ(ω0) =−π4
D’apr`es la d´efinition de la pulsation de coupure,ω0est la pulsation de coupure.
Syst`eme lin´eaire du premier ordre. ´Etude fr´equentielle
Etude du comportement basse fr´equence.
A priori :C´equivalent `a un interrupteur ouvert doncuR = 0 ets(t) =e(t).
Par ´equivalent deH:Quandω→0,H'1 doncGdB'0 etϕ'0 Etude du comportement haute fr´equence.
A priori :C´equivalent `a un fil donts(t) = 0.
De plus, le filtre se comporte comme un int´egrateur.
Etude du comportement pourω=ω0.
H(ω0) = 1+j1 doncGdB' −10 log(2)' −3dBetϕ(ω0) =−π4
D’apr`es la d´efinition de la pulsation de coupure,ω0est la pulsation de coupure.
Syst`eme lin´eaire du second ordre. Etude temporelle.
Plan
1 Lois fondamentales de l’´electrocin´etique.
2 Syst`eme lin´eaire du premier ordre.
3 Syst`eme lin´eaire du second ordre.
Etude temporelle.
R´egime sinuso¨ıdal forc´e et R´esonance.
Etude de la puissance en r´egime sinuso¨ıdal forc´e.
Etude fr´equentielle.
Analogie ´electrom´ecanique.
4 Conclusion.
Syst`eme lin´eaire du second ordre. Etude temporelle.
Figure–Circuit RLC s´erie.
Equation diff´erentielle
Etude de la charge du condensateur : d2s
dt2 + 2.λ.ω0.ds
dt +ω20s(t) =ω02E0
Forme de la solution homog`ene, r´egime transitoire : Selon la valeur du discriminant du polynˆone caract´eristique ∆ = 4.ω20.(λ2−1) = 4.ω02(4.Q12−1)
Forme de la solution en r´egime permanent constant : sR.P.(t) =K(cste) =E0par identification.
Forme de la solution g´en´erale :s(t) =sR.T.(t) +sR.P.
Deux conditions initiales pour d´eterminer les deux constantes d’int´egration :
Continuit´e de la tension aux bornes du condensateur
Syst`eme lin´eaire du second ordre. Etude temporelle.
Rappel sur les diff´erentes solutions de l’´equation homog`ene, i.e. diff´erents r´egimes transitoires : d2s
dt2 + 2.λ.ω0.ds
dt +ω20s(t) = 0
Selon la valeur du discriminant du polynˆone caract´eristique ∆ = 4.ω02.(λ2−1) = 4.ω02(4.Q12−1) Premier Cas. ∆>0. R´egime sous critique.
Deux racines r´eelles.x=−λω0±ω0.√ λ2−1.
sR.T.(t) =Aexp(x1.t) +Bexp(x2.t).
Deuxi`eme cas. ∆<0. R´egime pseudo p´eriodique.
Deux racines complexes conjugu´ees.x=−λω0±jω0.√ Le polynˆome caract´eristique admet une racine double r´eelleω0. sR.T.(t) = exp(−ω0.t)(At+B).
Deux conditions initialessur la solution globalepour d´eterminer les deux constantes d’int´egration :
Syst`eme lin´eaire du second ordre. Etude temporelle.
Figure–Divers r´egimes transitoires (d´echarge de C dans RLC s´erie).
Le r´egime critique est le r´egime qui permet de retour le plus rapide vers le r´egime permanent, i.e.
le r´egime transitoire est le plus rapidement amorti.
Syst`eme lin´eaire du second ordre. Etude temporelle.
Figure–Visualisation exp´erimentale des r´egimes transitoires (d´echarge de C dans RLC s´erie).
Syst`eme lin´eaire du second ordre. Etude temporelle.
Bilan ´energ´etique sur la charge : Bilan ´el´ementaire, pendantdt :
Ri2dt+d(1
2Cu2C) +d(1
2Li2) =E0idt Bilan global, pendant la charge :
Z ∞
Lors de la charge, la moiti´e de l’´energie fournie par le g´en´erateur est dissip´ee par effet Joule dans la r´esistance et l’autre moiti´e est stock´ee dans le condensateur, la bobine n’apparaˆıt pas dans ce bilan.
Syst`eme lin´eaire du second ordre. Etude temporelle.
Figure–Etude ´energ´etique lors de la d´echarge, r´egime pseudo-p´eriodique.
Les oscillations du r´egimes pseudo-p´eriodiques sont li´es `a un transfert d’´energie du condensateur vers la bobine et r´eciproquement, la diminution de l’amplitude du signal ´etant due aux pertes dans la r´esistance lors des transferts d’´energie bobine↔condensateur.
Syst`eme lin´eaire du second ordre. R´egime sinuso¨ıdal forc´e et R´esonance.
Plan
1 Lois fondamentales de l’´electrocin´etique.
2 Syst`eme lin´eaire du premier ordre.
3 Syst`eme lin´eaire du second ordre.
Etude temporelle.
R´egime sinuso¨ıdal forc´e et R´esonance.
Etude de la puissance en r´egime sinuso¨ıdal forc´e.
Etude fr´equentielle.
Analogie ´electrom´ecanique.
4 Conclusion.
Syst`eme lin´eaire du second ordre. R´egime sinuso¨ıdal forc´e et R´esonance.
Etude du courant en r´egime sinuso¨ıdal forc´e dans le circuit RLC s´erie.
Etude de l’amplitude en fonction de la pulsation du g´en´erateur, recherche du maximum d’amplitude : r´esonance.
Figure–Etude de la r´esonance aux bornes de R.
i= 1
R+ 1 +jLω.e
Syst`eme lin´eaire du second ordre. R´egime sinuso¨ıdal forc´e et R´esonance.
Etude du courant en r´egime sinuso¨ıdal forc´e dans le circuit RLC s´erie.
Etude de l’amplitude en fonction de la pulsation du g´en´erateur, recherche du maximum d’amplitude : r´esonance.
Figure–Etude de la r´esonance aux bornes de R.
Syst`eme lin´eaire du second ordre. R´egime sinuso¨ıdal forc´e et R´esonance.
Etude du courant en r´egime sinuso¨ıdal forc´e dans le circuit RLC s´erie.
Etude de l’amplitude en fonction de la pulsation du g´en´erateur, recherche du maximum d’amplitude : r´esonance.
Figure–Etude de la r´esonance aux bornes de R pour divers facteur de qualit´e.