Une onde gravitationnelle est une perturbation de la métrique qui se propage à la vitesse de la lumière. L’effet physique associé est donc une variation de la mesure de la distance L entre deux masses test lors du passage de l’onde.
Le passage d’une onde gravitationnelle a pour effet de déformer de façon différentielle un objet comme représenté de façon schématique sur la séquence de la figure 4. On observe que lorsque les longueurs s’allongent dans une direction, elles rétrécissent dans la direction perpendiculaire.
Figure 4– Séquence temporelle indiquant de façon imagée l’action sur un objet (ici une poulette) d’une onde gravitationnelle se propageant perpendiculairement au plan de la feuille. On remarquera l’action de forces différentielles de type forces de marée.
1. J.M. Weisberg, J.H.Taylor : Relativistic Binary Pulsar B1913+16 : Thirty Years of Observations and Analysis, ASP Conference Series, Vol. TBD, 2004
Présentation du dispositif
Q36. Le document 4 indique le principe de fonctionnement d’un détecteur interférométrique d’ondes gravitationnelles.
(a) Qu’est-ce qu’une cavité Fabry-Perot ?
(b) Pourquoi peut-on dire que « les photons y parcourent [...] un chemin optique de l’ordre de la centaine de kilomètres » tandis que« Virgo a [...] des bras de 3 kilomètres » ?
(c) Qu’entend-on par « une source laser stable» ?
On fera les hypothèses suivantes concernant la réflexion et la transmission de la lumière dans l’interféromètre et la modélisation de l’onde émise par le laser :
les miroirs A1 et A2 , parfaitement réfléchissants, ont des coefficients de réflexion en amplitude r1 et r2 égaux à −1 ;
la lame séparatrice semi-réfléchissante est supposée sans pertes ;
pour un faisceau lumineux incident à 45◦, le coefficient de transmission en amplitude ts est indépendant du sens de la traversée, de valeur ts= √12;
toujours pour les amplitudes, le coefficient de réflexion «avant » (côté source)rs est l’opposé du coefficient de réflexion «arrière » (côté miroir A1 ) r0s , avec rs =−√1
2 etrs0 = √12;
on notera,LxetLy la longueur des bras du Michelson en l’absence de perturbation etL= Lx+L2 y la longueur moyenne des bras.
L’onde incidente produite par un laser est monochromatique. En tout point du dispositif, l’onde se propage dans le vide et sera décrite par une onde plane scalaire. En notation complexe, son amplitude sera choisie, avec origine au niveau de la séparatrice et pour une direction de propagation selon Ox, de la forme
Ein =E0eiω(t−xc) avec cla vitesse de la lumière dans le vide. On notera k = ωc. Questions :
Q37. Déterminer l’amplitudeEout de l’onde sortant vers la photodiode en fonction de celle de l’onde incidente E0, de k, Let ∆L=Lx−Ly.
Q38. Exprimer la puissancePout du faisceau sortant en fonction de la puissance d’entréePin. Montrer que cette expression se met sous la forme :
Pout =Pinsin2(k∆L)
Q39. Au passage de l’onde gravitationnelle, le bras dans la directioni(i=x, y) passe deLi àLi+δLi avecδLx= +hL2x etδLy =−hL2y. Compte tenu de la petitesse de la perturbation, montrer que la puissance en sortie s’écrit
Pout =Pdc+δPgrav
oùPdc correspond à la puissance en l’absence de la perturbation etδPgrav est le terme associé à la perturbation et a pour expression
δPgrav =PinkhLsin (2k∆L)
Vérifier que ce résultat est bien conforme aux spécifications indiquées dans le document 4.
Document 4 –Principe du détecteur Virgo
Depuis une dizaine d’années un certain nombre de laboratoires dans le monde (projet VIRGO en Italie, LIGO aux USA...) tentent de monter des expériences susceptibles de détecter directement des ondes gravita-tionnelles. Tous les détecteurs actuels reposent sur une méthode interférentielle basée sur un interféromètre de Michelson dont chaque bras mesure plusieurs kilomètres ! La variation différentielle des bras se traduisant par un défilement de franges.
On considère l’interféromètre dont le principe est représenté figure ci-dessous.
Les deux miroirs suspendus sont parfaitement réfléchissants. La variation relative maximale de distance δL selon une direction donnée est alors reliée à l’amplitude h de l’onde gravitationnelle détectée par la relation
δL L = h2 .
L’interféromètre de Michelson éclairé par une source laser stable de longueur d’ondeλ= 1064 nmde puissance 20 W permet la mesure de la différence de phase de la lumière qui suit deux trajets orthogonaux selon les deux
« bras » de longueur L de l’interféromètre. Ce déphasage est lui-même relié à la différence de chemin optique qui est justement l’effet induit par l’éventuel passage d’une onde gravitationnelle. Le déphasage est donc proportionnel à l’amplitudehde l’onde gravitationnelle détectée. Une mesure interférométrique de l’amplitude h est ainsi a priori possible. Pour atteindre une sensibilité qui permette de détecter un pulsar par exemple (h∼10–21) il faut cependant quelques raffinements...
Le premier paramètre sur lequel on peut jouer pour améliorer la sensibilité est la longueur des bras. Virgo a ainsi des bras de 3 kilomètres dans lesquels la lumière est « repliée » à l’aide de cavités Fabry-Perot de finesse modérée (de l’ordre de 50) ; les photons y parcourent alors un chemin optique de l’ordre de la centaine de kilomètres. De plus, une valeur élevée de L permet de diminuer l’influence des bruits de mesure (bruit sismique ou bruit thermique par exemple).
Un second facteur d’amélioration est lié à la puissance lumineuse P qui arrive sur la lame séparatrice de l’interféromètre. L’interféromètre est réglé sur une frange sombre en l’absence de perturbation. C’est un choix qui peut a priori surprendre, mais qui s’avère le plus pertinent pour recueillir de manière sélective le signal utile. Ce choix a pour conséquence de mettre en place un traitement adapté de ce signal de très faible puissance par des dispositifs complémentaires d’amplification ou de modulation.
Q40. Pour quelles valeurs du différentiel de longueur des bras ∆Lle signal utileδPgrav est-il maximal ? Former dans ces conditions le rapport δPgrav sur le signal continu Pdc, puis évaluer numérique-ment ce rapport à partir des données du docunumérique-ment 4 et conclure quant au choix de se placer sur une « frange sombre ».
Q41. On choisit finalement de se placer sur une « frange sombre » c’est-à-dire telle que le signal continu Pdc soit nul. Indiquer la ou les valeurs de ∆L correspondantes.
En déduire que pour un réglage de « frange sombre » le signal utile δPgrav est proportionnel à h2. En quoi ce résultat permet-il d’élucider le dernier paragraphe du texte ?
A Annexes
A.1 Données numériques :
- Constante de gravitation universelle G= 6,67.10−11m3kg−1s−2
- Masse du Soleil M= 2,0.1030kg
- Rayon du Soleil R = 7,0.108m
- masse d’un nucléon (proton ou neutron) mn = 1,7.10−27kg - rayon d’un nucléon (proton ou neutron) rn= 1,2.10−15m - Vitesse de la lumière dans le vide c= 3,0.108m.s−1
A.2 Caractéristiques d’une ellipse
On a représenté sur le schéma une ellipse de foyerF et de centre O et d’axe principal Ox. On définit les différents paramètres de l’ellipse :
le demi-grand axe : a=OA=OP le demi-petit axe : b=OB
la distance du foyer au centre de l’ellipse : c=OF =OF0
l’excentricité : e=c/aavec 0 ≤e <1 et e= 0 dans le cas particulier du cercle
P le point le plus proche du foyer F est appelé périastre et A le point le plus éloigné du foyer F est appelé apoastre.
A
B
y
x r
F’ O F
q P er
eq ey
ex
Figure 5– Paramètres d’une ellipse
On a les propriétés suivantes :
l’équation en coordonnées polaires de cette ellipse s’écrit r= p
1 +ecosθ (1)
où pest le paramètre de l’ellipse, relié aux demi-grand axe et demi-petit axe par la relation p= b2
a
le demi-grand axe, le demi-petit axe et l’excentricité sont reliés par la relation b =a√
1−e2 l’aire d’une ellipse est
S=πab
A.3 Extrait des programmes de physique-chimie en classe de seconde générale et technologique en vigueur depuis la rentrée 2010 :
Notions et contenus Compétences attendues
Description de l’Univers : l’atome, la Terre, le système solaire, la Galaxie, les autres ga-laxies, exoplanètes et systèmes planétaires extrasolaires.
Propagation rectiligne de la lumière.
Vitesse de la lumière dans le vide et dans l’air.
L’année-lumière.
Savoir que le remplissage de l’espace par la matière est essentiellement lacunaire, aussi bien au niveau de l’atome qu’à l’échelle cos-mique.
Connaître la valeur de la vitesse de la lu-mière dans le vide (ou dans l’air).
Connaître la définition de l’année-lumière et son intérêt.
Expliquer l’expression : «voir loin, c’est voir dans le passé ».
Utiliser les puissances de 10 dans l’évalua-tion des ordres de grandeur.
A.4 Extrait des programmes de physique-chimie en classe de première S en vigueur depuis la rentrée 2011
COMPRENDRE Lois et modèles
Quelles sont les causes physiques à l’œuvre dans l’Univers ? Quelles interactions expliquent à la fois les stabilités et les évolutions physiques et chimiques de la matière ? Quels modèles utilise-t-on pour les décrire ? Quelles énergies leur sont associées ?
Notions et contenus Compétences attendues Cohésion et transformations de la matière
La matière à différentes échelles : du noyau à la galaxie.
Particules élémentaires : électrons, neu-trons, protons.
Charge élémentairee.
Interactions fondamentales : interactions forte et faible, électromagnétique, gravita-tionnelle.
Cohésion du noyau, stabilité. Radioactivité naturelle et artificielle. Activité. Réactions de fission et de fusion.
Lois de conservation dans les réactions nu-cléaires. Équivalence masse-énergie ; défaut de masse.
Réactions nucléaires et aspects énergé-tiques associés.
Connaître les ordres de grandeur des di-mensions des différentes structures des édi-fices organisés.
Connaître l’ordre de grandeur des valeurs des masses d’un nucléon et de l’électron.
Savoir que toute charge électrique peut s’exprimer en fonction de la charge élémen-tairee.
Associer, à chaque édifice organisé, la ou les interactions prédominantes. Utiliser la re-présentation symbolique AZX; définir l’iso-topie et reconnaître des isotopes.
Utiliser les lois de conservation pour écrire l’équation d’une réaction nucléaire. Utili-ser la relationE=mc2.
Ordre de grandeur des énergies mises en jeu dans les réactions nucléaires.
Recueillir et exploiter des informations sur les réactions nucléaires (domaine médi-cal, domaine énergétique, domaine astro-nomique, ...).
A.5 Extrait des programmes de physique-chimie en classe de terminale S en vigueur depuis la rentrée 2012 :
OBSERVER Ondes et matière Les ondes et les particules sont supports d’informations.
Comment les détecte-t-on ? Quelles sont les caractéristiques et les propriétés des ondes ? Comment réaliser et exploiter des spectres pour identifier des atomes et des molécules ? Notions et contenus Compétences exigibles
Ondes et particules Rayonnements dans l’Univers
Absorption de rayonnements par l’atmosphère terrestre.
Extraire et exploiter des informations sur l’absorption de rayonnements par l’atmosphère terrestre et ses
conséquences sur l’observation des sources de rayonnements dans l’Univers.
Connaître des sources de rayonnement radio, infrarouge et ultraviolet.
Caractéristiques et propriétés des ondes Propriétés des ondes
Diffraction. Influence relative de la taille de l’ouverture ou de l’obstacle et de la longueur d’onde sur le phénomène de diffraction.
Savoir que l’importance du phénomène de diffraction est liée au rapport de la longueur d’onde aux dimensions de l’ouverture ou de l’obstacle. Connaître et exploiter la relation θ=λ/a. Identifier les situations physiques où il est pertinent de prendre en compte le phénomène de diffraction.
Cas des ondes lumineuses
monochromatiques, cas de la lumière blanche.
Pratiquer une démarche expérimentale visant à étudier ou utiliser le phénomène de
diffraction dans le cas des ondes lumineuses.
Interférences.
Pratiquer une démarche expérimentale visant à étudier quantitativement le phénomène
d’interférence dans le cas des ondes lumineuses
Effet Doppler.
Mettre en oeuvre une démarche expérimentale pour mesurer une vitesse en utilisant l’effet Doppler. Exploiter l’expression du décalage Doppler de la fréquence dans le cas des faibles vitesses. Utiliser des données spectrales et un logiciel de traitement d’images pour illustrer l’utilisation de l’effet Doppler comme moyen d’investigation en astrophysique.