II - ANALYSE DE LA SÉQUENCE EXTRAITE DE CAP MATHS CP Question 4

La séance 1 (annexe 7)

Pour réussir leur commande les enfants peuvent compter un à un les « boutons »

Académie de Lyon - mai 2004 (sujet page 99) (petits carrés blancs sur le dessin) en les marquant d’une croix afin de rendre plus fiable leur énumération et leur dénombrement (leur disposition spatiale ne privilégie aucun regroupement évident à l’aide de paquets particuliers).

Les élèves peuvent aussi effectuer librement des groupements de « boutons » par 10, ou par 4 ou par 7 ou par 6… puis effectuer une commande en disant par exemple : « Il me faut un paquet de dix boutons, et 13 boutons » ou « 2 paquets de dix et 3 boutons » ou bien « 7 boutons et 6 boutons et encore 6 et encore 4 ».

Notons bien qu’une commande demandant des paquets contenant un nombre de boutons différent de 10 ne peut aboutir vu la règle imposée aux marchands.

Remarque :

Le dessin du ziglotron ne favorise pas la procédure consistant à entourer les paquets de dix carrés au fur et à mesure de leur pointage.

Question 5a

Intérêt des trois premières contraintes (séance 2 de l’annexe 7)

L’apprentissage visé est de « mettre en évidence la signification de chaque chiffre dans l’écriture chiffrée d’un nombre ».

• La première contrainte oblige à effectuer une commande écrite, et non plus orale comme dans la phase précédente, faisant référence à des paquets de 10 et à des unités isolées. Le bon de commande ne permet de commander que des paquets de 10 boutons, ou un nombre au plus égal à 9 de boutons isolés. Il doit indiquer également l’écriture usuelle du nombre total. Ceci devrait permettre de faire découvrir la coïncidence entre le chiffre des dizaines et le nombre de paquets de 10, entre le chiffre des unités et le nombre de boutons isolés ; en juxtaposant l’écriture du nombre total de boutons (exemple : 23), avec le nombre de paquets de dix boutons (ici 2) et le nombre de boutons seuls (ici 3), on favorise la prise de conscience chez l’élève des liens existant entre ces trois écritures.

• La seconde contrainte interdit de formuler une commande telle que 15+13 ou 20 + 2 + 12, ou encore 37 (avec des nombres supérieurs à 10), les seuls groupements de boutons autorisés étant des paquets de 10 ou un nombre de boutons isolés inférieur ou égal à 9. Cela contribue à renforcer la prise de conscience évoquée ci-dessus.

• La troisième contrainte est l’obligation pour les marchands de lire le bon de commande. Une lecture à haute voix permet aux élèves qui l’ont rédigé d’entendre ce qu’ils ont écrit et peut favoriser la découverte de certaines relations ; de plus la simple exécution du bon de commande après lecture amène les marchands à se contenter de donner les paquets de 10 et les boutons isolés demandés sans nécessairement s’assurer que cela est en cohérence avec l’écriture usuelle du nombre. Cela permettra éventuellement ensuite de rendre nécessaire un débat entre les élèves.

Finalement l’objet de ces contraintes est de rendre nécessaire pour tous les élèves

la prise en compte du nombre de paquets de 10 de la collection et l’association chiffre des unités et nombre de boutons isolés.

Question 5b

Intérêt de la quatrième contrainte (séance 2 de l’annexe 7)

Retarder une validation effective, matérielle, va permettre au maître d’effectuer une mise en commun où il s’agira d’analyser et de comparer les différents bons de commande. Sont-ils lisibles ? Respectent-ils les différentes contraintes ? Permettent-ils a priori d’obtenir le nombre convenable de boutons ? Est-il possible d’anticiper sur la validité d’une commande ? Certains élèves prendront-ils alors conscience des similitudes perceptibles entre le nombre de paquets de 10, le nombre d’unités, et l’écriture du nombre lui-même ?

Question 6a

L’enseignant est seul en possession du ziglotron… (séance 3 de l’annexe 7) Les élèves ne disposant plus du matériel (le ziglotron), ils ne peuvent plus dénombrer directement les boutons sur le dessin et ne peuvent plus entourer sur la collection les paquets de dix dont elle se compose ; ils sont incités à lire directement les nombres de paquets de 10 et d’unités dans l’écriture des nombres eux-mêmes.

Question 6b

Trois procédures utilisables (séance 3 de l’annexe 7)

Le nombre 42 est donné. Il s’agit de compléter le bon de commande en respectant les contraintes.

Trois procédures peuvent être choisies parmi les suivantes :

• Dessiner 42 boutons, entourer les paquets de 10 et compléter le bon de commande par : 4 paquets de 10 et deux boutons isolés.

• Traduire l’écriture 42 par 10 10 10 10 2 ou par 10+10+10+10+2 en contrôlant chaque étape de la décomposition puis exploiter cette écriture pour compléter le bon.

• Compter oralement de dix en dix jusqu’à 40 en comptant les « dix » sur leurs doigts, remplir alors la partie du bon de commande concernant les paquets de dix, puis surcompter jusqu’à 42 et compléter le bon de commande.

• Utiliser la procédure attendue en affirmant : « Dans 42, le 4 c’est 4 paquets de 10, et le 2 c’est les boutons tout seuls. »

Question 6c

Lien entre l’apprentissage visé et la réussite de l’élève

Bien que cette dernière phase soit individuelle, la réussite d’un élève doit être considérée avec prudence : Il est possible que l’élève ait perçu ce que le maître attendait de lui (effet de contrat didactique), et que sa réponse soit guidée davantage

Académie de Lyon - mai 2004 (sujet page 99) par cette attente que par une réelle compréhension du mécanisme de la numération.

Il est possible aussi que sa compréhension du problème posé soit fortement liée au contexte de la situation du ziglotron, et qu’il ne fasse pas spontanément une généralisation de cette découverte. Une phase d’institutionnalisation des connaissances, menée par le professeur, est nécessaire, afin d’expliciter et d’identifier clairement ce qui vient d’être « découvert », de transformer cette connaissance en un savoir commun à toute la classe, savoir qui devra être retenu et réutilisé ultérieurement, tâche que l’élève ne serait pas capable de faire seul.