En 1873, Maxwell a généralisé les équations locales des champs électrique et magnétique pour qu’elles soient applicables en régimes variables. La généralisation de ces équations appelée couplage électromagnétique permet de considérer des phénomènes dépendant du temps. On parlera de régimes variables lorsque ces phénomènes varieront de façon importante d’un point de vue temporel. Dans le cas de variations faibles, des approximations pourront être réalisées permettant de simplifier les équations de Maxwell. Ces approximations sont connues sous le nom d’Approximations des Régimes Quasi-Stationnaires (ARQS) et sont détaillées à la fin de cette seconde partie.
II.1.ii.a) Les équations de Maxwell en régimes variables
Comme dit précédemment, en régimes variables, le temps va être pris en compte dans les formules des équations de Maxwell. Dans le but de ne pas alourdir le texte par des équations intermédiaires fastidieuses, seules les principales formules sont intégrées à cette partie.
La première des équations de Maxwell est connue sous le nom d’équation de Maxwell-Faraday et exprime la loi de la force électromotrice (f.é.m) d’induction de Maxwell-Faraday en termes de champs.
La loi de Faraday permet d’exprimer la f.é.m. induite par une variation du flux magnétique pendant un intervalle de temps donné dans un circuit fermé :
𝑒 = −𝑑𝛷𝐵
𝑑𝑡 = − 𝑑
𝑑𝑡∬ 𝐵⃗ . 𝑑𝑆⃗⃗⃗⃗
𝑆
( I I - 1 9 ) avec 𝑒 la force électromotrice (en V) et 𝑑𝛷𝐵 la variation du flux magnétique.
On souhaite maintenant créer un courant (i.e. un déplacement de charges) dans le circuit fermé précédent. Le déplacement des charges est assuré par une différence de potentiel (ddp) maintenue grâce à une f.é.m. Cette f.é.m. peut alors s’exprimer par la relation suivante :
𝑒 = ∮ 𝐹 𝑞. 𝑑𝑙⃗⃗⃗
𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑖𝑡
( I I - 2 0 ) Avec 𝐹 la force exercée sur les particules chargées et 𝑞 la charge des particules portant le courant.
On pourrait penser que cette force correspond à la force électrique de Coulomb décrite précédemment mais cette hypothèse n’est pas envisageable du fait que le champ électrostatique est nul sur un circuit fermé. Cette force responsable de la f.é.m. est en réalité la force dite de Lorentz regroupant la force électrique et la force magnétique, qui équivaut à :
𝐹 = 𝐹⃗⃗⃗ + 𝐹𝑒 ⃗⃗⃗⃗ 𝑚 ( I I - 2 1 ) électromoteur et 𝐸⃗ le champ électrique
D’après les quatre dernières équations on a la relation :
𝑒 = ∮ 𝐸⃗ . Cette relation indique que 𝑒 est égale à la circulation de 𝐸⃗ à travers un circuit fermé.
En utilisant le théorème de Stokes suivant : « La circulation d’un vecteur le long d’un contour fermé (C) limitant une surface (S) est égal au flux de son rotationnel à travers cette surface » traduit par la relation ci-après :
On en déduit la première équation de Maxwell : 𝑒 = ∬ 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸⃗ . 𝑑𝑆⃗⃗⃗⃗
La deuxième équation de Maxwell correspond à l’équation de Maxwell-Ampère.
Le théorème d’Ampère affirme que « l’intégrale curviligne de 𝐵⃗ sur une boucle fermée Γ est égale à 𝜇0 multiplié par le courant total qui traverse une surface quelconque limitée par la boucle fermée », soit :
∮ 𝐵⃗ . 𝑑𝑙⃗⃗⃗ = 𝜇 𝐼 = 𝜇 ∬ 𝑗⃗⃗⃗ . 𝑑𝑆⃗⃗⃗⃗ ( I I - 2 7 )
On considère que le courant total 𝐼𝑇 est égal à la somme de deux courants, un courant lié au mouvement des charges électriques noté 𝐼 et un courant dit de déplacement lié à un champ électrique variable noté 𝐼𝐷 qui caractérise généralement le courant lié au champ électrique variable entre les armatures d’un condensateur. A ces courants sont associés des densités de courant notées respectivement 𝑗⃗⃗⃗ , 𝑗 et 𝑗𝑇 ⃗⃗⃗ tels que : 𝑗𝐷 ⃗⃗⃗ = 𝑗 + 𝑗𝑇 ⃗⃗⃗ . 𝐷
Dans le vide, ces densités de courant sont définies par :
𝑗 = 𝜎𝑑𝑐𝐸⃗ (loi d′ohm) ( I I - 2 8 ) et
𝑗𝐷
⃗⃗⃗ = 𝜕𝐷⃗⃗
𝜕𝑡 = 𝜀0𝜕𝐸⃗
𝜕𝑡 ( I I - 2 9 )
Avec 𝐷⃗⃗ = 𝜀0𝐸⃗ le vecteur induction ou excitation électrique (voir § II.2.ii) et 𝜎𝑑𝑐 la conductivité électrique statique (en courant continu).
En utilisant le théorème de Stokes énoncé précédemment et en combinant les équations (II-27), (II-28 ) et (II- 29), on obtient les égalités suivantes :
∮ 𝐵⃗ . 𝑑𝑙⃗⃗⃗ = ∬ 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵⃗ . 𝑑𝑆⃗⃗⃗⃗
𝑆
= 𝜇0∬(𝑗 +
𝑆 Γ
𝑗𝐷
⃗⃗⃗ ). 𝑑𝑆⃗⃗⃗⃗ ( I I - 3 0 ) Soit :
𝒓𝒐𝒕⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑩⃗⃗ = 𝝁𝟎𝝈𝒅𝒄𝑬⃗⃗ + 𝝁𝟎𝜺𝟎𝝏𝑬⃗⃗
𝝏𝒕 ( I I - 3 1 )
Cette dernière égalité correspond à l’équation de Maxwell-Ampère qui exprime simplement le fait qu’un champ électrique variable crée un champ magnétique.
La troisième équation de Maxwell est appelée équation de Maxwell-Gauss. Cette équation découle du théorème de Gauss qui reste valable en régimes variables à la seule différence que la densité volumique de charge dépend du temps.
On a donc la relation suivante :
𝒅𝒊𝒗𝑬⃗⃗ =𝝆(𝒕)
𝜺𝟎 ( I I - 3 2 )
La quatrième et dernière équation de Maxwell est appelée équation du flux magnétique ou de Maxwell-Thomson. Cette équation traduit le fait que le flux d’un champ magnétique 𝐵⃗ à travers une surface fermée est toujours nul contrairement au flux d’un champ électrique, le flux d’un champ magnétique est alors qualifié de flux conservatif. De la même façon que pour l’équation de Maxwell-Gauss, la relation de Maxwell-Thomson reste la même qu’en régime stationnaire :
𝒅𝒊𝒗𝑩⃗⃗ = 𝟎 ( I I - 3 3 )
En régime variable, une dernière relation peut être prise en compte, il s’agit de la conservation de la charge exprimée par :
𝝏𝝆
𝝏𝒕 = −𝒅𝒊𝒗𝒋 ( I I - 3 4 )
Cette relation traduit le fait que le flux du vecteur densité de courant n’est plus conservatif lorsqu’on passe en régime variable.
Dans certains cas, il est possible de négliger le retard dû à la propagation des champs devant leur période de variation. Cela se manifeste dans les équations de Maxwell par des approximations appelées approximations des régimes quasi-stationnaires (ARQS). Ces approximations permettent alors de faciliter la modélisation numérique des phénomènes électromagnétiques.
II.1.ii.b) Les équations de Maxwell en ARQS
Afin de justifier l’utilisation de l’ARQS, on s’intéresse dans un premier temps au retard lié à la propagation des champs. Dans le vide, le retard est donné par la relation suivante :
𝜏 =𝑟
𝑐 ( I I - 3 5 )
Avec 𝜏 le retard dû à la propagation (en s), 𝑟 la distance à parcourir (en m) et 𝑐 la vitesse de la lumière dans le vide (en m.s-1)
Ce retard doit être très inférieur à la période 𝑇 de variation (ou d’oscillation) des signaux sources :
𝑟
𝑐 = 𝜏 ≪ 𝑇 =𝜆
𝑐 ( I I - 3 6 )
Soit :
𝑟 ≪ 𝜆 ( I I - 3 7 )
Avec 𝜆 la longueur d’onde (en m)
La fréquence industrielle généralement utilisée est celle du secteur, soit 50 Hz ce qui correspond à une longueur d’onde de 6000 km. Dans le cas du procédé en creuset froid, la fréquence du champ alternatif atteint ~300 kHz. La longueur d’onde correspondante est alors réduite à l’ordre du kilomètre mais l’ARQS reste néanmoins applicable à l’échelle du procédé (quelques mètres).
Les équations de Maxwell dans le cadre de l’ARQS s’obtiennent en réécrivant celles obtenues en régimes variables mais en négligeant le terme de courant de déplacement 𝑗⃗⃗⃗ . Cette simplification 𝐷 entraîne une modification de l’équation de Maxwell-Ampère qui devient :
𝒓𝒐𝒕⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑩⃗⃗ = 𝝁𝟎𝒋 ( I I - 3 8 ) On obtient donc la même relation qu’en régime statique. Il en est de même pour les équations de Maxwell-Thomson et de la conservation de la charge :
𝒅𝒊𝒗𝑩⃗⃗ = 𝟎 ( I I - 3 9 )
𝒅𝒊𝒗𝒋 = 𝟎 ( I I - 4 0 )
En revanche, les équations de Maxwell-Gauss et de Maxwell-Faraday restent inchangées par rapport aux régimes variables :
𝒅𝒊𝒗𝑬⃗⃗ = 𝝆
𝜺𝟎 ( I I - 4 1 )
𝒓𝒐𝒕⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑬⃗⃗ = −𝝏𝑩⃗⃗
𝝏𝒕 ( I I - 4 2 )
Le Tableau II-1 permet de résumer l’ensemble des équations de Maxwell et de la conservation de la charge présentées dans le cadre des régimes stationnaires, quasi-stationnaires et variables.
Tableau II-1. Résumé des équations de Maxwell dans le vide en régimes stationnaire, quasi-stationnaire et variable
Matériaux conducteurs, semi-conducteurs et isolants / diélectriques – Réécritures des équations de Maxwell
D’un point de vue électrique, on distingue généralement les matériaux selon leur conductivité. Un matériau présentant une forte conductivité électrique est alors qualifié de conducteur et à l’inverse on parle d’isolant pour un matériau de faible conductivité électrique. C’est
Cette partie a permis de rappeler les équations de Maxwell dans le vide et leur simplification dans le cadre de l’ARQS. Dans le cas d’un matériau quelconque, ces équations vont de nouveau être modifiées, que le matériau soit conducteur, semi-conducteur ou isolant électrique. La prochaine section vise donc à apporter des éléments permettant de distinguer ces classes de matériaux et de conclure sur l’apport de la connaissance de leurs propriétés électriques et diélectriques. Nous verrons que cela se révèle intéressant non seulement pour la caractérisation physico-chimique des matériaux mais également pour les modélisations industrielles et plus particulièrement celle du procédé de vitrification en creuset froid. De plus, l’intervention de ces grandeurs dans les équations de Maxwell permettra de confirmer davantage l’intérêt suscité pour cette étude.
dans ces considérations plutôt expérimentales que réside toute la subtilité de la définition de la conductivité car bien qu’un matériau « isolant » soit faiblement conducteur, des mouvements de charges y sont bien présents. Afin d’apporter des précisions sur l’aspect conducteur ou isolant des matériaux, il est nécessaire d’aborder ces notions en termes d’énergie et d’interaction en recourant à la théorie des bandes qui décrit la conductivité liée au déplacement des électrons, on parle dans ce cas de conductivité électronique. Un autre phénomène de conduction, rencontré couramment dans les liquides, peut se manifester dans certains solides et plus particulièrement dans les verres, il s’agit du déplacement des ions créant ainsi une conductivité ionique. Enfin, les matériaux isolants ou diélectriques sont caractérisés par des mouvements locaux de plus faibles amplitudes des porteurs de charges lorsqu’ils sont placés dans un champ électromagnétique. Ces mouvements locaux correspondent à des orientations préférentielles des entités chargées menant à la polarisation globale des matériaux qui n’est pas une grandeur directement mesurable. On introduit alors un paramètre macroscopique accessible par la mesure telle que la permittivité diélectrique.