Identification paramétrique

Le modèle simplifié déjà évoqué, implanté sous Matlab - Simulink simule la réponse en ten-sion de la pile à combustible pour une sollicitation de courant. Ce modèle présente un ensemble de paramètres qui doivent être estimés soit expérimentalement soit en utilisant certaines valeurs déjà existantes dans de précédentes recherches. Cet ensemble regroupe les paramètres propres à loi de tension, à savoir les différents ξ_i et la résistance interne, R_m, (équations 2.15 et2.17) ainsi que le coefficient K_int relatif à la relation 2.28. Dans les deux cas, ces paramètres sont spécifiques au type de pile à combustible aussi bien qu’aux conditions de fonctionnement. Ainsi, une estimation expérimentale de ces paramètres s’avère nécessaire.

L’identification paramétrique est faite moyennant un ensemble d’essais statiques effectués sur un banc d’essais de 1kW conçu et réalisé au sein du laboratoire FEMTO-ST de Belfort [HFJM03], [HCF⁺05]. La pile utilisée est formée de 20 cellules élémentaires du fabricant allemand ZSW équipée de membranes GORE MESGA Primea série 5510, d’une surface active de 100 cm² et une puissance nominale de 700W. Ces essais sont effectués sous différentes températures variant entre 298K et 323K et différents rapports stoechiométriques cathodiques entre 4 et 6 avec une humidité relative fixe de 100%. Un exemple de ces courbes de polarisation est montré dans la figure2.3. Le tableau2.1résume les différents paramètres mesurés sur le banc d’essais et utilisés dans l’identification.

Chapitre 2. Modélisation des Pertes dans le Groupe Électrogène Hybride à Pile à Combustible 0 10 20 30 14 15 16 17 18 19 courbe de polarisation I(A) U (V )

Fig. 2.3 – Exemple de la courbe expérimentale de polarisation pour la pile de 20 cellules

Rappelons l’équation de la loi de tension déjà présentée dans l’équation 2.18:

U_{P AC} = N_cell· (E + η_act+ η_ohm) (2.30)

Le principe de la méthode d’identification est une régression linéaire multiple par la méthode des moindres carrés [CML06]. Dans une régression multiple, nous cherchons à prédire, avec le plus de précision possible, les valeurs prises par une variable y, dite endogène, à partir d’une série de variables explicatives x1, x2, .., xp. Dans le cas de la régression linéaire multiple, la variable endogène et les variables exogènes sont toutes quantitatives (continues) et le modèle de prédiction est linéaire. En disposant de n observations du système, l’équation de régression s’écrit :

y_i= a₀+ a₁x_i,1+ ... + a_px_i,p i = 1...n (2.31)

Où a₀,..., a_p sont les coefficients du modèle à estimer en exploitant les observations.

La première étape dans la démarche suivie est l’écriture du système sous forme d’un modèle de régression. Dans cette perspective, les pressions partielles de l’oxygène et de l’hydrogène sont exprimées selon les équations simples2.32et2.33en considérant une pression moyenne dans les

2.3. Rendement de la pile à combustible

Tab. 2.1 – Liste de grandeurs mesurées lors des expérimentations

Symbole Description

Vcell Tension d’une cellule (V)

UP AC Tension de la pile (V)

I_{P AC} Courant dans la pile (A)

T_{P AC} Température de pile (K)

F_{air_en} Débit d’air à l’entrée de la pile (l/min)

F_{air_s} Débit d’air à la sortie de la pile (l/min)

F_{H2_en} Débit d’hydrogène à l’entrée (l/min)

F_{H2_s} Débit d’hydrogène à la sortie (l/min)

P_{air_en} Pression d’air à l’entrée de la pile (mbar)

Pair_s Pression d’air à la sortie de la pile (mbar)

PH2_en Pression d’hydrogène à l’entrée (mbar)

PH2_s Pression d’hydrogène à la sortie (mbar)

compartiments anode et cathode de la PAC :

P_O2 = ²¹ 100 Pair_en+ P_{air_s} 2 − P_sat  × 10⁻⁵ (2.32) P_H2 = P_{H2_en}+ P_{H2_s} 2 − P_sat  × 10⁻⁵ (2.33)

La matrice de données utilisée dans la procédure d’identification est formée à partir des différents vecteurs de mesures présentés dans le tableau2.1.

Posons :

W = ^{UP AC}

N_cell ^{− E (2.34)}

Chapitre 2. Modélisation des Pertes dans le Groupe Électrogène Hybride à Pile à Combustible

a = ξ₁+ 498ξ₃ , b = ξ₂− ξ₃ln^5.08 × 10^6 , c = ξ₃ , d = ξ₄ and e = −R_m (2.36)

L’équation de tension s’écrit alors :

W = a + bX + cY + dZ + eR (2.37)

Cette écriture correspond bien à l’équation 2.31en remarquant que le vecteur W représente les variables y_i i = 1, n de même pour les variables explicatives. La méthode des moindres carrés

est ensuite utilisée pour estimer les paramètres du modèle de l’équation 2.37. Cette méthode nécessite la minimisation d’un critère, Π, qui n’est autre que l’erreur quadratique :

Π = n

X

i=1

[W_i− (a + bX_i+ cY_i+ dZ_i+ eR_i)]² (2.38)

Les dérivées partielles de Π dans les directions des paramètres sont ainsi nulles :

∂Π ∂a ⁼ ∂Π ∂b ⁼ ∂Π ∂c ⁼ ∂Π ∂d ⁼ ∂Π ∂e ^{= 0 (2.39)}

On obtient ainsi un système de 5 équations à 5 inconnues dont la résolution nous donne les valeurs des différents paramètres, groupés dans le tableau 2.2. La même procédure est utilisée pour l’estimation de K_int. Un résultat assez satisfaisant est obtenu sur l’ensemble des essais statiques avec une erreur relative moyenne ne dépassant pas les 2% entre la tension mesurée sur la pile et la tension estimée par le modèle.

Tab. 2.2 – Liste des paramètres identifiés du modèle de tension de la pile

ξ₁ ξ₂ ξ₃ ξ₄ R_m(Ω) K_int P a.s².mol⁻²

−1, 2668 9, 7.10⁻³ 4, 4558.10⁻⁴ −8, 763.10⁻⁵ 3, 1.10⁻³ 9, 26.10⁶

Une observation majeure doit être signalée concernant la résistance ohmique. En effet, elle représente globalement la résistance au transfert des protons à travers la membrane de même qu’au transfert des électrons à travers les électrodes et les plaques collectrices. En outre, en tra-vaillant avec de faibles densités de courant, j_{P AC}, comparées aux densités maximales autorisées

2.3. Rendement de la pile à combustible

par le constructeur de pile, j_max, la valeur de la chute de tension de diffusion ou de concentration,

η_con, généralement exprimée par l’équation2.40, peut être approximée par l’équation 2.41 :

η_con = −B · ln  1 −j_{P AC} j_max  (2.40) η_con= Bj_{P AC} j_max ^{= βIP AC (2.41)}

La chute de tension de concentration est ainsi prise en compte dans l’équation de tension dans laquelle le terme β est inclus dans la valeur de la résistance ohmique identifiée, R_m. A noter que d’autres travaux similaires [CFCS04] traitent à part chaque terme de la résistance ohmique ce qui nécessite la connaissance de certaines grandeurs spécifiques au type de membrane utilisée telle sa résistivité ou son épaisseur. Nous avons adopté, en revanche, une approche orientée commande ou, en d’autres termes, un point de vue macroscopique nous permettant d’adapter le modèle à différents types et tailles de piles.