Identification des essais de Treloar

Le second exemple repose sur la comparaison des mod`eles sur un mat´eriau r´eel. Ici, les donn´ees exp´erimentales de Treloar (1944) sont utilis´ees. L’auteur a r´ealis´e une large gamme d’essais prenant en compte diff´erents modes de d´eformation : traction uniaxiale, glissement pur,

tension ´equibiaxiale (par le gonflement d’un ballon) et traction biaxiale (par combinaison de traction et glissement pur).

En utilisant ces donn´ees, les param`etres mat´eriels des trois ´equations du mod`ele sont d´eter- min´es. L’identification est r´ealis´ee sur tous les essais simultan´ement. Les param`etres mat´eriels sont pr´esent´es dans le tableau B.1. Les r´esultats correspondant aux relations contrainte-d´eforma-

mod`ele HS AB G

premier param`etre (MPa) C1 = 0.18 CR= 0.34 E = 1.0

second param`etre C3 = 2.7 10−4 N = 27.9 Jm = 92.0

Tab. B.1 – Valeurs des param`etres mat´eriels.

tion sont pr´esent´es sur la figure B.4. Sur chaque figure, les axes des abscisses et des ordonn´ees correspondent `a la d´eformation et `a la contrainte la plus pertinente pour d´ecrire chaque essai. Les quatre graphes illustrent l’´equivalence entre les trois mod`eles et d´emontrent leur capa-

λ π 1 3 5 7 0 2 4 6 (a) λ π 1 2 3 4 5 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 (b) λ π 1 2 3 4 5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 (c) λ π 0 1 2 3 0 0.5 1 1.5 (d)

Fig. B.4 – Identification des essais de Treloar, (a) traction uniaxiale, (b) glissement pur, (c) trac-

tion ´equibiaxiale, (d) traction biaxiale : (◦) essais, (- - -) mod`ele HS, (—) mod`ele AB, (· · · ) mod`ele G.

cit´e `a d´ecrire correctement les diff´erents ´etats de d´eformation avec seulement deux param`etres mat´eriaux.

V´erifions maintenant la vraisemblance des relations pr´ec´edemment ´etablies sur les param`etres pr´esent´es dans le tableau B.1. Dans le but de simplifier la comparaison, les param`etres du mod`ele G sont pris comme r´ef´erence et les param`etres des mod`eles AB et HS leur sont compar´es :

– Concernant le premier param`etre des mod`eles, on calcule 6C₁ = 1.08 pour le mod`ele HS et 3CR= 1.02 pour le mod`ele AB, comme illustr´e par l’´equation B.12. Ainsi, la diff´erence

maximale entre des donn´ees et E = 1 est de l’ordre de 8%.

– Concernant le second param`etre des mod`eles, soit respectivement J_met N pour les mod`eles G et AB, la relation B.17 est analys´ee, la valeur th´eorique de N est (Jm+ 1)/3 = 31.0. La

diff´erence entre la valeur pr´edite et les r´esultats identifi´es est d’environ 10%.

– Finalement, consid´erons la relation entre J_m et C₃. La relation th´eorique reliant ces pa- ram`etres est donn´ee par l’´equation B.26. Dans le but de calculer k, la borne inf´erieure du domaine de d´eformation αmin doit ˆetre d´etermin´ee. En analysant les r´esultats exp´erimen-

taux de traction uniaxiale illustr´es par la figure B.4(a), la gamme des faibles d´eformations dans laquelle le mod`ele n´eo-Hook´een est suffisant est d´efinie par λ ∈ [1, 4]. Cet intervalle correspond `a I₁ ∈ [3, 16, 5] et l’utilisation de l’´equation B.24 conduit `a α_min ≈ 0, 14. Se-

lon l’´equation B.26, k est d´efini par l’int´egrale de αmin `a 1. N´eanmoins, en consid´erant

que le dernier point de la courbe exp´erimentale correspond `a λmax = 7, 6, i.e. I1 max =

58, 0, la borne sup´erieure de l’int´egrale n’est pas ´egale `a 1, mais doit ˆetre remplac´ee par

αmax = (I1 max− 3)/Jm ≈ 0, 6. En fait, il est impossible d’atteindre exp´erimentalement

la limite d’extensibilit´e des chaˆınes puisque le mat´eriau rompt `a des d´eformations plus faibles. Finalement, la valeur th´eorique de k est donn´ee par :

k = 1 0, 6 − 0, 14 Z _0,6 0,14 1 α2 WL µ α 2(1 − α)2 ¶ dα ' 2, 69 (B.28)

Il faut noter que cette valeur n’est pas contenue dans le domaine donn´e par l’´equation B.27. En utilisant le r´esultat de l’´equation B.3, le second param`etre du mod`ele HS, C₃, doit ˆetre ´egal `a 3, 18 10−4_{. La comparaison de cette valeur aux r´esultats identifi´es donn´es}

par le tableau B.1 m`enent `a un ´ecart de 15%. A la vue de ces diff´erences obtenues entre les r´esultats th´eoriques et identifi´es, les d´eveloppements pr´ec´edents sont valid´es. L’´equivalence entre les densit´es d’´energie hyper´elastiques est ainsi valid´ee.

B. 5

Conclusion

Cette ´etude montre l’´equivalence entre les trois mod`eles hyper´elastiques HS, G et AB. Ici, seulement la partie d´ependant de I1 a ´et´e consid´er´ee. Comme propos´ee par Meissner et Matejka

(2001), la validit´e de ces trois approches pour les d´eformations mod´er´ees peut ˆetre am´elior´ee sous certaines restrictions en ajoutant une fonction de I2 `a W (tout cela avec beaucoup de

un terme en I2. Le mod`ele HS pr´esente de grands avantages d’un point de vue implantation

num´erique (cf. chapitre IV) puisqu’il est formul´e en terme d’invariants et que son comportement `a fortes d´eformations est gouvern´e par une fonction exponentielle croissante, ainsi sa tangente est toujours d´efinie. De plus, l’´equivalence d´emontr´ee ici, simplifie l’identification des param`etres mat´eriels puisque les param`etres du mod`ele HS peuvent maintenant ˆetre reli´es `a des concepts physiques.

C. 1

Introduction

Le chapitre I a permis de mettre en ´evidence les diff´erentes caract´eristiques du comporte- ment des ´elastom`eres. Il apparaˆıt qu’elles peuvent ˆetre ´etudi´ees ind´ependamment les unes des autres. Cette annexe se focalise sur deux ph´enom`enes : l’effet Mullins (perte de raideur entre la premi`ere et seconde charge) et l’hyst´er´esis (trajets diff´erents entre la charge et la d´echarge). La mod´elisation de l’effet Mullins a ´et´e d´evelopp´ee dans le chapitre III et diff´erentes formes de loi ont ´et´e d´etermin´ees. La proposition d’une mod´elisation de l’hyst´er´esis s’appuye sur les r´esultats de la bibliographie. Un choix de mod`ele pour l’effet Mullins et l’hyst´er´esis est r´ealis´e. Puis, une mod´elisation globale fond´ee sur des concepts macromol´eculaires est pr´esent´ee. Finalement les simulations du mod`ele sont compar´ees aux r´esultats exp´erimentaux.