Identification

Démarche adoptée

L’identification du modèle est réalisée à partir des courbes pseudo expérimentales gé- nérées afin de disposer d’une base de données de réponses virtuelles. Il s’agit d’essais de tractions et de cisaillements cycliques simulés avec le Modèle 1 au niveau du point d’in- tégration. Le chargement cyclique permet de solliciter l’aspect endommagement du modèle tandis que les différentes vitesses de sollicitations, de 10−3 _{à 10}3 _s−1_{, font travailler la}

nature viscoplastique du modèle et les paramètres dépendant à ˙ǫe.

Les paramètres du modèle sont identifiés au niveau local du point d’intégration exceptés α et τ. Ceux-ci sont tout d’abord estimés à partir de l’équation 2.14établie dans[Allix et al.,

2003].

La rupture des composites étant de nature fragile, il est décidé de fixer le paramètre α à 1000 dans un premier temps (α1 = α2 = α12 = 1000). De plus, dans les calculs effec-

tués, l’épaisseur du pli est de 0,1 mm. Au regard des remarques précédentes, ces valeurs conduisent à prendre une longueur caractéristique lc = 0, 1 mm. Connaissant E1, E2,

G12 et ρ, il devient très simple de calculer les paramètres τ du modèle, paramètres qui

définissent la vitesse maximale d’endommagement. Les résultats rassemblés entableau 2.2 sont obtenus avec ρ = 1,9 10−9 _{T mm}−3_.

Détermination du paramètre τ

Module d’élasticité Vitesse d’onde τ Sens des fibres 30780 MPa 4025 m s−1 _{25 µs}

Cisaillement 6400 MPa 2600 m s−1 _{38 µs}

Tab. 2.2 – Détermination de la vitesse maximale d’endommagement 1/τi (i = 1, 2, 12)

Pour le reste des paramètres, l’identification est faite par minimisation d’une fonction coût Γ. Celle-ci est définie comme étant l’erreur en contrainte au sens des moindres carrés entre les données pseudo expérimentales d’entrée et la réponse du modèle sollicité avec la consigne de déformation pseudo expérimentale. Mathématiquement, la fonction coût s’écrit : Γ = n X i=1  σxp_{i − σ}th_i (Ω)T k_i σxp_{i − σ}th_i (Ω) (2.24) avec n le nombre de courbes d’essais sur lesquelles porte l’identification ; Ω le vecteur des paramètres du modèle ; k_i une matrice diagonale de coefficients de pondération ; enfin σxp i

et σth

i (Ω) les vecteurs des contraintes de Cauchy expérimentales et théoriques relatifs à

l’essai i et au jeu de paramètres Ω. Des contraintes linéaires et découplées portant sur le vecteur Ω sont introduites pour définir l’espace admissible des paramètres :

 bi;inf− Ωi ≤ 0

Ωi− bi;sup ≤ 0 (2.25)

En pratique l’identification est réalisée en deux phases, l’une pour le comportement dans la direction des fibres, l’autre pour le comportement de cisaillement. L’optimisation est réalisée à l’aide d’un algorithme de recherche directe disponible dans le logiciel Matlab

[Matlab, 2007]. Son fonctionnement est expliqué succinctement enalgorithme 3.

Cet algorithme d’optimisation, sans calcul explicite de gradient comme c’est le cas avec les méthodes de descente classique, a été choisi pour sa simplicité de mise en œuvre ; pour sa robustesse : en cas de jeu de paramètres conduisant à un coût imaginaire, le calcul se

Entrées : Vecteur initial des paramètres Ω0

Sorties: Vecteur résultat Ωk

Initialisation:

k = j = 0, calcul de la fonction coût Γk associée à Ωk

Choix d’une direction de recherche rk _{(vecteur unitaire de l’espace de paramètres}

choisi arbitrairement)

Choix d’une amplitude recherche ak_{A (a}k _{est un réel et A est une matrice diagonale}

qui permet de pondérer l’amplitude de recherche à la plage admissible de chacun des paramètres)

Recherche directe:

tant que Γk_{> tol et j < niterm faire}

Translation dans l’espace des paramètres, Ωk+1 _{= Ω}k_{+ a}k_{A r}k

Évaluation du nouveau coût Γk+1

si Γk+1_{< Γ}k _alors

Phase d’extension :

Augmentation de l’amplitude de recherche ak+1_{> a}k

Conservation de la direction de recherche rk+1 _{= r}k

k = k + 1, j = j + 1, calcul de Ωk et de sa fonction coût Γk associée sinon

Conservation de l’amplitude de recherche ak+1 _{= a}k

Phase de changement de direction-contraction :

pour Un nombre fini de fois faire

1. Changement de la direction de recherche rk+1_{6= r}k _{selon des règles}

empiriques

2. Calcul de Ωk+1 _{et de sa fonction coût Γ}k+1 _associée

si Γk+1_{< Γ}k _alors

k = k + 1, j = j + 1, sortir de la boucle fin

fin

si Γk+1_{> Γ}k _alors

Contraction de l’amplitude de recherche ak+1_{< a}k

Réinitialisation de la direction de recherche rk+1 _{= r}k

Retour à l’étape 1. fin

fin fin

poursuit simplement dans une autre direction ; et pour sa capacité à traiter de nombreux paramètres [Lewis et al., 2000]. Avec cette méthode, il n’existe par contre absolument au- cune garantie de converger vers un optimum global. Pour ces travaux, le jeu de paramètres résultats est condidéré comme acceptable sous les conditions suivantes :

– l’erreur obtenue pour Γ est faible, i.e. le modèle reproduit fidèlement les mesures expérimentales ;

– le modèle d’intégration se comporte correctement : nombre d’itérations à convergence satisfaisant ;

– l’ordre de grandeur des paramètres est “physiquement acceptable”. Résultats obtenus

L’approche pragmatique adoptée donne des résultats très satisfaisants qui sont sans doute la conséquence d’un avantage très fort : le vecteur initial des paramètres n’est pas choisi au hasard, il s’agit du vecteur des paramètres du Modèle 1. Avec cette connais- sance il est possible de restreindre très rapidement l’espace de recherche des paramètres et d’arriver à un résultat plus que satisfaisant comme le démontre les figures 2.15et 2.16.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0 200 400 600 800 1000 1200 D´eformation ǫ11(-) C on tr ai n te σ1 1 (M P a) ˙ǫe= 10−3_s−1_{- NUM} ˙ǫe= 100s−1- NUM ˙ǫe= 103s−1- NUM ˙ǫe= 10−3s−1- XP ˙ǫe= 100s−1- XP ˙ǫe= 103s−1- XP

Fig.2.15 – Courbes de réponses pseudo expérimentales et courbes numériques Modèle 2 - traction [0]

Ces courbes sont obtenues avec le jeu de paramètres référencé en tableau 2.3.

Au vue de la qualité de l’identification, il apparaît que l’introduction de la viscoplasti- cité, de l’endommagement à effet retard et de la méthode d’intégration couplée proposée en cisaillement sont des choix pertinents.

Le modèle étant maintenant identifié au niveau local, il reste à tester sa bonne intégration au code de calcul par éléments finis Abaqus, module Explicit, et à affiner les valeurs des paramètres qui pilotent la rupture, les paramètres α et τ du modèle d’endommagement à effet retard.