Identification en boucle fermée

Il n’est pas toujours possible de se placer dans un contexte d’identification en boucle ouverte (l’entrée du système est indépendante de sa sortie), c’est typiquement le cas lorsque le système en boucle ouverte est instable ou quand un régulateur existe et que l’ajustement de ce dernier est désiré. C’est précisément le cas ici puisque le système de chauffage qui joue le rôle de régulateur permet d’assurer le respect de la consigne de température.

La boucle de rétroaction prend en entrée une mesure de la sortie y qui est bruitée. Afin de montrer l’influence du bouclage, on se place dans le contexte de minimisation de l’erreur de prédiction :

y(t) = G(q−1)u(t) + H(q−1)e(t)

avec cette fois : u(t) = r(t) − F(q−1)y(t), en notant S(q−1, θ ) = _1+G(q−11_)F(q−1₎ la sortie y s’ex-

prime en fonction des entrées indépendantes r et v de la manière suivante :

y(t) = G(q−1)S(q−1)r(t) + S(q−1)v(t)

v étant le bruit additif sur la sortie du système en boucle ouverte : v = H(q−1)e(t) comme

l’illustre la figure 3.8. La dépendance des fonctions des transferts en les paramètres a été omise pour alléger les notations.

De même la commande u s’exprime en fonction de r et v : u(t) = S(q−1)r(t)−F(q−1)S(q−1)v(t),

on en déduit son spectre :

Φu(w) =  S(eiw) 2 Φr(w) +  F(eiw) 2 S(eiw) 2 Φv(w)

Il est clair que dans le cas où l’action du régulateur n’est pas nulle, il y a corrélation entre l’entrée et le bruit qui n’est pas mesurable (ces résultats ont été établis par Akaike [1]). Cette

G H e u + _y + v F - + r Système en BO

FIGURE3.8: Modèle en boucle fermée

corrélation résulte typiquement en un biais sur l’estimation, celui-ci a fait l’objet de plusieurs études qui visent à le transformer pour servir le but de synthèse de régulateur (voir Van Den Hof et Schrama [30] par exemple).

L’identification des paramètres inconnus en boucle fermée passe par le choix du système ou sous système à identifier. Plusieurs cas de figures existent en fonction de l’information disponible sur le régulateur F :

1. Aucune connaissance n’est disponible pour le régulateur, dans ce cas la rétroaction est ignorée et une approche boucle ouverte ne prenant pas en compte le signal de référence r, même s’il est connu, peut être menée. On peut par exemple appliquer la méthode de l’erreur de prédiction au système asservi en ne considérant que u et y, et plus généralement toutes les méthodes d’identification en boucle ouverte à condition de bien choisir les séquences de données ou de les filtrer le cas échéant (voir Landau [37]). C’est l’approche directe.

2. Le régulateur ainsi que le signal de commande sont connus : on identifie d’abord la boucle fermée en prenant le système global ayant pour entrée r et pour sortie y, plusieurs algo- rithmes spécifiques de l’identification en boucle fermée peuvent être utilisés (voir à titre d’exemple Landau [37]). Dans un deuxième temps, on détermine les paramètres du sys- tème en boucle ouverte en se basant sur les estimations de la boucle fermée. Il s’agit dans ce cas de l’approche indirecte.

3. Le régulateur est inconnu mais de structure connue, dans ce cas on prend u et y comme sorties d’un système d’entrée r. Plusieurs méthodes permettent ensuite de retrouver les paramètres de la boucle ouverte. C’est l’approche jointe entrée-sortie.

L’étude détaillée de ces approches dans le contexte de minimisation de l’erreur de prédiction a fait l’objet des travaux de thèse de Forssell [17]. Les principaux enseignements qui en découlent sont :

ä Si le but de la régulation est de stabiliser le système, c’est à dire de diminuer sa sensibilité par rapport aux fréquences présentes dans les perturbations, cette propriété contribue fortement à la dégradation de l’informativité des données surtout en ces fréquences.

ä Plusieurs méthodes utilisées pour l’identification de systèmes opérant en boucle ouverte comme les méthodes spectrales, la variable instrumentale et les méthodes à erreur de sortie donnent des résultats médiocres si elles sont appliquées à l’approche directe avec un modèle de bruit (par rapport au système réel) incorrect.

ä L’approche indirecte est performante mais risque de donner de très mauvais résultats (plus mauvais que ceux de l’approche directe) si le modèle du régulateur, qui est supposé connu, n’est pas bon.

Synthèse

Dans ce chapitre, nous avons présenté la procédure d’identification en mettant le trait sur les étapes préliminaires de choix de la séquence des données et de la structure du modèle à identi- fier.

Les paramètres de ce modèle, de structure fixée, sont estimés par rapport à la capacité de celui-ci à prédire le comportement du système réel. Mais pour que la solution du problème d’estima- tion correspondant soit unique il faut vérifier deux propriétés : l’identifiabilité de la structure et l’informativité des données. Pour statuer sur le caractère identifiable/non identifiable de la struc- ture considérée, nous avons introduit les outils théoriques d’étude de l’identifiabilité. Quant à l’adéquation entre la complexité de la structure et de la richesse des données, qui conditionne la qualité de l’estimation, nous avons présentés quelques outils qui permettent de quantifier la précision sur les paramètres estimés.

Par ailleurs, la complexité du problème de l’identification est augmentée quand le système est multi-entrées ou en boucle fermée. C’est à ce titre que nous avons présenté une synthèse de travaux antérieurs décrivant les considérations à prendre en compte pour identifier ces familles de structures.

Chapitre 4

Application d’une approche classique

d’identification au modèle global

Ce chapitre est dédié à l’application de méthodes classiques d’identification à une structure de modèle linéaire du bâtiment. Le modèle considéré est le modèle R3C2, asservi en température par un régulateur PI. La première partie du chapitre est consacrée au positionnement de la pro- blématique d’identification du comportement thermique du bâtiment par rapport aux approches classiques d’identification. Dans un deuxième temps, nous présentons l’algorithme d’identifi- cation qui se base sur la méthode à erreur de prédiction pour des structures boites grises à erreur de sortie et d’innovation.

Dans la troisième partie, nous présentons les résultats de l’identification ainsi que l’évaluation de la structure d’un point de vue identifiabilité et informativité des sollicitations.

4.1

Cadre général de l’estimation paramétrique du bâtiment

Le principe général et les étapes de la procédure d’identification ont été présentés au chapitre précédent. On se propose ici de se focaliser sur le calcul ou détermination du modèle identifié. La figure 4.1 montre les sous-étapes qui permettent de mener à bien cette démarche à savoir :

Invalidation

Structure Critère

Détermination du modèle

1. Une structure incluant la dynamique du système et celle du bruit qui traduit les incerti- tudes

2. Un critère de sélection qui permet de choisir, dans la classe déjà fixée par le choix de la structure, le modèle dont la dynamique explique le mieux les informations contenues dans les signaux.

3. Un algorithme qui permet de minimiser ce critère pour obtenir un jeu de valeurs numé- riques optimales des paramètres.

Ainsi pour mener une estimation paramétrique dans le cas de la thermique du bâtiment, nous nous proposons d’abord de choisir une représentation de la structure (entrée, sortie, état) adaptée au système global « bâtiment + régulateur ». Cette structure est ensuite complétée par le choix de la dynamique du bruit. Enfin, nous décrirons brièvement l’algorithme utilisé pour minimiser le critère sachant que nous nous plaçons dans le cadre de minimisation de l’erreur de prédiction.