Commande sans modèle
5.2 Idées développées
5.2.1 Formulation du problème
Comme dans le reste de ce mémoire, Γ désigne un ensemble d’index, mais si nous nous intéressons toujours à des systèmes à commutation non linéaires, cette fois–ci, nos champs de vecteurs peuvent être non autonomes et nous prenons également en considération la sortie du système. On obtient alors la représentation suivante :
˙x = fσ(t)(t, x, u, d), (5.3)
y = hσ(t)(t, x), (5.4)
dans laquelle σ(t) est la loi de commutation, u ∈ R est l’entrée de notre système, y ∈ R la sortie mesurée, d représente des perturbations éventuelles et x ∈ Rnσ(t) est le vecteur d’état qui appartient à un espace vectoriel de dimension variable5, nσ(t).
Plus précisément, on suppose que notre système à commutation est obtenu à partir d’une description physique du système qu’il représente, et que par conséquent, on peut le réécrire sous la forme entrée/sortie suivante :
0 = fσ(t)(t, y, ˙y, . . . , y(pσ(t)), u, . . . , u(mσ(t)), d). (5.5) Dans ce chapitre, nous ne faisons pas l’hypothèse que l’origine de chacun des sous– systèmes 0 = fσ(t)(t, 0, 0, . . . , 0, u, . . . , u(mσ(t)), d) est asymptotiquement stable. En revanche, on suppose que ces sous–systèmes sont à minimum de phase6, et qu’il existe un temps minimum d’activation fini : Tact
min, ce qui signifie qu’un sous–systèmes est actif pendant un temps au moins égal à Tact
min. Ici, seule la sortie est mesurée, et cette dernière peut être éventuellement bruitée. Le problème que nous fixons alors est d’assurer un suivi de trajectoire, qui dans ces conditions n’a
5C’est parce que l’on prend en considération la sortie que l’on peut se permettre d’avoir un état qui évolue dans un espace de dimension variable.
6Pour un système linéaire, les zéros sont tous stables. Pour un système non linéaire, la dynamique résiduelle en entrée est stable ; pour plus de détails, consulter [Richard, 2002].
jamais pu être traité par des méthodes conventionnelles : en effet, le signal de commutation est inconnu, et chacun des sous-systèmes peut être complexe (non linéaire, instables, à paramètres lentement variables, . . . ). En outre, la dynamique exacte des sous-systèmes n’est pas requise. Nous allons maintenant voir comment un tel problème peut être traité. On commence dans le paragraphe suivant à expliciter un peu plus la procédure pour construire un contrôle adéquat.
5.2.2 Procédure de construction du contrôle
Nous avons évoqué l’absence totale de connaissance des champs de vecteurs qui composent notre modèle. Modulons quelque peu notre propos, en faisant l’hypothèse suivante :
Hypothèse 5.2.1. Pour toutes les équations différentielles de notre système à commutation, il existe un entier p ∈ {1, . . . , mini∈I(pi)}, tel que, au moins localement, on vérifie la relation suivante :
y(p) = aσ(t)(.) + bσ(t)(.)u, (5.6)
dans laquelle, les fonctions aσ(t)(.) et bσ(t)(.) dépendent des variables (t, y, . . . , y(pσ(t)), u, . . . , u(mσ(t)), d).
A partir de cette hypothèse, il est clair que si l’on peut disposer des estimations rapides de aσ(t) et de bσ(t), alors le problème de suivi de trajectoire peut être résolu en utilisant la loi de commande (5.2) [Bourdais et al., 2007a].
Pour valider notre approche, il reste alors à vérifier les points suivants :
1) Il existe une classe assez « large » de systèmes à commutation qui vérifient l’hypothèse 5.2.1, ce que nous verrons dans la sous-section 5.4.1).
2) On dispose d’estimations en temps réel « correctes » des dérivées de notre signal bruité, ce que nous étudierons dans la partie 5.3.1.
3) On dispose également d’estimations en temps réel « correctes » de aσ(t) et de bσ(t), en utilisant uniquement notre sortie bruitée et notre entrée, ce que nous présenterons dans la section 5.3.2,
4) Notre système en boucle fermée vérifie bien les conditions de la stabilité pratique, uni-formément par rapport à l’ensemble des signaux de commutation, ce que la section 5.4.3 développe.
Avant d’entrer dans le vif du sujet, nous proposons d’illustrer quelque peu la méthode développée par un exemple pratique d’étude.
5.2.3 Un premier exemple
On va s’intéresser ici au problème de régulation en vitesse d’une voiture munie d’une boîte de vitesse manuelle. On considère alors le modèle simplifié des dynamiques de la voi-ture [Brockett, 1993], que l’on représente par l’équation suivante :
˙v =−βv
2
M sgn(v)− g sin(α(t)) + T (i)
M u, (5.7)
dans laquelle v est la sortie de notre système en l’occurrence, la vitesse, M la masse du véhicule, α(t) l’inclinaison de la route et T (i) est le couple moteur, qui dépend évidemment du rapport de la boîte de vitesse choisi i ∈ {1, 2, 3, 4, 5}.
Remarquons que dans la pratique, les coefficients a(.) = −βv2
M sgn(v)− g sin(α(t)) ne sont pas connus parfaitement, car β et M évoluent suivant la configuration de la voiture : bagages, charges supplémentaires, et certains paramètres qui évoluent lors du déplacement : α(t) dépend de la route. De plus, b(.) = T (i)M change de valeur en fonction de la vitesse sélectionnée par le conducteur.
Supposons maintenant que l’on dispose d’une estimation de a(.) et de b(.), le problème que l’on se pose ici est de construire une loi de commande telle que la vitesse du système, v, suive une trajectoire de référence notée vref. On peut rapidement remarquer que notre système est plat7 pour la sortie y = v. De ce fait, on peut alors définir une trajectoire planifiée vref qui sera suivie par la sortie du système. Supposons que sur une fenêtre temporelle, on puisse écrire nos estimations de paramètre sous la forme ˙y = a0+ b0u, ce qui est possible si la fenêtre est suffisamment petite et si notre sortie y = v est suffisamment lisse. Maintenant regardons la sortie mesurée y : si l’on peut obtenir des estimations rapides de ˙y = ˙v et de b0, il suffit alors d’appliquer le contrôle échantillonné suivant8
u((k + 1)Ts) =− kpey+ ki R
ey
− (([ ˙v]estim− ˙vref)− b0estimu(kTs))
b0estim ,
7On peut exprimer les variables d’état et la commande en fonction de la sortie et de ses dérivées. Pour plus de détails, le lecteur pourra consulter [Sira-Ramírez et Agrawal, 2004].
8Il s’agit ici de la version échantillonnée du contrôle (5.2), vu que [ ˙v]estim− b0estimu(kTs)
≈ a0estim dès
que Ts est suffisamment petit par rapport aux variations de a(.) et de b(.), qui sont ici approximées par les constantes constants (a0estim, b0estim) sur une fenêtre glissante de longueur Tfen : Tfen>> Ts.