Como visto na seção anterior a escolha do parâmetro 𝑄 influencia em como a componente longitudinal do campo 𝐸𝑧 vai contribuir no campo total. Buscando estudar como os padrões
variam de acordo com o valor de 𝑄 empregado foram realizadas simulações com pares de 𝑄𝑠 que variassem em paraxialidade.
Todos os padrões de intensidade foram realizados utilizando dois feixes de luz em sequência, ocupando um intervalo total de aproximadamente 20 𝜇m. A 𝐹 (𝑧) escolhida é dada novamente pela supergaussiana (4.47) multiplicada por 𝑒𝑖𝑄𝑧, cujos valores de 𝑄 são diferentes para cada feixe e cada simulação. Os valores adotados de 𝑧(1,2) são 𝑧1 = 2.5 𝜇m e 𝑧2 = 12.2 𝜇m
e os de 𝑍(1,2) = 5 𝜇m. Os resultados principais da componente transversal do campo elétrico,
calculadas a partir da equação (4.44), estão representados como cortes longitudinais na Figura 28.
Capítulo 4. Feixes tipo “LEGO”: Método de superposições contínuas 62
(a) 𝑄1= 0.94𝜔𝑐0 e 𝑄2= 0.95𝜔𝑐0 (b) 𝑄1= 0.89𝜔𝑐0 e 𝑄2= 0.95𝜔𝑐0
(c) 𝑄1= 0.85𝜔𝑐0 e 𝑄2= 0.89𝜔𝑐0 (d) 𝑄1= 0.80𝜔𝑐0 e 𝑄2= 0.81𝜔𝑐0
Figura 28 – Componente 𝐸𝑥 de feixes tipo “LEGO” de ordem 1 com pares de parâmetros 𝑄
diferentes.
menos paraxiais. Valores de 𝑄 muito não paraxiais (𝑄 < 0.8) foram evitados para que a contribuição da componente 𝐸𝑧 fosse reduzida. A princípio, é possível verificar que o feixe
tende a ir se concentrando cada vez mais transversalmente, a medida que a paraxialidade diminui.
A Figura 28b apresenta intensidade diferente em relação aos outros feixes. Todos os padrões deveriam apresentar a mesma intensidade já que utilizaram a mesma supergaussiana como perfil escolhido para |𝐹 (𝑧)|2. Para que as simulações fossem realizadas, o final da primeira FW foi sobreposto ao início da segunda na tentativa de reduzir a interferência entre os dois feixes, e gerar uma estrutura sem falhas. Na Figura 29 são apresentadas as duas FWs separadamente. A propagação de cada FW está com intensidade correta no intervalo especificado quando estão separadas, mas a união destes dois feixes causa repulsão na região da junção, já que a interferência, neste caso, criou um pico de intensidade alto na junção entre os feixes deixando o padrão irregular. Portanto, é necessário avaliar tanto a variação de 𝑄, como a ordem da função de Bessel, intervalo e interferência na junção separadamente para poder construir estruturas com o padrão de intensidade desejada.
Ao compararmos a Figura 28a (mais paraxial) com a Figura 28d (menos paraxial), percebe-se que existe muito mais oscilação em 28a. A razão pela qual isso acontece está
Capítulo 4. Feixes tipo “LEGO”: Método de superposições contínuas 63
(a) FW 1 da Figura 28b. (b) FW 2 da Figura 28b.
Figura 29 – Feixes apresentados separadamente do feixe tipo “LEGO” da Figura 28b.
relacionada com os espectros utilizados para construir esses padrões. Na Figura 30 estão apresentados os espectros de 28a e 28d respectivamente. Na Figuras 30a e 30b nota-se que uma parte do espectro está sendo cortada, e isto ocorre porque os valores do parâmetro 𝑄 são muito altos fazendo com que o espectro fique muito próximo do valor limite de 𝜔𝑐, portanto, uma parte dos valores de 𝑘𝑧 são desconsiderados. Esta situação não é a ideal, pois, ao perder
valores de 𝑘𝑧 se perde termos na série do espectro o que gera um padrão de intensidade mais
oscilante e ondas propagantes no sentido negativo de 𝑧. É importante salientar que apesar de existirem valores de 𝑘𝑧 negativos em 30a e 30b, eles são considerados menos significativos
comparados com os valores de 𝑘𝑧 > 0, já que a maior porção do espectro é positiva.
O intuito da técnica é reduzir à zero qualquer valor negativo em 𝑆(𝑘𝑧) e uma das
formas de se trabalhar com valores de 𝑄 altos (mais paraxiais) é aumentar o tamanho do intervalo de propagação de 𝐹 (𝑧) gerando um espectro 𝑆(𝑘𝑧) mais estreito com maior probabi-
lidade de estar inteiro dentro do intervalo 0 ≤ 𝑘𝑧 ≤ 𝜔𝑐. Portanto, foi realizada uma simulação
(ver Fig. 31) onde o intervalo da segunda FW da Figura 28a foi aumentado de 10 𝜇𝑚 para 20 𝜇𝑚 e é possível verificar a diminuição da oscilação na Figura 31a e o deslocamento do espectro em 31b. Nota-se que o espectro 𝑆(𝑘𝑧) ficou bem mais estreito que em 30b o que
aumenta a quantidade de termos em sua superposição, neste caso, o aumento foi de 𝑁 = 51 para 𝑁 = 101 e é por isso que o padrão apresenta menos oscilações em sua distribuição de intensidade.
Para a componente longitudinal do campo elétrico 𝐸𝑧 é apresentado um resultado represen-
tativo (ver Fig. 32) relacionado à Figura 28d escolhido por ser a estrutura mais não paraxial. Percebe-se que o formato da estrutura além de não possuir simetria azimutal também possui intensidade em 𝜌 = 0. Como foi demonstrado na seção 4.3.2 a função de Bessel da super- posição contínua da componente transversal 𝐸𝑥 sofrerá uma derivação devido ao operador
Capítulo 4. Feixes tipo “LEGO”: Método de superposições contínuas 64
(a) Espectro de FW 1 da Figura 28a. (b) Espectro de FW 2 da Figura 28a.
(c) Espectro de FW 1 da Figura 28d. (d) Espectro de FW 2 da Figura 28d.
Figura 30 – Espectros dos feixes 1 e 2 das Figuras 28a e 28d.
(a) Padrão refeito da Figura 28a. (b) Espectro correspondente à segunda FW da Figura 28a.
Figura 31 – Figura representando (a) o novo padrão de intensidade do campo 𝐸𝑥 e (b) o
espectro deslocado da Figura 28a.
da equação (4.15), e assumirá ordem 1, e a partir desta equação de ordem 1 será obtida a equação de 𝐸𝑧 (4.46) que possui também uma derivada em 𝜌 por causa da Lei de Gauss. Ao
se derivar uma função de Bessel, ela apresenta a seguinte propriedade [20]
2 𝑑
Capítulo 4. Feixes tipo “LEGO”: Método de superposições contínuas 65
No caso da ordem 1, gera-se uma Bessel de ordem 0 e uma de ordem 2, o que pode ser verificado na Figura 32, que possui um feixe externo de ordem 2 e concentração de campo interna de ordem 0. Além disso, existe distorção do padrão, e a estrutura perde simetria azimutal (ver Fig. 32b).
(a) Corte longitudinal superior. (b) Corte transversal.
Figura 32 – Cortes da componente 𝐸𝑧 relacionada com 𝐸𝑥 da Figura 28d.
Finalmente na Figura 33 é possível ver os padrões 3D dos feixes tipo “LEGO” simula- dos em regiões micrométricas. As Figuras 33a e 33b não apresentam a estrutura esperada dos cilindros desejados ao se desenvolver a técnica, porque não possuem boa definição transver- salmente, sendo levemente arredondados. Já as Figuras 33c e 33d estão mais próximas do que se espera do método, porém os valores de 𝑄, que neste caso são de 𝑄1 = 0.85𝜔0𝑐 e 𝑄2 = 0.89𝜔0𝑐
e 𝑄1 = 0.80𝜔0𝑐 e 𝑄2 = 0.81𝜔0𝑐 , respectivamente, estão muito próximos gerando raios de ci-
lindro com o mínimo de variação. Assim, os pares de raios são dados por 𝑟1 ≈ 0.30 𝜇m e
𝑟2 ≈ 0.35 𝜇m e 𝑟1 ≈ 0.268 𝜇m e 𝑟2 ≈ 0.274 𝜇m respectivamente, o que não é interessante,
porque idealmente deseja-se mais controle sobre o modelamento do padrão de intensidade transversal. Na Figura 34 estão apresentados cortes realizados em 𝑧 = 3.7 𝜇m para todos os padrões totais da Figura 33. A primeira conclusão seria de que os feixes mantiveram suas formas cilíndricas e apresentam padrão de feixe de Bessel de ordem superior (especificamente ordem 1) ao final da simulação, sendo possível notar que, neste caso, a escolha dos 𝑄s não gerou muita contribuição de 𝐸𝑧 no padrão final o que possibilita simetria azimutal, não apre-
sentando campo no centro dos cilindros e, de acordo com o aumento da não paraxialidade, o raio do cilindro se torna cada vez menor, já que para 𝑄s menores, raios menores são gerados. Muitas outras simulações foram conduzidas a fim de encontrar um padrão satisfatório que (i) evitasse ao máximo a contribuição de 𝐸𝑧, ou seja, valores de 𝑄 mais paraxiais e (ii)
que gerasse padrões com raios visivelmente diferentes, isto é, valores de 𝑄 distantes entre si. Porém, criar padrões com este formato, mesmo para ordem 1 ainda é muito desafiador já que ao aumentar a diferença entre os 𝑄s pode-se aumentar muito a não paraxialidade
Capítulo 4. Feixes tipo “LEGO”: Método de superposições contínuas 66
(a) Padrão total da Figura 28a. (b) Padrão total da Figura 28b.
(c) Padrão total da Figura 28c. (d) Padrão total da Figura 28d.
Figura 33 – Campos totais dos feixes linearmente polarizados tipo “LEGO” de ordem 1 da Figura 28.
entre os dois feixes, e diminuir a diferença entre eles gera raios muito próximos. Além disso, o raio possui um máximo de diminuição que está limitado inferiormente por 𝑟 ≈ 𝜆/𝜋 e quanto mais próximo desse valor menos ele varia com as diferenças entre os 𝑄s. Importante lembrar também que o intuito da técnica é ser desenvolvida em regiões micrométricas e, por isso, idealmente 𝐹 (𝑧) deve ser concentrada nessas regiões, porém o fato de usar valores grandes de 𝑄 implica que o intervalo de propagação de 𝐹 (𝑧) seja aumentado o que pode não ser útil em determinadas aplicações. Portanto, uma solução para variar os raios é gerar feixes de ordens ainda maiores, pois ordens superiores da função de Bessel possuem raios de propagação maiores, como é o caso da ordem 2. Entretanto, apesar de tantos desafios, a partir dessas simulações é possível construir feixes tipo “LEGO” de ordem 1 com mais prudência e domínio sobre a técnica.