CHAPITRE 2 REVUE DE LITT´ ERATURE
3.1 Introduction
3.1.2 Hypoth` eses et r´ esultats de base
Dans toute cette partie, on suppose que les fonctions f , cE, et cIsont deux fois continˆument diff´erentiables.
Soit le probl`eme non lin´eaire g´en´erique minimiser
x∈Rn
f (x) sujet `a cE(x) = 0, cI(x)≥ 0, (NLP)
pouvant contenir des contraintes de types (3.1) ou (3.2), et soit x un point admissible pour (NLP). Pour les contraintes d’in´egalit´e de (MPCC) ou celles de (NLP), notons A(x), l’en- semble des contraintes actives en x, c’est-`a-dire,
A(x) = {i ∈ I | ci(x) = 0} .
Le lagrangien associ´e `a (NLP) est
(x, λE, λI)7→ f(x) − λTEcE(x)− λTIcI(x), o`u λE ∈ RnE et λ
I ∈ RnI sont les multiplicateurs de Lagrange. Les conditions n´ecessaires
d’optimalit´e du premier ordre, ou conditions de Karush-Kuhn-Tucker (KKT), au point x∈ Rn stipulent l’existence de multiplicateurs de Lagrange tels que
∇f(x) − JE(x)TλE− JI(x)TλI = 0, cE(x) = 0, CI(x)λI = 0, (cI(x), λI)≥ 0,
avec JE(x) et JI(x) les matrices Jacobiennes des contraintes cE et cI, respectivement, ´evalu´ees au point x.
L’existence de multiplicateurs de Lagrange satisfaisant les conditions de KKT du premier ordre `a la solution locale x n’est garantie que si une condition de qualification est satisfaite
par x.
Dans notre approche, nous n’exigeons aucune condition de qualification pour le probl`eme (MPCC). Il est en fait facile de v´erifier qu’aucun point admissible pour les contraintes (3.1) ou (3.2) ne satisfait la condition MFCQ. Par cons´equent, comme on le verra plus loin, nous aurons besoin de nouvelles conditions d’optimalit´e pour caract´eriser les points stationnaires des MPCCs. Nous ne faisons aucune hypoth`ese sur l’ensemble r´ealisable de (MPCC), car nous voulons ˆetre capable de d´etecter des points localement inadmissibles et aussi des points stationnaires de la mesure ℓ1 de l’inadmissibilit´e.
La fonction lagrangienne associ´ee au probl`eme (MPCC) (Scheel et Scholtes, 2000) est d´efinie par L(x, α, λ, z) = αf (x)− λTEcE(x)− λITcI(x)− z1Tx1− z T 2x2, (3.3) avec α ≥ 0, λE ∈ RnE, λ I ∈ Rn+I, z1 ∈ R p + et z2 ∈ R p
+ des multiplicateurs de Fritz John. Si α > 0, en divisant l’´egalit´e pr´ec´edente par α, on obtient les multiplicateurs de Lagrange. `A tout point x admissible pour (MPCC), on associe les ensembles actifs
A1(x) ={i = 1, . . . , p | x1i= 0} et A2(x) ={i = 1, . . . , p | x2i= 0} . (3.4)
Par soucis de concision et quand le contexte est suffisamment clair, nous ´ecrirons simplement A1etA2, en lieu et place deA1(x) etA2(x). Observons aussi que par construction,A1∪A2 = {1, . . . , p}. L’ensemble A1∩A2correspond `a l’ensemble des variables bi-actives ou des variables de coin tandis que son ensemble compl´ementaire dans {1, . . . , p} d´esigne les variables de branche. Notons nC = nE + nI + 3p, le nombre total de contraintes du (MPCC), o`u les contraintes de compl´ementarit´e ont ´et´e r´e´ecrites sous l’une des formes (3.1) ou (3.2).
Nous rappelons ici la notion de condition de qualification la plus utilis´ee pour les (MPCC). Nous dirons que la MPCC-MFCQ est satisfaite au point x admissible pour le probl`eme (MPCC) si et seulement si la MFCQ classique est satisfaite en x pour les contraintes
cE(x) = 0, cI(x)≥ 0, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
L’ensemble des contraintes actives correspondant est alorsA∪A1∪A2. Le probl`eme (MPCC) sera dit d´eg´en´er´e s’il admet une solution qui ne satisfait pas la MPCC-MFCQ. Une des propri´et´es de notre algorithme ´elastique est de pouvoir converger, dans un certain sens, vers ce type de solutions d´eg´en´er´ees tout en d´elivrant dans le mˆeme temps un certificat de non satisfaction de la MPCC-MFCQ.
Nous donnons ici les conditions d’optimalit´e de Fritz John pour les (MPCC). Ces condi- tions bien que plus faibles que les conditions de KKT sont plus g´en´erales, en ce sens qu’elles
sont satisfaites par toute solution, sans ´egard `a une quelconque condition de qualification.
Lemme 3.1.1 (Scheel et Scholtes (2000)) Si x est une solution du probl`eme (MPCC), alors il existe des multiplicateurs de Fritz John (α, λE, λI, z1, z2)̸= 0 tels que
α∇f(x) − JE(x)TλE − JI(x)TλI− 0 z1 z2 = 0, (3.5a) X1z1 = 0, (3.5b) X2z2 = 0, (3.5c) CI(x)λI = 0, (3.5d) X1x2 = 0, (3.5e) z1iz2i≥ 0, i ∈ A1∩ A2, (3.5f) cE(x) = 0, (3.5g) (x1, x2)≥ 0, (3.5h) (α, cI(x), λI)≥ 0. (3.5i)
Dans le lemme 3.1.1, on reconnaˆıt le gradient par rapport `a x du lagrangien (3.3) dans le membre de gauche de (3.5a). Les ´equations (3.5b)–(3.5d) sont les conditions de compl´emen- tarit´e tandis que (3.5e) avec (3.5h) sont les contraintes de compl´ementarit´e du (MPCC). Les conditions (3.5g) et (3.5i) sont les conditions d’admissibilit´e et de positivit´e des multiplica- teurs correspondants `a la fonction objectif et aux contraintes d’in´egalit´e. La seule condition inhabituelle ici est (3.5f) qui impose aux multiplicateurs associ´es aux variables bi-actives d’avoir le mˆeme signe.
On d´eduit du lemme 3.1.1 plusieurs notions d’optimalit´e pour α > 0. Pour de plus amples informations, nous r´ef´erons aux articles (Scheel et Scholtes, 2000; Ralph et Wright, 2004). Nous nous int´eresserons en particulier aux notions de C-stationnarit´e et de stationnarit´e forte. La C-stationnarit´e exige que α ̸= 0 dans le lemme 3.1.1, tandis que la stationnarit´e forte exige en plus que la condition (3.5f) soit remplac´ee par
(z1i, z2i)≥ 0 pour tout i∈ A1∩ A2. (3.6) Sans perte de g´en´eralit´e, on supposera que α = 1 pour ces deux notions de stationnarit´e. Les points C-stationnaires ne sont pas g´en´eralement le type de points stationnaires d´esir´es, car si les deux multiplicateurs z1i et z2i sont n´egatifs, il pourrait exister des directions de descente r´ealisables en ces points. Cependant il est possible que les m´ethodes de p´enalit´e soient attir´ees
et coinc´ees par ce type de points. On en verra une illustration dans la section 3.5.
Pour les points fortement stationnaires, les multiplicateurs correspondant aux variables de coin sont non n´egatifs. Les multiplicateurs associ´es aux variables de branche sont donc libres, et pratiquement tout se passe comme si on avait des contraintes d’´egalit´e.
Nous d´efinissons la contrainte de qualification de base suivante, que nous utilisons `a la section 3.2 pour ´etablir la convergence de l’algorithme vers des points r´ealisables qui violent la MPCC-MFCQ.
D´efinition 3.1.2 (MPCC-BCQ) Soit x un point r´ealisable pour le probl`eme (MPCC). La contrainte de qualification de base pour le (MPCC) est satisfaite par x si et seulement si (λE, λI, z) = (0, 0, 0) est le seul vecteur (λE, λI, z1, z2) ∈ R
nE+nI+2p
qui v´erifie λi ≥ 0 pour
i∈ A et JE(x)TλE + ∑ i∈A(x) λi∇ci(x) + 0 z1 z2 = 0. (3.7)
Observons que les conditions (3.5a) avec α = 0, (3.5d) et (3.5i) donnent (3.7). Le lemme suivant de Motzkin sera utile pour ´etablir le certificat de d´eg´en´erescence. Voir `a ce propos, par exemple, le livre de Mangasarian (1994) pour ce lemme et d’autres th´eor`emes de l’alternative.
Lemme 3.1.3 (th´eor`eme de l’alternative de Motzkin) Soient A et C deux matrices,
avec A non vide. Alors, soit
i. Ad > 0, Cd = 0 admet une solution d, soit ii. ATλA+ C
T
λC= 0 a une solution (λA, λC) telle que λA ≥ 0 avec λA ̸= 0,
mais jamais les deux en mˆeme temps.
Le r´esultat suivant, cons´equence du lemme 3.1.3, ´etablit une ´equivalence entre la MPCC- BCQ et la MPCC-MFCQ.
Lemme 3.1.4 La MPCC-BCQ est satisfaite au point x, r´ealisable pour le probl`eme (MPCC) si et seulement si la MPCC-MFCQ est satisfaite en x.
Preuve. D´efinissons JA(x) comme la matrice|A(x)|×n dont les lignes sont celles de JI(x) index´ees par A c’est-`a-dire les vecteurs ∇ci(x) pour i ∈ A. Soit de mˆeme le vecteur λA, un sous vecteur de λI, index´e par A. Soient
E ≡ [ 0 Ip 0 0 0 Ip ] , A≡ [ JA(x) E ] , et C ≡ JE(x).
Dans le lemme 3.1.3, posons λA ≡ (λA, z1, z2) et λC ≡ λE. La relation (3.7) peut alors s’´ecrire
ATλA+ C
T
λC= 0, tandis que la MPCC-MFCQ s’´enonce comme Ad > 0 et Cd = 0, o`u C est
de rang maximal. On en d´eduit le r´esultat par application directe du lemme 3.1.3.