Hypothèses initiales

4.3.3. Matrice de corrélation . . . . 52

4.4. Modèle simplifié d’ajustement des paramètres . . . . 53

4.4.1. Présentation du modèle . . . . 53 4.4.2. Ajustement avec un modèle exact . . . . 53 4.4.3. Ajustement avec un modèle approché . . . . 55 4.4.4. Conclusion . . . . 56

4.1. Motivations

Les paramètres de tous les modèles phénoménologiques sont ajustés sur un ensemble de données expérimentales. Ils ne sont que le « reflet » des données que l’on a choisi de contraindre dans le protocole d’ajustement et, sont entachés d’une erreur statistique. Pour toutes ces raisons, on ne peut définitivement pas prendre un résultat numérique brut, le comparer à l’expérience, sans considérer l’erreur générée par l’utilisation de ce modèle.

Il est primordial de se poser la question suivante : « Sachant qu’un modèle n’est qu’une

application simplifiée et réduite de la réalité, quelles en sont les conséquences sur les résultats

50 | Estimation des erreurs dans un modèle physique

qu’il fournit ? Quelles sont les incertitudes sur les paramètres causées par l’ajustement ? Et quelles seront alors les erreurs induites sur les prédictions théoriques ? » L’estimation des

erreurs associées à l’utilisation de fonctionnelles de Skyrme est un sujet de recherche en plein essor. En physique théorique, comme en physique expérimentale, un résultat n’a de sens que lorsqu’il est fourni avec une incertitude. Sans cela, comment affirmer que la valeur de l’observable obtenue est exacte et parfaitement déterminée ?

C’est donc pour ces raisons qu’il est obligatoire de fournir avec nos résultats des inter-valles de confiance. Pour un ajustement de paramètres reposant sur une méthode des moindres carrés, l’accès aux barres d’erreur statistiques s’avère relativement simple. Ce n’est malheureu-sement que la partie émergée de l’iceberg et le traitement complet de tous les types d’erreurs associées à l’utilisation d’un modèle en physique nucléaire est un problème beaucoup plus délicat dont on ne connait pas encore tous les aspects. Dans ce chapitre, nous allons tenter de répondre aux questions suivantes :

‚ Comment accéder aux erreurs statistiques sur les paramètres ajustés via une méthode des moindres carrés ? Comment en déduire les erreurs statistiques sur des observables prédites ?

‚ La seule connaissance de l’erreur statistique est-elle suffisante pour juger de la qualité d’un modèle ?

‚ En quoi les méthodes d’analyse statistique aident-elles à mieux contraindre l’ajustement des paramètres d’un modèle théorique ?

4.2. Définition des différents types d’erreurs

Les incertitudes sur les calculs issus d’un modèle théorique ont généralement des origines variées. Tout d’abord, les mesures expérimentales qui servent à ajuster les paramètres d’un modèle ne sont pas exactes. L’ajustement, basé sur une méthode des moindres carrés, génère également une erreur statistique sur les paramètres[a]. Les imperfections du modèle, causées par les diverses approximations utilisées lors des calculs, sont, elles aussi, à l’origine d’in-certitudes sur les prédictions. Pour terminer, les erreurs numériques peuvent être prises en compte. Parmi toutes ces erreurs, on en distingue deux types : les erreurs systématiques et statistiques.

4.2.1. Erreur statistique

L’erreur statistique est la plus simple à déterminer pour une majorité de modèles en physique. Lorsque les paramètres du modèle sont ajustés avec une méthode des moindres carrés, leur estimation s’avère très simple grâce aux techniques d’analyse covariante. Nous construirons également des matrices de corrélations entre les paramètres ou entre différentes observables. Ce qui nous donnera alors des informations importantes sur la manière d’opti-miser au mieux la fonction de pénalité.

[a]. Ils peuvent en un sens être considérés comme des variables aléatoires, dont la loi, est fonction du modèle et des contraintes de l’ajustement.

4.2.2. Erreur systématique

L’erreur systématique est causée par les défauts intrinsèques à un modèle. En général, il n’existe pas de modèle parfait à utiliser en guise de référence. Quantifier les erreurs sys-tématiques est donc une tâche extrêmement délicate. On peut estimer la systématique en comparant nos données incluant les barres d’erreur statistiques aux données expérimentales existantes, mais comment faire lorsque les données expérimentales n’existent pas ?

4.3. Formalisme de l’analyse covariante

4.3.1. Hypothèses initiales

Soit la fonction de mérite définie dans le chapitre III, p₀ est la paramétrisation optimale issue de l’ajustement des paramètres, soit :

Bχ2 Bpi ? ? ? ? pi“p0,i “ 0 @ i ǫ r1, N s , (4.1) où N est le nombre de paramètres du modèle étudiés. Au voisinage de ce minimum, χ2pp₀q ” χ²₀, on peut développer la fonction de pénalité en série de Taylor jusqu’à l’ordre 2 :

χ²ppq » χ²₀`1 2 % µ,ν ppµ´ p0,µqpBpµBpνχ<sup>2</sup>qp<sub>0</sub>ppν ´ p0,νq , » χ<sup>2</sup><sub>0</sub>`^% µ,ν ppµ´ p0,µqMµνppν ´ p0,νq , (4.2) avec ˆ_{M, la matrice Hessienne de la fonction de mérite calculée pour la paramétrisation} opti-male p₀. Par définition, les termes d’ordre 1 sont nuls. Quant à l’ordre 2, il nous renseigne sur la courbure du χ2 dans toutes les directions de l’espace des paramètres et est représenté par la matrice ˆ_{M. Ce développement en série de Taylor est similaire à l’approximation quadratique} du χ2 expliquée en détail dans la partie 3.1.3 du chapitre III. Malgré la non-linéarité des calculs, on peut toujours, au voisinage du minimum, estimer que la fonction de mérite est quadratique et qu’il soit possible de l’approcher par un développement limité.

On peut quantifier un peu plus précisément ce qu’on appelle « voisinage du minimum ». Dans un article récent, Dobaczewski et al. [72] définissent un domaine de validité pour ce développement :

1

spp ´ p₀q ˆMpp ´ p0q ď 1 , (4.3) où s “ χ2

0{ pM ´ N q est un facteur de renormalisation du χ2 et M correspond au nombre de contraintes dans l’ajustement.

Il est assez aisé de comprendre que l’information contenue dans cette matrice sera directe-ment reliée aux erreurs statistiques des paramètres du modèle et témoignera de la qualité des contraintes choisies pour l’ajustement de chaque paramètre. Une faible courbure (minimum assez plat) témoignera d’un paramètre mal contraint puisqu’une grande variation de celui-ci

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ne détériorera pas significativement la fonction de mérite. Le paramètre sera « mal défini » : son erreur statistique sera donc grande. À l’opposé, avec une grande courbure, le χ2 sera fortement impacté.