4.5 Horizons Horizons isolés
4.5.3 Horizons isolés
Le formalisme des horizons isolés décrit des espace-temps dynamiques contenant un trou noir en équilibre, c’est-à-dire où ni matière ni radiation ne traverse l’horizon. L’idée est d’ex- traire de la notion d’horizon de Killing les conditions minimales qui sont nécessaires pour défi- nir des quantités physiques telles que la masse ou le moment cinétique du trou noir et d’établir la loi zéro et la première loi de la mécanique des trous noirs. Une caractéristique très impor- tante des horizons isolés est leur caractère (quasi-)local. En relativité numérique, ce caractère (quasi-)local est fondamental, les simulations numériques étant basées sur une approche 3+1, il est difficile d’avoir un contrôle sur les propriétés globales de l’espace-temps. De plus, cela per- met de traiter le concept d’équilibre d’une façon (quasi-)locale. La notion d’horizon apparent, caractérisée localement comme une surface marginalement piégée la plus externe dans une tranche spatiale Σt, semble être un bon point de départ. Cependant, afin d’inclure le concept
d’équilibre, il est nécessaire de considérer l’évolution de cette 2-surface. Dans un régime de (quasi-)équilibre, la notion de tube d’univers d’horizons apparents prend un sens, les disconti- nuités étant absentes. Un horizon isolé est basé sur l’idée d’un horizon apparent associé à un trou noir en équilibre, et évoluant continuement vers des horizons apparents de même aire, de manière à ce que le tube d’univers ainsi généré soit une hypersurface nulle. C’est ce caractère
CHAPITRE 4. TROUS NOIRS
nul qui assure que le trou noir soit en quasi-équilibre.
La définition des horizons isolés reprend les ingrédients fondamentaux d’un tube d’univers nul d’horizons apparents non-expansifs. De plus, on attribue au tube d’univers des structures géométriques additionnelles intrinsèques aux hypersurfaces nulles. Cela introduit une hiérarchie de structures dans le formalisme, définissant en premier lieu les horizons non-expansifs puis les horizons faiblement isolés et enfin les horizons fortement isolés.
4.5.3.1 Horizons non-expansifs
On dit qu’une hypersurfaceH dans un espace-temps (M, gµν) du vide est un horizon non-
expansif si [9] :
1. C’est une hypersurface nulle de topologie R× S2. 2. Le scalaire d’expansionθ est nul sur H :
θ = 0.H (4.41)
3. Les équations d’Einstein sont satisfaites surH.
La notion d’horizon non-expansif repose sur l’idée de quasi-équilibre. En effet, l’aire de l’horizon apparenta =RS√qd2q reste constant, sachant que l’équation (4.37) donneHL
ℓln√q =
θ = 0. Ainsi, il existe une notion bien posée de rayon de l’horizon, RH =√a/(4π).
Introduisons la seconde forme fondamentaleΘµν deH définie par :
Θµν =
1 2q
α
µqβνLℓqαβ. (4.42)
En se restreignant aux surfaces St, c’est-à-dire aux tranches d’horizons apparents, on décom-
pose la seconde forme fondamentale, également appelée tenseur taux de déformation, selon sa trace et sa partie sans trace par rapport à la métrique q donnant
Θab =
1
2θqab+ σab, (4.43)
où la partie sans traceσab est appelée tenseur de cisaillement. En utilisant l’équation de Ray-
chaudhuri dans le vide et pour une expansion nulleθ = 0, on obtient que le tenseur de cisaille-
ment est nul également [74]. On en conclut que pour un horizon non-expansif, non seulement l’expansion s’annule mais aussi le tenseur taux de déformation
Θab = 0. (4.44)
On peut montrer que cela implique que HLℓqab = 0, ce qui signifie que la métrique rieman-
4.5. HORIZONS - HORIZONS ISOLÉS
Puisque le tenseur de cisaillement et l’expansionθ sont nuls sur H, et que ℓµest normal aux hypersurfacesH, on peut montrer qu’il existe une 1-forme ωµ[74] tel que, pour tout vecteurvµ
tangent àH
vν∇νℓµ H
= vνwνℓµ. (4.45)
Cette 1-forme, également appelée 1-forme de rotation, va jouer un rôle central pour introduire le prochain niveau de la hiérarchie des horizons isolés.
Nous avons déjà mentionné que, ℓ étant un vecteur de genre lumière, il n’existait pas de normalisation naturelle de ℓ. Les lois de transformations des différents objets géométriques sous une transformationℓµ → λℓµ, oùλ est une fonction sur H, sont les suivantes :
qab → qab,
Θab → λ Θab, (4.46)
ωµ → ωµ+ ∇µlnλ,
κ → λ κ + ℓµ∇µλ.
4.5.3.2 Horizons faiblement isolés
La notion d’horizon non-expansif représente un premier pas dans la caractérisation quasi- locale d’un trou noir en équilibre. Nous avons vu qu’il consiste essentiellement à imposer que la métrique dégénérée q est indépendante du temps. D’un coté, cette condition géométrique est suffisamment flexible pour représenter une grande variété de scénarios physiques. Mais d’un autre côté, cette structure n’est pas assez stricte pour pouvoir déterminer certaines propriétés physiques ou géométriques d’un trou noir. Par exemple, elle ne permet pas de choisir une nor- malisation particulière de la normale de genre lumière, et ne fournit aucune prescription pour la masse ou le moment cinétique d’un trou noir.
En suivant Ashtekar et al. [9], si l’on souhaite une caractérisation plus fine de la notion de quasi-équilibre, cela demande l’introduction de structures additionnelles surH. Après avoir imposé à la métrique dégénérée q d’être indépendante du temps, il est naturel d’étendre cette condition aux autres objets géométriques surH, et en particulier à la connection ˆ∇ induite sur
H par la connection de l’espace-temps ∇ ( ˆ∇ est bien définie car on peut montrer que pour
tout vecteur u et v tangents à H, ∇vu est également tangent à H d’où la définition ˆ∇vu =
∇vu). Cette stratégie conduit directement à une hiérarchie de structures de quasi-équilibres sur
l’horizon. Avant d’imposer l’indépendance par rapport au temps à la connexion complète ˆ∇, qui constituera le dernier niveau des horizons isolés, on procède à un pas intermédiaire où seules les composantes ω de la connection ˆ∇ (voir Eq. (4.45)) sont supposées être indépendantes du temps.
La notion d’horizon non-expansif est indépendant d’une renormalisation du vecteur de genre lumière normal ℓ. Par contre, du fait des lois de transformation (4.46), imposer que la 1-forme de rotation ω est indépendante du temps dépend du choix de ℓ. Si on considère une normale de genre lumière ℓ telle queHLlω = 0, alors après une renormalisation de ℓ par une fonction
non constante, ω ne sera pas indépendant du temps en général. On introduit donc une première définition : deux normales de genre lumière ℓ et ℓ′ sont dites liées l’une à l’autre si et seulement
CHAPITRE 4. TROUS NOIRS
si ℓ= cℓ′
oùc est une constante positive. Cela définit une relation d’équivalence dont la classe
d’équivalence est notée[ℓ].
Un horizon faiblement isolé (H, [ℓ]) est une horizon non-expansif H associé à une classe d’équivalence[ℓ] de normales de genre lumière telles que
HL
ℓω = 0. (4.47)
On montre [74] que cette condition est équivalente à
ˆ
∇Aκ(ℓ)= 0, (4.48)
donc la gravité de surface d’un ℓ ∈ [ℓ] donné est constant sur H. Cette propriété, la loi zéro de la thermodynamique des trous noirs, caractérise la notion d’horizons faiblement isolés.
On peut signaler que, étant donné un horizon non-expansif, il est toujours possible de sélec- tionner une classe de normales de genre lumière[ℓ] tel que H soit un horizon faiblement isolé. L’introduction de la structure d’horizon faiblement isolé n’introduit donc pas de restriction sur la physique du système. Au contraire, il existe même un nombre infini d’horizons faiblement isolés non équivalents [74].
Tournons nous maintenant vers la détermination des paramètres physiques associés à l’hori- zon du trou noir. L’introduction de la structure des horizons faiblement isolés permet d’associer une notion quasi-locale de masse et de moment cinétique au trou noir, indépendamment de son environnement, ce qui est d’un intérêt astrophysique fondamental pour l’étude des trous noirs. En effet, la masse ADM, par exemple, d’un espace-temps asymptotiquement plat tient compte de la masse totale dans une hypersurface spatiale Σt. Mais, dans un système binaire elle ne
permet pas de déterminer quelle part est associée avec le trou noir et quelle part correspond à l’énergie de liaison ou de radiation gravitationnelle.
La stratégie pour déterminer les expressions de la masse ou du moment cinétique d’un ho- rizon faiblement isolé repose sur des techniques hamiltoniennes que nous n’allons pas décrire ici. L’idée générale est d’identifier les paramètres physiques à des quantités conservées sous certaines transformations associées à des symétries de l’horizon faiblement isolé. En suivant Ashtekar et al. [9], on suppose qu’il existe une symétrie azimutale sur l’horizonH, c’est-à-dire qu’il existe un vecteurϕµtangent àS, qui soit une isométrie SO(2) de la métrique induite q
ab
de longueur affine2π.
La quantité conservée associée à l’extension deϕµà l’espace-temps est donnée par [8]
JH = − 1 8π Z S ϕµωµd2V = 1 8π Z S siϕjKijd2V, (4.49)
où si est le vecteur unitaire surΣ
t normal à l’horizon apparent S. Cette expression justifie le
nom de 1-forme de rotation donné à ω.
La définition de la masse est liée au choix du vecteur d’évolution t. Puisque l’on veut que la restriction de t àH soit une symétrie de l’horizon faiblement isolé (H, [ℓ]), on demande que
t soit de la forme [8]
4.5. HORIZONS - HORIZONS ISOLÉS
où Ωt est une constante sur l’horizon. La détermination de la masse procède alors en deux
étapes.
Tout d’abord, le vecteur t doit satisfaire certaines conditions pour induire une transformation canonique sur l’espace des phases. On montre que cela devient équivalent à la première loi de la thermodynamique des trous noirs [8], dont la conséquence est que la masse, la gravité de surface et la vitesse angulaire dépendent seulement de deux paramètres, le rayonRH et le
moment cinétiqueJHdu trou noir.
Puis, dans un second temps, on doit fixer la forme fonctionnelle des paramètres physiques en fonction deRHetJH. Si on impose qu’elle coïncide avec celle de la famille de Kerr, cela fixe
complètement la dépendance enRHetJH. Les expressions finales obtenues pour les paramètres
physiques de l’horizon sont
MH(RH, JH) := MKerr(RH, JH) = p R4 H+ 4JH2 2RH κH(RH, JH) := κKerr(RH, JH) = R4 H− 4JH2 2R3 H p R4 H+ 4JH2 ΩH(RH, JH) := ΩKerr(RH, JH) = 2JH RH p R4 H+ 4JH2 (4.51)
4.5.3.3 Horizons fortement isolés
Le troisième et dernier niveau dans la hiérarchie des horizons isolés est donné par la notion d’horizons fortement isolés. Partant d’un horizon non-expansif, on demande que la connexion
ˆ
∇ complète soit indépendante du temps. Se référant à Ashtekar et al. [11], un horizon fortement
isolé, ou simplement un horizon isolé, est défini comme un horizon non-expansif avec une classe d’équivalence[ℓ] tel que
h
HL ℓ, ˆ∇
i
= 0. (4.52)
Cette structure permet notamment de définir un ensemble de multipôles de masse et de moments cinétiques caractérisant complètement le trou noir [10].
En termes simples, un horizon isolé est un horizon non-expansif pour lequel tous les objets définissant la géométrie nulle(q, ˆ∇) sont indépendants du temps. Il représente le plus haut degré
de stationnarité de l’horizon défini d’une manière quasi-locale. Cependant, la notion d’horizon isolé est moins restrictive que celle d’horizon de Killing, pour lequel on impose la stationnarité non seulement sur l’horizon mais aussi à son voisinage. On peut avoir un horizon isolé tel qu’il n’existe pas de vecteur de killing dans le voisinage de l’horizon. Par conséquent, un horizon isolé permet de modéliser un horizon stationnaire dans un espace-temps dynamique.