Para a avaliação das organizações matemáticas existentes no livro Matemática em torno da resolução de equações polinomial do primeiro grau, adotamos como referência os seguintes critérios propostos por Chevallard (1999): a) verificar se os subtipos de tarefas estão bem identificados, acompanhados de explicações de sua
pertinência (ou razão de ser), são representativos tanto em quantidade como
qualidade; b) observar se os elementos técnico-tecnológicos estão explicitados ou não, são bem enunciados e justificados. A seguir, passaremos a descrever esses elementos de avaliação.
Identificação dos subtipos e tarefas: nesse livro os primeiros enunciados relativos à resolução de equações do primeiro grau não fazem referência à palavra
equação e às expressões do primeiro grau. Os enunciados mais convencionais
adotados para identificação desse tipo de tarefa só começam a ser escritos após todo o processo de oficialização do conceito de equação e de sistematização das técnicas – por exemplo, encontre o valor de n; obtenha o valor de y; descubra o valor de x; resolva as equações e solucione a equação.
Pertinência ou razão de ser: o tipo de tarefa “resolver equações do primeiro grau” é um recurso (ferramenta) a ser utilizado para resolver problemas. É o que podemos ver na figura a seguir.
Figura 36: Razão de ser da equação polinomial do primeiro grau
Fonte: Imenes e Lellis (2010, p. 239).
A razão de ser das equações polinomiais do primeiro grau é explicitamente demarcada nesse livro didático em termos de aplicações, procedimentos técnicos e na interligação dos temas para resolução de problemas das equações e seu domínio na álgebra e funções.
Representatividade: os exercícios explorados sobre resolução de equações polinomiais do primeiro grau contemplam os diferentes subtipos de tarefas (t1, t2, t3, t4). No total, foram identificados 34 exercícios propostos por meio de equações, dentre os
quais oito eram as equações formadas, o que corresponde a 24%, e 26 problemas, que representam 76% de todo o capítulo.
Destacamos, ainda, que esses exercícios referentes às equações formadas para serem resolvidas (por exemplo, questão 1: resolva as equações da letra a (𝑥 + 3 = 15) letra b, c, d...) somaram 38 equações no capítulo 11. Dentre essas equações, tomamos como parâmetro as tarefas e técnicas que autores propuseram na sequência de estudo do capítulo. No entanto, essas tarefas e técnicas podem ser resolvidas com o apoio de outras tarefas e técnicas. Assim, identificamos as tarefas registradas na tabela abaixo.
Tabela 06: Subtipos de Tarefas livro Matemática Subtipos de Tarefas t1 t2 t3 t4 % TTC 12 - - - 32 DRE_ TTC - 04 - - 10 NTC - - 6 - 16 DRE_ NTC - - - 16 42 Fonte: a pesquisa
Percebemos que as tarefas do grupo t1 representam 32% e as tarefas do grupo t4, 42%, ou seja, foram as mais propostas pelos autores para o trabalho na sala de aula.
Elementos técnico-tecnológicos: a álgebra é definida como uma linguagem essencial, gramática, formada por regras. A noção de expressão algébrica não é oficializada por meio de enunciados, mas utilizada como se fosse conhecida pelos estudantes. A noção de equação é mais ou menos oficializada como sendo
igualdades que contêm números desconhecidos, representados por incógnitas.
Em relação às técnicas elaboradas ou sistematizadas, foram identificadas as seguintes técnicas:
✓
TTC: transpor termos ou coeficientes, mais ou menos justificada pelaspropriedades das operações inversas (θPOI), conforme Figura 27;
✓
NTC: neutralizar termos ou coeficientes, elaborada e justificada por meio daspropriedades gerais da igualdade (θPGI), como na Figura 29.
✓
RTS: reagrupar termos semelhantes, invertendo as operações (sinais) dosA partir dessas três técnicas, com auxílio da DRE (desenvolver ou reduzir
termos), justificada por meio das propriedades distributivas da multiplicação (θPDM),
foram sistematizadas também as técnicas mistas:
✓
DRE_TTC: desenvolver ou reduzir termos/ transpor termos ou coeficientes;✓
DRE_NTC:
desenvolver ou reduzir termos/ neutralizar termos ou coeficientes.Evolução dos subtipos de tarefas e da tecnologia: a evolução das resoluções das equações polinomiais do primeiro grau foi contemplada no quadro abaixo registrado.
Subtipos de tarefas Técnicas Tecnologias
t1 (resolver equações do
tipo
axbc
).Neutralizar termos ou coeficientes (NTC)
Propriedades das operações inversas (θPOI)
t2 (resolver equações do
tipo A(x)0
Técnica mista DRE_TTC, que
consiste em duas etapas: a) desenvolver ou reduzir expressões (DRE), para
transformar a equação do tipo A(x)0 em outra do tipo
axbc
; b) transpor termos ou coeficientes (TTC) Propriedades distributivas da multiplicação (θPDM) t3 (resolver equações do tipo a1xb1a2xb2). Neutralizar termos ou coeficientes (NTC) Propriedades gerais da igualdade (θPGI) t4 (resolver equações do tipo A1(x)A2(x)),Técnica mista DRE_NTC, que
consiste em duas etapas: a) desenvolver ou reduzir expressões (DRE), para
transformar a equação do tipo A(x)0 em outra do tipo
axbc
; b) transpor termos ou coeficientes (TTC) Propriedades distributivas da multiplicação (θPDM)Quadro 67: Evolução das tarefas e tecnologias
Fonte: a pesquisa
Conforme o Quadro 67, vimos que os autores sugeriram os quatros subtipos de tarefas. O trabalho vai das tarefas mais simples às que mobilizam mais elementos para a resolução das equações.
Organização didática: a transposição das praxeologias matemáticas existentes em volta dos subtipos de tarefas referentes às resoluções de equações polinomiais do primeiro grau constitui nos seis momentos descritos no quadro a seguir.
Momentos Didáticos
Critérios de Análise Livro
PRIMEIRO MOMENTO
De maneira é feita a introdução da equação polinomial do primeiro grau com incógnita no livro?
A partir da introdução de um problema ou situação realizada para formar ou sistematizar a técnica eletiva para resolver a equação (subtipo de tarefa) procurada na situação, por meio da explicação do procedimento de resolução. SEGUNDO MOMENTO Como se dá a exploração do tipo de tarefas T no livro? E a elaboração de uma técnica relativa a esse tipo de tarefas?
É indicado nas seções denominadas conversar para aprender.
TERCEIRO MOMENTO
Qual a constituição do ambiente tecnológico- teórico relativo à técnica?
A constituição do ambiente tecnológico é bem definido e justificado por meio das tecnologias: propriedades gerais da igualdade, propriedade das operações inversas e propriedade distributiva da multiplicação.
QUARTO MOMENTO
Como é o trabalho das técnicas?
É sugerido por meios de seções específicas, logo após a constituição das tecnologias, nas seções intituladas problemas e exercícios. Os autores propuseram um total de 38 exercícios para resolução.
QUINTO
MOMENTO Como institucionalização: se efetiva no a início, no meio ou ao final do livro?
A institucionalização das tecnologias ocorreu logo após a apresentação da técnica (neutralizar termos e coeficientes)
SEXTO MOMENTO
De que maneira se realiza a avaliação: no início, no meio ou ao final do livro?
A avaliação ocorre de forma explícita, ao final da institucionalização das tecnologias.
Quadro 68: Momentos didáticos constituídos no livro Matemática
Fonte: a pesquisa
Concluímos que a passagem de procedimentos aritméticos para procedimentos algébricos não é realizada de forma explícita, posto que os autores afirmam que há dois processos (técnicas) principais que podem ser agrupados para resolver equações, mas eles não deixam claro quais tipos de equações podem ser resolvidos, utilizando-se das operações inversas e quais tipos só podem ser resolvidos, efetuando-se a mesma operação nos dois membros da equação.
A seguir fizemos as análises do manual do Manual do Professor desse livro com os seguintes destaques, em relação ao objetivo desse capítulo:
✓ Conceituar equação e solução de equação;
✓ Compreender a lógica dos procedimentos de resolução de equações (baseados na inversão de operações e na propriedade das igualdades); ✓ Resolver equações;
✓ Resolver problemas, usando equações (incluindo problemas envolvendo proporcionalidade).
Esses são os topos esperado pelo autor do livro Matemática em relação ao trabalho docente em sala de aula e desenvolvidos pelos estudantes ao final da unidade temática.
Nesse livro ainda há um caderno de atividades que, no manual do professor, ressalta que os estudantes precisam desenvolver habilidades básicas de cálculo com ênfase no cálculo algébrico.
Em relação ao guia PNLD 2014, destaca que, a partir da
Álgebra com uso moderado de regras, inova-se na abordagem da álgebra, buscando-se desmistificar sua dificuldade. A mesma intenção revela-se na sistematização feita sem exageros da nomenclatura e da simbologia. Os assuntos são retomados de um ano para o outro, ampliados e explorados em problemas variados e interessantes. Há equilíbrio entre o cálculo algébrico e o emprego da álgebra para modelizar situações cotidianas (BRASIL, 2014 p. 50).
Concordamos com essa avaliação em face da distribuição e integração desse conteúdo com demais. O livro traz uma boa proposta, principalmente, para não se trabalhar apenas o conteúdo em único capítulo, mas retomá-lo nos demais capítulos. Esse livro é uma referência para os demais autores de livros didáticos da educação matemática, um dos poucos livros que estiveram presentes em todas as avaliações do PNLD, no entanto essa foi a última avaliação de que a coleção participou. No PNLD de 2017, a coleção não foi inscrita. Na figura a seguir, podemos ver a distribuição dos conteúdos em cada ano do ensino fundamental.
Figura 37: Distribuição dos campos da matemática escolar do livro Matemática
Fonte: Brasil (2015, p. 49)
Podemos observar que, nessa coleção, apesar de álgebra ter início no sexto ano, é a partir do sétimo ano que se concentra o trabalho com os conceitos algébricos, distribuídos com praticamente o mesmo quantitativo de conteúdos nos anos finais.
A seguir, analisamos o último livro didático, Praticando Matemática, que foi o livro de referência para as aulas do professor P3.