Scilab dispose de la commandehistplotpour tracer des histogrammes, avecdeux utilisations possibles: – Si x est une matrice dont les coefficients sont les données (par exemple on peut avoir généré x en
utili-sant la commande : x=grand(1,1000,"nor",1,2) ), la commandehistplot(n,x), répartit les données dansnclasses de même largeur et trace l’histogramme correspondant, l’effectif de chaque classe étant normalisé par l’effectif total (par exemple, si la première classe comprend50 données, l’ordonnée sur l’histogramme sera égale à100050 ).
– Si b est un vecteur ligne définissante les classes (si b = [b1,b2, . . . ,bp], les classes seront b1,b2 , b2,b3
,b3,b4 ,. . . ,
bp−1,bp
) et six est une matrice dont les coefficients sont les données, la com-mandehistplot(b,x), répartit les données dans les classes définies par b et trace l’histogramme correspondant, l’effectif de chaque classe étant normalisé par l’effectif total.
Travaux pratiques 10 : Simulation d’une loi normale et tracé d’histogramme
Reprendre le fichier créé lors des travaux pratiques7et le sauvegarder sous un nouveau nom (par exemple
”simul_normale_cr”). Compléter ce programme à l’aide de la commande grand et de la commande histplot pour qu’il trace dans une même fenêtre l’histogramme correspondant à la simulation de 1000échantillons d’une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite et la courbe représen-tative d’une densité d’une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite.
Travaux pratiques 11 : Simulations d’une loi géométrique
A l’aide d’une bouclewhileet de la commandegrand( 1, 1, ”bin”, 1, p);(qui permet de simuler une loi de Bernoulli), simuler une variable aléatoire qui suit la loi géométrique de paramètre p=0.2.
Facultatif : Transformer les commandes précédentes pour créer une fonction qui simule une loi géométrique de paramètre p. Grâce à cette fonction obtenir un échantillon i.i.d. de taille 100 de loi géométrique de paramètre p et tracer l’histogramme correspondant dans une première sous-fenêtre en utilisantsubplot(1,3,1).
Simuler directement une loi géométrique de paramètre p =0.2 à l’aide du générateurgrand. Tracer dans la deuxième sous-fenêtre (grâce à subplot(1,3,2)), l’histogramme correspondant à cette deuxième simulation.
Dans une troisième sous-fenêtre, tracer la distribution théorique correspondant à une loi géométrique de paramètre0.2.
Comparer les différents histogrammes obtenus (on pourra faire varier la taille de l’échantillon).
Travaux pratiques 12 : Simulation d’une loi de Poisson
Simuler unn-échantillon une loi de Poisson de paramètreλ=7à l’aide du générateurgrand. Tracer l’histogramme correspondant dans une première sous-fenêtre en utilisantsubplot(1,2,1).
Dans une deuxième sous-fenêtre (à l’aide de la commandesubplot(1,2,2)), tracer la distribution théorique correspondant à une loi de Poisson de paramètre7.
Comparer (on fera varier la taille de l’échantillon ainsi que la valeur deλ).
Travaux pratiques 13 : Simulations d’une loi binomiale
A l’aide d’une bouclefor et de la commande grand( 1, 1, ”bin”, 1, p); (qui permet de simuler une loi de Bernoulli), simuler une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n=10etp=0.3.
Facultatif :Transformer les commandes précédentes pour créer une fonction qui simule une loi binomiale de paramètresnetp. Grâce à cette fonction obtenir un échantillon i.i.d. de taille100de loi binomiale de paramètresn=10etp=0.3et tracer l’histogramme correspondant dans une première sous-fenêtre en utilisantsubplot(1,3,1).
Simuler directement une loi binomiale de paramètresn=10etp=0.3à l’aide du générateurgrand. Tracer dans la deuxième sous-fenêtre (grâce à subplot(1,3,2)),l’histogramme correspondant à cette deuxième simulation.
Dans une troisième sous-fenêtre, tracer la distribution théorique correspondant à une loi binomiale de paramètres10et0.3.
Comparer les différents histogrammes obtenus (on pourra faire varier la taille de l’échantillon, ainsi que les valeurs denet dep).
7 Problème de synthèse
Il s’agit de calculer par deux méthodes la valeur d’une option d’achat sur actions à l’aide du modèle de Cox, Ross, Rubinstein (1979).
Travaux pratiques 14 : Fonction calculant les coefficients binomiaux
En utilisant les commandes des travaux pratiques5, créer une fonction qui à partir de la valeur de l’entier n, renvoie un vecteur ligneY de la forme :Y = n
0
n 1
n 2
n 3
. . . n
n
.
Travaux pratiques 15 : Fonction calculantmax(0,S−K)
Ecrire une fonction, utilisant l’instruction "if ... then ... else", qui à partir des valeurs des deux réelsSet K calculemax(0,S−K).
Travaux pratiques 16 : EspéranceC d’une variable aléatoire discrète
Soit S0, uetK trois réels strictement positifs fixés, soit N un entier naturel non nul. SoitS la variable aléatoire discrète finie telle que :
S(Ω) = ¦
S0uN−2k, k∈[|0,N|]©
∀k ∈ [|0,N|], P(S=S0uN−2k) = N
k
pN−k 1−pk
On noteC la valeur de l’espérance de la variable aléatoiremax(0,S−K). Montrer que : C=
XN
k=0
N k
pN−k 1−pkmax
0,S0uN−2k−K
Ecrire un programme, utilisant les deux fonctions précédentes qui calcule la valeur deC. On prendra les valeurs numériques suivantes :
S0=42, u=1, 01424, p=0.514146, N=100, K=40 Le résultat obtenu pourC doit être égal à5environ.
Remarque : Le programme ci-dessus permet de calculer la valeur d’une option d’achat sur actions à l’aide du modèle de Cox, Ross, Rubinstein (1979).
Travaux pratiques 17 : Calcul d’une estimation deC par la méthode de Monte Carlo.
A l’aide du générateur grand, simuler la variable aléatoireS. En déduire une estimation de C par la méthode de Monte Carlo (on effectueransimulations de la la variable aléatoireS, ce qui nous donnera 1000valeurs prises parmax(0,S−K), la moyenne de ces valeurs donne alors une estimation deC ). On pourra prendren=1000,n=10000, puisn=100000. Comparer avec la valeur obtenue précédemment.
8 Table des travaux pratiques du document
Travaux pratiques 1 : Prise en main, p. 6
Travaux pratiques 2 : Triangle de Pascal - initialisation, p. 8 Travaux pratiques 3 : Calculs matriciels, p. 9
Travaux pratiques 4 : Suite définie par récurrence, p. 15 Travaux pratiques 5 : Triangle de Pascal (suite)., p. 15 Travaux pratiques 6 : Méthode de dichotomie, p. 16 Travaux pratiques 7 : Loi normale centrée réduite., p. 17 Travaux pratiques 8 : Méthode des rectangles , p. 17 Travaux pratiques 9 : Méthode des rectangles - suite, p. 21
Travaux pratiques 10 : Simulation d’une loi normale et tracé d’histogramme, p. 22 Travaux pratiques 11 : Simulations d’une loi géométrique, p. 22
Travaux pratiques 12 : Simulation d’une loi de Poisson, p. 22 Travaux pratiques 13 : Simulations d’une loi binomiale, p. 23
Travaux pratiques 14 : Fonction calculant les coefficients binomiaux, p. 23 Travaux pratiques 15 : Fonction calculantmax(0,S−K), p. 23
Travaux pratiques 16 : EspéranceC d’une variable aléatoire discrète, p. 24
Travaux pratiques 17 : Calcul d’une estimation deC par la méthode de Monte Carlo., p. 24
9 Bibliographie et sites internet
Il y a peu d’ouvrages français sur Scilab. On peut citer :
–Débuter en Algorithmique avec Matlab et ScilabdeJean-Pierre Grenier,Ellipses.
Remarque :Cet ouvrage a été publié en2007, donc il ne tient pas compte des modifications intervenues dans les dernières versions. Certaines commandes (en particulier graphiques) citées dans l’ouvrage ne sont plus utilisables dans les versions 5.x du logiciel.
–Algorithmique et Mathématiques - Travaux pratiques et applications ScilabdeJosé Ouin Ellipses- Parution : 26-04-2010 - ISBN : 9782729854393.
Il y a de nombreuxsites internetavec desdocuments très complets, en particulier : 1. Le site de Scilab
http://www.scilab.org/fr/resources/documentation/tutorials 2. Probabilité et statistiques avec Scilab, Préparation à l’agrégation de mathématiques,
Université Joseph Fourier (Grenoble 1) – Adresse internet :
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~decauwer/polyscilab.pdf Remarque : excellent document datant deseptembre 2010.
3. Une introduction à Scilab, cours deBruno Pinçon.
Adresse internet :http://www.iecn.u-nancy.fr/~pincon/scilab/docA4.pdf Remarque : document très complet, attention certains chapitres ne traitent pas des versions ultérieures à la version 4.0.
4. Démarrer en ScilabdeB. Ycart(Université René Descartes, Paris) Adresse internet :
http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/polys/demarre_scilab/demarre_
scilab.html
Remarque : document complet.
5. Réaliser des graphiques avec Scilab & Introduction à ScilabdePhilippe Roux(mai 2010).
http://perso.univ-rennes1.fr/philippe.roux/scilab/intro/fiche_scilab.
http://perso.univ-rennes1.fr/philippe.roux/scilab/graphiques/fiche_
graphiques.pdf
Remarque : document très utile pour comprendre le nouveau mode graphique de Scilab 5.x .