Hiérarchisation des sources d’incertitude

Une fois l’incertitude sur la variable d’intérêt évaluée, il est utile que l’étude soit étendue à l’analyse des sensibilités du modèle aux variables d’entrée. Plusieurs méthodes sont possibles.

1.1.4.1.

Méthodes de criblage

Les méthodes de « screening », appelé aussi criblage en français, permettent d’établir une hiérarchie approchée dans les variables d’entrée en fonction de leur influence sur la variabilité de la sortie du modèle sans néanmoins la quantifier. Une étude de criblage repose sur des plans d’expériences et fournit une information qualitative importante à coût de calcul réduit. Elle sert généralement, en première approche, à détecter les variables les plus influentes d’un modèle, pour pouvoir ensuite les étudier par des méthodes plus approfondies. Le lecteur intéressé par ce type de méthode trouvera une présentation particulièrement approfondie dans les ouvrages [30] et [31].

1.1.4.2.

Mesure de sensibilité locale

Lorsque l’on réalise une analyse de sensibilité locale, la sensibilité est généralement

mesurée en analysant les variations de la sortie de l’équation lorsqu’une seule

variable d’entrée varie faiblement autour d’une valeur de référence, les autres étant fixées à leurs valeurs nominales. La méthode d’analyse de sensibilité locale la plus classique est l’approche « One factor At a Time » (OAT), qui consiste à calculer ou à estimer les indices de sensibilité

définis par les dérivées partielles :

Cet indice permet de déterminer l’effet sur la valeur de la variable aléatoire des

modifications des valeurs des variables autour d’un point de fonctionnement . Cependant,

l’analyse de sensibilité locale et l’analyse différentielle, qui sont assez proches puisqu’elles s’intéressent aux dérivées partielles du premier ordre, ne permettent pas de réaliser une mesure de sensibilité globale sur un espace fini de variation des entrées. La sensibilité locale donne une information valable uniquement autour du point nominal où elle est calculée et ne réalise aucune exploration du reste de l’espace des variables d’entrée. La Figure 21 montre que la sortie peut être fortement sensible pour certains points ou présenter des sensibilités locales nulles.

Figure 21 : Analyse de sensibilité locale

1.1.4.3.

Mesure de sensibilité globale

Pour remédier à ces limitations de caractère local, l’analyse de sensibilité globale est une alternative qui peut être présentée comme un outil de quantification de la sensibilité qui étudie l’effet global d’un paramètre sur la sortie en explorant tout le domaine de variation. Les méthodes d’analyse de sensibilité globale se caractérisent donc par l’exploration complète de l’espace des variables d’entrée et s’intéressent à la variabilité de la sortie du modèle. L’analyse de sensibilité globale étudie comment la variabilité des entrées se répercute sur celle de la sortie, en déterminant la part de variance de la sortie due à chacune des entrées. Une caractéristique importante de l’analyse de sensibilité globale est que l’estimation de la sensibilité séparée de chaque entrée est réalisée lorsque toutes les autres varient. En effet, une variable d’entrée donnée peut également influencer la sortie à travers ses interactions dans le modèle avec les autres entrées. Cette notion est appelée sensibilité globale dans la littérature ou parfois influence. L’influence, qui s’exprime en variance, sera présentée en détail par l’illustration des deux méthodes d’analyse de sensibilité globale utilisées lors de cette thèse, la première est la mesure des indices linéaires et la deuxième la mesure des indices de Sobol.

1.1.4.3.1. Mesure des indices linéaires

Cette méthode d’analyse de sensibilité est fréquemment utilisée en première approche et apporte une mesure fiable de l’influence des variables d’entrée dans de nombreux contextes. Cependant cette méthode est basée sur l’hypothèse de la linéarité du modèle qui peut être validée en pratique en effectuant une régression linéaire entre la sortie Y et les entrées . Pour quantifier cette linéarité des outils statistiques classiques sont utilisés comme par exemple le coefficient de détermination [32] dont le calcul s’effectue comme exprimé en (10). Dans le cas où l’indice est proche de la valeur 1, on peut juger que l’hypothèse de linéarité est acceptable dans ce cas les indices de sensibilité linéaires sont utilisables, comme le coefficient de corrélation.

∑ ̂

CHAPITRE 2-ANALYSEDESENSIBILITEDESMODELESDECONCEPTIONPRELIMINAIRE

Dans le cas où la relation entre X et Y est non linéaire mais monotone, les coefficients de corrélation peuvent être utilisés. L’hypothèse de monotonie doit être valide dans ce cas, qui est

vérifiable à l’aide du calcul de l’indice associé à la régression linéaire sur les rangs qui peut

être extraite de l’application de (10) associée sur les rangs.

1.1.4.3.2. Mesure des indices de Sobol

On se place dans le cas où une fonction telle l’équation (1) dont le comportement où la

forme analytique est inconnue. On considére l’indice normalisé appelé indice de sensibilité

de Sobol de premier ordre [59], calculé comme suit :

avec fonction de Xi, permet d’approximer Y ;

fluctuation de la sortie dans le cas où elle est fonction uniquement de

Xi ;

V(Y) variance de la sortie Y, représentant la fluctuation totale.

Cet indice permet de quantifier l’influence de chaque variable d’entrée Xi grâce à l’indice

de sensibilité de premier ordre, ainsi que l’influence de chaque variable d’entrée à travers ses interactions dans le modèle avec les autres entrées grâce à l’indice de sensibilité de second ordre (non traité dans cette thèse). Cette méthode d’analyse de sensibilité a l’avantage de pouvoir décomposer la variance du modèle, en fonction des groupes de variables corrélées. Cette décomposition permet de définir les indices de sensibilité multidimensionnels. La mesure des indices de Sobol a néanmoins un inconvénient majeur : l’importante variabilité des estimations. Ainsi, une estimation précise des indices de sensibilité requiert, en général, un grand nombre d’évaluations de la fonction .