Groupes de Lie-Poisson et bigèbres de Lie

Le but de cette section est d’établir une correspondance naturelle entre les groupes de Lie-Poisson et les bigèbres de Lie.

Tout d’abord, on considère un groupe de Lie-Poisson, à partir duquel on construit une bigèbre de Lie. Soit (G, π) un groupe de Lie-Poisson, dont l’élément neutre est noté e. On note g := TeG l’algèbre de Lie associée, équipée du crochet de Lie [. , .]g.

D’après la proposition 1.4.3, on a une structure de Poisson linéaire π1sur g et donc

π1 se réduit aux formes linéaires sur g en un crochet de Lie [. , .]g∗ sur g∗ que l’on

Proposition 1.4.13. Soit (G, π) un groupe de Lie-Poisson, d’algèbre de Lie (g, [. , .]g)

et de crochet linéarisé [. , .]g∗. On note e l’élément neutre de G.

(1) Le triplet (g, [. , .]_g, [. , .]_g∗) est une bigèbre de Lie ;

(2) Soit Φ un morphisme de groupes de Lie-Poisson de (G, π) dans un groupe de Lie-Poisson (H, π′_{) de bigèbre de Lie correspondante (h, [. , .]}

h, [. , .]h∗). L’ap-

plication tangente TeΦ de Φ en e est un morphisme de bigèbres de Lie de

(g, [. , .]_g, [. , .]_g∗) dans (h, [. , .]_h, [. , .]_h∗).

Le second point de cette proposition entraîne un résultat sur les sous-groupes de Lie-Poisson et les sous-bigèbres de Lie :

Proposition 1.4.14. Soit (G, π) un groupe de Lie-Poisson, de bigèbre de Lie as- sociée (g, [. , .]_g, [. , .]_g∗). Soit H un sous-groupe de Lie connexe de G, d’algèbre de

Lie h, alors les assertions suivantes sont équivalentes : (i) H est un sous-groupe de Lie-Poisson de (G, π) ; (ii) h est une sous-bigèbre de Lie de (g, [. , .]_g, [. , .]_g∗).

Si on suppose ces deux conditions équivalentes vérifiées, on note [. , .]h et [. , .]h∗ les

crochets de Lie de la bigèbre de Lie h et on note π′ _{la structure de Poisson sur H}

induite par π. Alors (h, [. , .]h, [. , .]h∗) est la bigèbre de Lie de (H, π′).

Corollaire 1.4.15. Soit (G, π) un groupe de Lie-Poisson, de bigèbre de Lie associée (g, [. , .]_g, [. , .]_g∗). On considère un sous-groupe de Lie connexe H de G, d’algèbre

de Lie h. Alors les assertions suivantes sont équivalentes : (i) H est un sous-groupe de Lie-Poisson de (G, π) ; (ii) l’annulateur h◦ _{de h est un idéal de Lie de (g}∗_{, [. , .]}

g∗).

Démonstration. Ce corollaire se montre en combinant les résultats des propositions 1.4.9 et 1.4.14.

Nous allons considérer à présent le cas des groupes de Lie-Poisson cobords et bigèbres de Lie cobords.

On rappelle que par définition, un groupe de Lie-Poisson (G, π) est dit groupe de Lie-Poisson cobord, s’il existe a ∈ ∧2_{gtel que π = ←}−_{a − −}→_{a , où (g, [. , .]) est l’algèbre}

de Lie de G. D’après la proposition 1.4.4, a est une r-matrice antisymétrique de g et donc on a un crochet de Lie [. , .]_a sur g∗ _{donné par l’équation (1.19).}

Proposition 1.4.16. Soit (G, π) un groupe de Lie-Poisson cobord, avec π = ←−a −−→a où a ∈ ∧2_{gest une r-matrice de l’algèbre de Lie (g, [. , .]}

g) de G. Alors la bigèbre de

Lie associée à (G, π) est la bigèbre de Lie cobord (g, [. , .]_g, [. , .]_a).

En utilisant l’intégration des algèbres de Lie en groupes de Lie connexes, donnée par le Théorème de Lie [DK00], on obtient le résultat suivant :

Proposition 1.4.17. (1) Soit (g, [. , .]g, [. , .]r) une bigèbre de Lie cobord, de di-

mension finie. Si G est un groupe de Lie connexe d’algèbre de Lie associée (g, [. , .]_g), alors G admet une structure de groupe de Lie-Poisson cobord dont la bigèbre de Lie associée est (g, [. , .]_g, [. , .]_r).

(2) En particulier, toute bigèbre de Lie cobord de dimension finie est la bigèbre de Lie d’un groupe de Lie-Poisson cobord.

On peut alors considérer le cas des groupes de Lie-Poisson cobords associés à des bigèbres de Lie quadratiques. La première partie de la proposition suivante est connue [Lu90], mais la seconde partie n’a pas été retrouvée dans la littérature.

1.4. Groupes de Lie et structures de Poisson 25 Proposition 1.4.18. Soit (g, [. , .]g, [. , .]a) une bigèbre de Lie cobord quadratique

de dimension finie, où a ∈ ∧2_{g est une r-matrice de l’algèbre de Lie quadratique}

(g, [. , .]_g) et soit (G, π) le groupe de Lie-Poisson cobord connexe associé. On note h·|·ig la forme bilinéaire symétrique, ad-invariante, non-dégénérée sur g et R la

R-matrice associée à la r-matrice a par rapport à h·|·ig.

Si H est un sous-groupe de Lie connexe de G, d’algèbre de Lie h, alors les assertions suivantes sont équivalentes :

(i) H est un sous-groupe de Lie-Poisson de (G, π) ;

(ii) l’orthogonal h⊥ _{de h par rapport à h·|·ig est un idéal de Lie de g pour le R-}

crochet de Lie [. , .]R.

On suppose que ces deux conditions sont vérifiées. Si on a, de plus, R(h) ⊂ h et h_{⊕ h}⊥ = g, alors la structure de Poisson sur H est donnée par πH = ←r−h− −→rh, où

rh est la r-matrice associée à R|h, la R-matrice R restreinte à h.

Démonstration. Soit χ l’isomorphisme de g dans g∗_{, donné par x 7→ hx|·ig. On}

remarque que si x ∈ h⊥_{, on a hx|yi = 0, pour tout y ∈ h, c’est-à-dire que χ(x)}

s’annule sur h donc appartient à h◦_{. Inversement, si χ(x) ∈ h}◦_{, alors x ∈ h}⊥_{. Donc}

sous l’isomorphisme entre g et g∗_{, éléments orthogonaux et annulateurs sont en}

correspondance.

De plus, χ est un isomorphisme d’algèbres de Lie de (g, [. , .]R) dans (g∗, [. , .]a)

(cf. proposition 1.2.8), donc les idéaux de Lie de (g, [. , .]_R) sont en correspondance avec les idéaux de Lie de (g∗_{, [. , .]}

a). Ainsi h⊥ est un idéal de Lie de (g, [. , .]R) si et

seulement si h◦_{est un idéal de Lie de (g}∗_{, [. , .]} a).

On conclut d’après le corollaire 1.4.15 quant à l’équivalence(i)⇔(ii).

On suppose à présent que les deux conditions sont vérifiées et que R(h) ⊂ h et h_{⊕ h}⊥= g.

On a H sous-groupe de Lie-Poisson de (G, π) et d’après le proposition 1.4.14, sa bigèbre de Lie (h, [. , .]h, [. , .]h∗) est la sous-bigèbre de Lie de (g, [. , .]_g, [. , .]_a), où

[. , .]hest le crochet de Lie sur h induit de [. , .]_gpar restriction et [. , .]_h∗est le crochet

de Lie sur h∗ _{induit de [. , .]}

a en quotientant par h◦. On va expliciter le crochet de

Lie [. , .]_h∗ en utilisant plusieurs isomorphismes de Lie.

1. Tout d’abord, on a l’isomorphisme de Lie entre g et g∗ _{donné par}

χ : (g, [. , .]_R) −→ (g≃ ∗_{, [. , .]} a)

x 7−→ hx|·ig

et puisque l’idéal de Lie h⊥ _{de g est en correspondance avec l’idéal de Lie h}◦

de g∗_{, on obtient un nouvel isomorphisme de Lie :}

˜

χ : (g/h⊥, [. , .]q_R) −→ (g≃ ∗/h◦, [. , .]q_a) x + h⊥ _{7−→ hx|·ig+ h}◦

où [. , .]q

Rest la structure de Lie quotient de g par h⊥et [. , .] q

acelle de g∗par h◦.

2. Comme R(h) ⊂ h, l’application linéaire R|hest une R-matrice de h. De plus,

on a h ⊕ h⊥ _{= g, donc la forme bilinéaire h·|·ig se restreint à h en une forme}

bilinéaire non-dégénérée et la proposition 1.2.8 nous permet alors de construire une r-matrice rhde h, associée à R|h, telle que

χh_{: (h, [. , .]} R|h) ≃ −→ (h∗_{, [. , .]} rh) h 7−→ hh|·ig|h

3. En utilisant le fait que h ⊕ h⊥_{= g, on a une projection p}

h: g = h ⊕ h⊥ → h.

C’est d’ailleurs un morphisme de Lie de (g, [. , .]_R) dans (h, [. , .]_R|

h). En effet,

soient x = h1+ h2∈ h ⊕ h⊥ et x′= h′1+ h′2∈ h ⊕ h⊥, on a

ph([x, x′]R) = ph([h1, h′1]R|h+ [h1, h

′

2]R+ [h2, h′1]R+ [h2, h′2]R) = [h1, h′1]R|h,

car (h, [. , .]R|h) est une sous-algèbre de Lie de (g, [. , .]R) et h

⊥ _{est un idéal de}

Lie de (g, [. , .]_R). D’où

ph([x, x′]R) = [ph(x), ph(x′)]R|h. (1.26)

De plus, comme h⊥ _{est le noyau de p}

h, on a un isomorphisme de Lie :

˜

ph: (g/h⊥, [. , .]q_R) −→ (h, [. , .]≃ _R|h)

h + h⊥ 7−→ h

4. On considère ensuite l’application de restriction f : g∗_{→ h}∗_{, ξ 7→ ξ|}

h(surjec-

tive). Comme (h, [. , .]h, [. , .]h∗) est une sous-bigèbre de Lie de (g, [. , .]g, [. , .]a),

l’application f est un morphisme de Lie. De plus, le noyau de f est h◦_{, donc}

l’application suivante : ˜

f : (g∗/h◦, [. , .]q_a) → (h≃ ∗, [. , .]h∗)

ξ + h◦ 7→ ξ|h

est un isomorphisme de Lie.

On compose alors ces isomorphismes et on obtient pour ξ ∈ h∗_{(dont l’antécédent}

par χh_{est noté h ∈ h)}

˜

f ◦ ˜χ ◦ (˜ph)−1◦ (χh)−1(ξ) = ˜f ◦ ˜χ ◦ (˜ph)−1(h)

= ˜f ◦ ˜χ(h + h⊥) = ˜f (hh|·ig+ h◦)

= hh|·ig|h= ξ.

D’où ˜f ◦ ˜χ ◦ (˜ph)−1◦ (χh)−1= idh∗ et comme on a des isomorphismes d’algèbres de

Lie, on obtient l’isomorphisme de Lie idh∗ : (h∗, [. , .]

rh)

≃

→ (h∗_{, [. , .]} h∗).

On peut alors résumer cela dans un diagramme : (g, [. , .]_R) _≃χ //  (g∗_{, [. , .]} a)  (g/h⊥_{, [. , .]}q R) ˜ χ ≃ // ˜ ph ≃  (g∗_/h◦_{, [. , .]}q a) ˜ f ≃  (h∗, [. , .]h∗) (h, [. , .]_R|h) χ h ≃ // (h∗, [. , .]rh) idh∗ OO Ainsi, on a [. , .]h∗ = [. , .]_r

h et la bigèbre de Lie associée à H est la bigèbre de

Lie cobord (h, [. , .]h, [. , .]rh). Finalement, d’après la correspondance entre groupe

de Lie-Poisson cobord et bigèbre de Lie cobord, on en conclut que la structure de Poisson sur H est ←r−h− −→rh.