Chapter summary. This chapter is based on the preprint [Oltean, Epp, Sopuerta, et al.2019].
An idealized “test” object in general relativity moves along a geodesic. However, if the object has a finite mass, this will create additional curvature in the spacetime, causing it to deviate from geodesic motion. If the mass is nonetheless sufficiently small, such an effect is usually treated perturbatively and is known as the gravitational self-force due to the object.
This issue is still an open problem in gravitational physics today, motivated not only by basic foundational interest, but also by the need for its direct application in gravitational-wave astronomy. In particular, the observation of extreme-mass-ratio inspirals by the future space-based detector LISA will rely crucially on an accurate modeling of the self-force driving the orbital evolution and gravitational wave emission of such systems.
In this chapter, we present a novel derivation, based on conservation laws, of the basic equations of motion for this problem. They are formulated with the use of a quasilo-cal (rather than matter) stress-energy-momentum tensor—in particular, the Brown-York tensor—so as to capture gravitational effects in the momentum flux of the object, includ-ing the self-force. Our formulation and resultinclud-ing equations of motion are independent of the choice of the perturbative gauge. We show that, in addition to the usual gravitational self-force term, they also lead to an additional "self-pressure" force not found in previous analyses, and also that our results correctly recover known formulas under appropriate conditions. Our approach thus offers a fresh geometrical picture from which to under-stand the self-force fundamentally, and potentially useful new avenues for computing it practically.
We begin in Section5.1with a brief introductory discussion on the idea of using con-servation law approaches for the self-force problem generally, that is of understanding and computing the self-force as a momentum change or flux. While this has proven successful in the past for the electromagnetic self-force problem, such an approach has, up to this work, not been attempted in general in the gravitational case. This mainly has to do with the subtleties involved in properly defining notions of gravitational energy-momentum.
These are concepts which do not make sense locally in relativistic physics (i.e.as volume
131
132 Chapter 5. The Motion of Localized Sources in General Relativity densities), and so the typical solution—as in canonical general relativity—is to define them quasilocally (i.e.as boundary densities).
In Section5.2, we review the general quasilocal energy-momentum conservation laws for general relativity used in this chapter. These laws have been obtained in recent work based on the Brown-York tensor, account for both gravitational as well as matter fluxes, and are valid in any arbitrary spacetime. They are constructed with the use of a concept called a quasilocal frame: a topological two-sphere of observers tracing out the worldtube boundary of the history of a finite spatial volume (that is, the finite system the fluxes of which we are studying).
In Section5.3, we prove that the correction to the momentum flux of any small spatial region due to any metric perturbations in any spacetime in general relativity always con-tains the known form of the gravitational self-force. Our analysis also reveals a new term, not found in previous analyses and in principle equally dominant in general, namely one arising from a “self-pressure” effect with no analogy in Newtonian gravity. The appear-ance of these terms as corrections to the motion is independent of what actually sources the metric perturbations upon which they depend; rather than the “mass” of the small moving object itself, what seems to be fundamentally responsible for self-force effects in our analysis is the mass (or energy) and pressure of the spacetime vacuum.
In Section5.4we proceed to apply our analysis to a concrete self-force analysis actually used for computations, that is a specific choice of a perturbative family of spacetimes designed to describe the correction to the motion of a small object. We work with the rigorous approach of Gralla and Wald, and we show how under appropriate conditions our analysis recovers their equations of motion.
Finally, Section5.5offers some conclusions and outlook to future work.
La moció de les fonts localitzades en la relativitat general(chapter summary translation in Catalan). Aquest capítol es basa en el preprint [Oltean, Epp, Sopuerta, et al.
2019].
Un objecte de “prova” idealitzat en la relativitat general es mou al llarg d’una geodèsica. Tanmateix, si l’objecte té una massa finita, això crearà una corbatura addicional en l’espai-temps, fent que es desviï del moviment geodèsic. Si la massa és tot i això prou petita, aquest efecte se sol tractar de manera pertorbadora i es coneix com a força pròpia gravitacional a causa de l’objecte. Aquesta qüestió continua sent un problema obert en la física gravitatòria actual, motivada no només per l’interès fonamental bàsic, sinó també per la necessitat de la seva aplicació directa en l’astronomia d’ones gravitacionals. En par-ticular, l’observació de caigudes en espiral amb raó de masses extrema per part del futur detector LISA basat en l’espai es basarà crucialment en un modelat precís de la força pròpia impulsant l’evolució orbital i l’emissió d’ones gravitacionals (crec que aquesta és la forma més correcta, tot in que són sinònimes, juntament amb gravitatòries) d’aquests sistemes.
133 En aquest capítol, es presenta una nova derivació, basada en lleis de conservació, de les equacions bàsiques de moviment d’aquest problema. Es formulen amb l’ús d’un tensor de tensió-energia quasilocal (en lloc de material), en particular, el tensor de Brown-York, per tal de captar efectes gravitacionals en el flux de moment de l’objecte, inclòs la força pròpia. La nostra formulació i les equacions de moviment resultants són independents de l’elecció de la mesura pertorbativa. Mostrem que, a més del terme de la força pròpia gravitacional habitual, també condueixen a una força de “pressió pròpia” addicional que no es va trobar en anàlisis anteriors, i també que els nostres resultats recuperen correctament les fórmules conegudes en condicions adequades. El nostre treball ofereix així una nova imatge geomètrica a partir de la qual es pot entendre fonamentalment la força pròpia, i possibles noves vies potencialment útils per a computar-la pràcticament.
Comencem a la secció5.1amb una breu discussió introductòria sobre la idea d’utilitzar els mètodes de lleis de conservació per al problema de la força pròpia en general, és a dir, comprendre i calcular la força pròpia com a canvi o flux d’impuls. Si bé en el passat això ha tingut èxit pel problema de la força pròpia electromagnètica, un anàlisi d’aquest tipus no s’ha intentat, fins a aquest treball, en general en el cas gravitatori. Això té a veure principalment amb les subtileses relacionades amb la definició adequada de les nocions d’energia-moment gravitatòria. Es tracta de conceptes que no tenen sentit localment en la física relativista (és a dir, com a densitats de volum), i per tant, la solució típica - com en la relativitat general canònica - és definir-los de forma quasilocal (és a dir, com a densitats de frontera).
A la secció5.2, revisem les lleis quasilocals generals de conservació d’energia-moment per a la relativitat general utilitzades en aquest capítol. Aquestes lleis s’han obtingut en treballs recents basats en el tensor de Brown-York, tant per a fluxos gravitacionals com per a matèries, i són vàlids en qualsevol espai-temps arbitrari. Es construeixen amb l’ús d’un concepte conegut com a sistema de referència quasilocal: una esfera topològica bidi-mensional d’observadors que traça la frontera de la història d’un volum espacial finit (és a dir, el sistema finit els fluxos del qual estem estudiant).
A la secció5.3, demostrem que la correcció al flux d’impuls de qualsevol petita regió es-pacial a causa de pertorbacions mètriques en qualsevol espai-temps en la relativitat general sempre conté la forma coneguda de la força pròpia gravitacional. La nostra anàlisi també revela un nou terme, que no es troba en anàlisis anteriors i, en principi, és igualment dom-inant en general, és a dir, un efecte de de “pressió pròpia” sense analogia en la gravetat newtoniana. L’aparició d’aquests termes com a correccions al moviment és independent del que realment provoca les pertorbacions mètriques de les quals depenen; més que la
"massa" del petit objecte en moviment propi, el que sembla ser fonamentalment respons-able dels efectes de la força pròpia en la nostra anàlisi és la massa (o energia) i la pressió del buit de l’espai-temps.
134 Chapter 5. The Motion of Localized Sources in General Relativity A la secció5.4 procedim a aplicar la nostra anàlisi a una anàlisi concreta de força pròpia utilitzada realment per a càlculs, és a dir, una elecció específica d’una família per-torbadora d’espais-temps dissenyada per descriure la correcció al moviment d’un objecte petit. En particular, treballem amb el formalisme rigorós de Gralla i Wald, i mostrem com en condicions adequades la nostra anàlisi recupera les seves equacions de moviment.
Finalment, la secció5.5ofereix algunes conclusions i perspectives per a futurs treballs.
Le mouvement des sources localisées dans la relativité générale(chapter sum-mary translation in French). Ce chapitre est basé sur le pré-impression [Oltean, Epp, Sop-uerta, et al.2019].
Un objet de « test » idéalisé dans la relativité générale se déplace le long d’une géodésique. Cependant, si l’objet a une masse finie, cela créera une courbure supplémen-taire dans l’espace-temps, le faisant s’écarter du mouvement géodésique. Si la masse est néanmoins suffisamment petite, un tel effet est généralement traité de manière perturba-tive et il est connu comme la force propre gravitationnelle à cause de l’objet. Cette question est toujours un problème ouvert dans la physique gravitationnelle aujourd’hui, motivée non seulement par l’intérêt fondamental, mais également par la nécessité de son applica-tion directe dans l’astronomie des ondes gravitaapplica-tionnelles. En particulier, l’observaapplica-tion d’inspirals avec quotients extrêmes des masses par le futur détecteur spatial LISA re-posera de manière cruciale sur une modélisation précise de la force propre à l’origine de l’évolution orbitale et de l’émission des ondes gravitationnelles de tels systèmes.
Dans ce chapitre, nous présentons une nouvelle dérivation, basée sur des lois de con-servation, des équations de base du mouvement pour ce problème. Ils sont formulés avec l’utilisation d’un tenseur énergie-impulsion quasi-local (plutôt que de la matière) - en par-ticulier, le tenseur de Brown-York - afin de capturer les effets gravitationnels dans le flux d’impulsion de l’objet, y compris la force propre. Notre formulation et les équations de mouvement résultantes sont indépendantes du choix de la jauge perturbative. Nous mon-trons que, en plus du terme habituel de la force propre gravitationnelle, ils conduisent également à une force de « pression propre » supplémentaire, pas trouvée dans les anal-yses précédentes et que nos résultats récupèrent correctement les formules connues dans des conditions appropriées. Notre analyse offre donc une nouvelle image géométrique à partir de laquelle on peut comprendre fondamentalement la force propre et de nouvelles voies potentiellement utiles pour la calculer de manière pratique.
Nous commençons à la section5.1 par une brève discussion introductive sur l’idée d’appliquer les lois de conservation au problème de la force propre en général, c’est-à-dire de la compréhension et du calcul de la force propre comme un changement ou un flux en la quantité de mouvement. Bien que cela eût du succès au passé pour le problème de la force propre électromagnétique, une telle analyse n’a jusqu’à présent pas été tentée de manière générale dans le cas de la gravitation. Cela concerne principalement les subtilités
5.1. Introduction: the self-force problem via conservation laws 135 impliquées dans la définition correcte des notions d’énergie-impulsion gravitationnelle.
Ce sont des concepts qui n’ont pas de sens local dans la physique relativiste (c’est-à-dire, comme densités de volume) et la solution typique - comme dans la relativité générale canonique - consiste à les définir de manière quasilocale (c’est-à-dire, comme densités de frontière).
Dans la section5.2, nous passons en revue les lois générales quasilocales de conserva-tion d’énergie-impulsion pour la relativité générale utilisées dans ce chapitre. Ces lois ont été obtenues dans des travaux récents basés sur le tenseur de Brown-York, tiennent compte à la fois des flux gravitationnels et des flux de matière, et sont valables dans tout espace-temps arbitraire. Ils sont construits à l’aide d’un concept appelé le référentiel quasilocal (quasilocal frame): une sphère topologique bidimensionelle d’observateurs traçant la fron-tière de l’histoire d’un volume spatial fini (c’est-à-dire du système fini dont nous étudions les flux).
Dans la section5.3, nous montrons que la correction du flux de la quantité de mou-vement de toute petite région spatiale à cause des perturbations métriques dans quelque espace-temps de la relativité générale contient toujours la forme connue de la force propre gravitationnelle. Notre analyse révèle également un nouveau terme, pas retrouvé dans les analyses précédentes et en principe tout aussi dominant en général, à savoir un effet de « pression propre » sans analogie dans la gravité newtonienne. L’apparition de ces termes en tant que corrections du mouvement est indépendante de la source des perturbations métriques dont ils dépendent. Plutôt que la « masse » du petit objet en mouvement lui-même, ce qui semble être fondamentalement responsable pour les effets de force propre, dans notre analyse est la masse (ou énergie) et la pression du vide de l’espace-temps.
Dans la section5.4, nous appliquons notre analyse à une formulation concrète de la force propre réellement utilisée pour les calculs, c’est-à-dire un choix spécifique d’une famille des espaces-temps perturbatifs conçue pour décrire la correction du mouvement d’un petit objet. Nous travaillons en particulier avec le formalisme rigoureux de Gralla et Wald et nous montrons comment, dans des conditions appropriées, notre analyse récupère leurs équations de mouvement.
Enfin, la section5.5 propose quelques conclusions et perspectives pour les travaux futurs.
5.1. Introduction: the self-force problem via conservation laws
The idea of using conservation laws for tackling the self-force problem was appreci-ated and promptly exploited quite early on for the electromagnetic self-force. In the 1930s, [Dirac1938] was the first to put forward such an analysis in flat spacetime, and later on
136 Chapter 5. The Motion of Localized Sources in General Relativity [DeWitt and Brehme1960] extended it to non-dynamically curved spacetimes1. In such approaches, it can be shown2that the EoM for the electromagnetic self-force follows from local conservation expressions of the form
∆Pa= ˆ
∆B
BTabnb, (5.1.1)
where the LHS expresses the flux ofmatterfour-momentumPabetween the “caps” of (i.e.
closed spatial two-surfaces delimiting) a portion (or “time interval”) of a thin worldtube boundaryB(topologicallyR×S2), with natural volume formBand (outward-directed) unit normalna(see Figure5.1). In particular, one takes a time derivative of (5.1.1) to obtain an EoM expressing the time rate of change of momentum in the form of a closed spatial two-surface integral (by differentiating the worldtube boundary integral). For the elec-tromagnetic self-force problem, the introduction of an appropriate matter stress-energy-momentum tensorTabinto Eq. (5.1.1) and a bit of subsequent argumentation reduces the integral expression to the famous Lorentz-Dirac equation; on a spatial three-slice in a Lorentz frame and in the absence of external forces, for example, this simply reduces to P˙i= 23q2a˙ifor a chargeq. Formulations of the scalar and electromagnetic self-forces us-ing generalized Killus-ing fields have more recently been put forward in [Harte2008; Harte 2009].
The success of conservation law approaches for formulating the electromagnetic self-force in itself inspires hope that the same may be done in the case of the gravitational self-force (GSF) problem. In particular, Gralla’s formula in Eq. (1.5.7) strongly hints at the possibility of understanding the RHS not just as a mathematical (“angle averaging”) device, but as atrue, physical flux of gravitational momentumarising from a consideration of conservation expressions.
Nevertheless, to our knowledge, there has thus far been no proposed general treat-ment of the GSF following such an approach. This may, in large part, be conceivably attributed to the notorious conceptual difficulties surrounding the very question of the basic formulation of conservation laws in GR. Local conservation laws, along the lines of Eq. (5.1.1) that can readily be used for electromagnetism, no longer make sense once gravity is treated as dynamical. The reason has a simple explanation in the equivalence principle [Misner et al.1973]: one can always find a local frame of reference with a vanish-ing local “gravitational field” (metric connection coefficients), and hence a vanishvanish-ing local
“gravitational energy-momentum”, irrespective of how one might feel inclined to define the latter.
1By this, we mean spacetimes with non-flat but fixed metrics, which do not evolve dynamically (gravitationally) in response to the matter stress-energy-momentum present therein.
2See [Poisson1999] for a basic and more contemporary presentation.
5.1. Introduction: the self-force problem via conservation laws 137
Figure 5.1. A worldtube boundary B (topologically R × S2) in M, with (outward-directed) unit normal na. The change in matter four-momentum between two constant time slices of this worldtube is given by the flux of the normal projection (in one index) of the matter stress-energy-momentum tensorTabthrough the portion ofBbounded thereby.
A wide variety of approaches have been taken over the decades towards formulat-ing sensible notions of gravitational energy-momentum, with still no general consensus among relativists today on which to qualify as “the best” [Jaramillo and Gourgoulhon 2011; Szabados2004]. Often the preference for employing certain definitions over others may simply come down to context or convenience, but in any case, there exist agree-ments between the most typical definitions in various limits. A very common feature among them is the idea of replacing a local notion of gravitational energy-momentum,i.e.
energy-momentum as a volume density, with what is referred to as aquasilocal energy-momentum,i.e. energy-momentum as a boundary density. The typical Hamiltonian def-initions of the (total) gravitational energy-momentum for an asymptotically-flat space-time, for example, are of such a form. Among the most commonly used generalizations of these definitions to arbitrary (finite) spacetime regions was proposed in the early 1990s by [J. D. Brown and York1993], and follow from what is now eponymously known as the Brown-York stress-energy-momentum tensor. It is a quasilocal tensor, meaning it is only defined on the boundary of an arbitrary spacetime region. For example, using this, the total (matter plus gravitational) energy inside a spatial volume is given up to a constant factor by the closed two-surface (boundary) integral of the trace of the boundary extrin-sic curvature—precisely in agreement with the Hamiltonian definition of energy for the
138 Chapter 5. The Motion of Localized Sources in General Relativity entire spacetime in the appropriate limit (where the closed surface approaches a two-sphere at asymptotically-flat spatial infinity) but, in principle, applicable to any region in any spacetime.
The formulation of general energy-momentum conservation laws in GR from the Brown-York tensor has been achieved with the use of a construction called quasilocal frames [Epp, P. L. McGrath, et al.2013], a concept first proposed in [Epp, Mann, et al.
2009]. Essentially, the idea is that it does not here suffice to merely specify, as in the
2009]. Essentially, the idea is that it does not here suffice to merely specify, as in the